人教A版高中数学必修二 一课一练 9.2.3总体集中趋势的估计 同步练习 （含解析）

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9.2.3总体集中趋势的估计
1.[2022·山东青岛高一期末]为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分(十分制，单位：分)的统计数据如下表：
得分 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 10 6 3 2 2 2
设这30名学生得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则下列选项正确的为(　　)
A.m＝n＝ B．m＝n<
C.m2．[2022·福建三明高一期末]北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1 000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为(　　)
A.33 B．34
C.35 D．36
3．[2022·辽宁营口高一期末]某班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170 cm，全班平均身高为168 cm，女生的平均身高为________ cm.
4．某工厂生产销售了30双皮鞋，其中各种尺码的销售量如下表所示：
鞋的尺码(cm) 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量(双) 1 2 4 14 5 3 1
(1)计算30双鞋尺码的平均数、中位数、众数；
(2)从实际出发，问题(1)中的三种统计特征量对指导生产有无意义？
5.一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6 200、6 300、6 500、7 100、7 500、7 600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是(　　)
A．6 800 B．7 000
C．7 200 D．7 400
6．[2022·河北张家口高一期末]持续两年多的“新冠肺炎”疫情给我们的社会、生产、生活带来了极大的不便，某医学院组织学生展开对“新型冠状病毒”的病理及防治的研究，通过一年多的试验，让学生根据试验结果，写“新冠肺炎的预防和治疗”毕业论文．如图所示是学校对60名学生的论文进行打分并整理后分成5组画出的频率分布直方图，已知从左到右4个小组的频率依次是0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次打分中，这60名学生论文得分的中位数大约是(精确到0.1)(　　)
A.78.1 B．78.2
C．78.3 D．78.4
7．[2022·广东中山高一期末]设一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数是3，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．
8．从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下(单位：cm，数据间无大小顺序要求)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.
(1)若x为这组数据的一个众数，求x的取值集合；
(2)若x＝174，试估计该校高一年级新生的平均身高．
9．[2022·广东惠州高一期末]2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．(中位数精确到0.1)
10.(多选)[2022·广东茂名高一期末]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是(　　)
A．甲地 B．乙地
C．丙地 D．丁地
11．[2022·福建福州高一期末]某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录学生的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，判断样本中的平均数与中位数的大小，并简述理由；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)上的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
答案：
1．解析：这30名学生得分的中位数为m＝＝5.5，众数为n＝5，
平均数为＝
＝5.96，
所以n答案：D
2．解析：由题图，0.05×5＋0.1×15＋0.2×25＋0.3×35＋0.25×45＋0.1×55＝34.故选B.
答案：B
3．解析：设全班女生的平均身高为a，
因为该班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170 cm，全班平均身高为168 cm，
所以＝168，解得a＝165，
所以女生的平均身高为165 cm.
答案：165
4．解析：(1)30双皮鞋尺码的平均数为
＝23.55(cm).
又由于小于23.5的销售量为1＋2＋4＝7(双)，大于23.5 cm的销售量为5＋3＋1＝9(双)，
故处于正中间位置的两个数均为23.5 cm，从而中位数为23.5 cm.
又23.5 cm共出现14次，所以众数也为23.5.
(2)众数对厂家指导生产有实际意义，因为尺码为23.5 cm的鞋销量最好，厂家应多生产，而尺码为22 cm、25 cm的应少生产．
5．解析：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为6 200，6 300，6 500，7 100，7 500，7 600，
∴当另外两名员工的工资都小于6 300时，中位数为(6 300＋6 500)÷2＝6 400，
当另外两名员工的工资都大于7 500时，中位数为(7 100＋7 500)÷2＝7 300，
∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6 400，7 300]，
∴8位员工月工资的中位数不可能是7 400.故选D.
答案：D
6．解析：对频率分布直方图进行数据分析，可得：第i组的频率依次为fi，则：f1＝0.05，f2＝0.15，f3＝0.35，f4＝0.30，由频率和为1可得：f5＝1－0.05－0.15－0.35－0.30＝0.15，
所以中位数应该落在第3组内．
设中位数为a，则有：0.05＋0.15＋×0.35＝0.5，解得：a≈78.1.故选A.
答案：A
7．解析：因为＝3，
所以＝＋1＝7.
答案：7
8．解析：(1)其余十九个数据152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，174，175中，数据出现的频数为3的数有165，170，出现频数为2的数据有164，168.因为x为这组数据的一个众数，所以x的取值集合为.
(2)依题意可得152＋155＋158＋164＋164＋165＋165＋165＋166＋167＋168＋168＋169＋170＋170＋170＋171＋174＋174＋175＝3 330，
所以平均数为3 330÷20＝166.5(cm)，估计该校高一年级学生的平均身高为166.5 cm.
9．解析：(1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋0.015＋m＋0.025＋0.005)＝1，
解得m＝0.03.
(2)平均数为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.015＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝71，
因为0.1＋0.15＋0.15＝0.4<0.5，0.1＋0.15＋0.15＋0.3＝0.7>0.5，
所以中位数位于[70，80)之间，
设中位数为x，则0.1＋0.15＋0.15＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝≈73.3，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.3.
10．解析：∵甲地的中位数为2，极差为5，所以，最大值不大于2＋5＝7，故A符合；
若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2、2、2、8，
则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为
＝2.3>2，
与题意矛盾，故C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为×(8－2)2＝3.6，与题意矛盾，故D符合．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：(1)平均数<中位数．因为直方图在左边“拖尾”，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
(2)依题意，[20，30)，[30，40)两个组的频率之和为＝0.05，
[50，60)，[60，70)，[70，80)，四个组的频率之和为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＝0.9，
则[40，50)对应的频率为1－0.05－0.9＝0.05，故总体中分数在区间[40，50)上的人数大约为400×0.05＝20(人).
(3)依题意，样本中分数不小于70的频率为0.4＋0.2＝0.6，则样本中分数不小于70的人数为100×0.6＝60，其中男女生人数都为30人，即样本中男生人数为60人，女生人数为40人，故男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以，由样本估计总体可得，总体中男生和女生人数的比例大约为3∶2.
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