人教A版高中数学必修二 一课一练 9.2.4总体离散程度的估计 同步练习 （含解析）

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9.2.4总体离散程度的估计
1.在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是1.6，全年比赛失球个数的标准差是1.1；蓝队每场比赛平均失球个数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的是(　　)
A．平均来说，蓝队比红队防守技术好
B．蓝队很少失球
C．红队有时表现很差，有时表现又非常好
D．蓝队比红队技术水平更不稳定
2．[2022·山东聊城高一期末]已知数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为(　　)
A．s2 B．2s2
C．4s2 D．4s2＋12s＋9
3．[2022·江苏苏州外国语学校高一期末]五个数2，2，3，3，a的平均数是3，这五个数的方差是________．
4．从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数；
(2)选派谁去参赛更好？请说明理由．
5.[2022·广东惠州高一期末]某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为(　　)
A．87，10.2 B．85，10.2
C．87，10 D．85，10
6．(多选)[2022·山东烟台高一期末]已知一组样本数据x1，x2，x3，…，xn，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据y1，y2，y3，…，yn，则(　　)
A．两组样本数据的中位数相同
B．两组样本数据的极差相同
C．两组样本数据的标准差相同
D．两组样本数据的平均数相同
7．[2022·河北沧州高一期末]已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝6，方差s2＝21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n＝________．
8．某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．
9．[2022·湖北武汉高一期末]某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
(1)估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)
(2)某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数＝90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
参考公式：s＝(参考数据：2102＝44 100，1922＝36 864，1102＝12 100)
10.(多选)[2022·湖北襄阳高一期末]一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为(≠0)，标准差为s.另一组样本数据xn＋1，xn＋2，…，x2n的平均数为3，标准差为s.两组数据合成一组新数据x1，x2，…，xn，xn＋1，…，x2n，新数据的平均数为，标准差为s′，则(　　)
A．>2 B．＝2
C．s′>s D．s′＝s
11．[2022·山东淄博高一期末]某校有高一学生1 000人，其中男女生比例为3∶2，为获得该校高一学生的身高(单位：cm)信息，采用分层随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4.
(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；
(2)计算总样本方差．
答案：
1．解析：因为红队每场比赛平均失球数是1.6，蓝队每场比赛平均失球数是2.2，所以平均说来红队比蓝队防守技术好，故A错误；
因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队经常失球，故B错误；
因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以红队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；
因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队比红队技术水平更稳定，故D错误．故选C.
答案：C
2．解析：因为数据x1，x2，…，xn的方差为s2，
则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为22s2＝4s2.故选C.
答案：C
3．解析：依题意＝3，解得a＝5，
所以方差为
＝.
答案：
4．解析：(1)由题设，甲的平均数为
1＝＝7，
乙的平均数为2＝＝7.
(2)甲的方差为s＝(xi－1)2＝
＝3，
乙的方差为s＝(xi－2)2＝
＝1.2.
由(1)知：1＝2，而s>s，
所以选派乙去参赛更好．
5．解析：由题意可知这25名学生成绩的平均数为
＝87，
这25名同学成绩的方差为
＝10.2，故选A.
答案：A
6．解析：对于A，设原样本数据的中位数为M，则新样本数据的中位数为M＋2，故A错误；
对于B，不妨设原样本数据最大为xn，最小为x1，则原样本数据中，样本数据的极差为xn－x1，
新样本数据中，样本数据的极差为(xn＋2)－(x1＋2)＝xn－x1，故B正确．
对于D，原样本数据的样本平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)，
新样本数据的样本平均数为＝(x1＋2＋x2＋2＋…＋xn＋2)＝＋2，故D错误；
对于C，原样本数据的标准差为：
s＝，
新样本数据的标准差为：
s′＝，故C正确，故选BC.
答案：BC
7．解析：因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，
去掉6后方差变为24，故得到24(n－1)＝21n，解得n＝8.
答案：8
8．解析：依题意A＝130，s＝115，
B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115，
∴全体学生的平均成绩为115分．
全体学生成绩的方差为
s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2]
＝×(115＋225)＋×(215＋25)
＝85＋180＝265.
9．解析：(1)因为0.05＋0.15＋0.25＝0.45<0.5，
0．05＋0.15＋0.25＋0.35＝0.8>0.5，
所以中位数为x满足70由×0.35＋0.1＋0.1＝0.5，
解得x＝80－≈71.4，
设平均分为y，
则y＝0.05×45＋0.15×55＋0.25×65＋0.35×75＋0.1×85＋0.1×95＝71.0.
(2)由题意，剩余8个分数的平均值为0＝＝90，
因为10个分数的标准差s＝＝6，
所以x＋…＋x＝10×62＋10×902＝81 360，
所以剩余8个分数的标准差为s0＝＝＝2.
10．解析：由题意＝＝2，
ns2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2＝－n2，
同理ns2＝－n·(3)2＝－9n2，
两式相加得2ns2＝－10n2，
2ns′2＝－2n·(2)2＝－8n2，
所以2ns′2>2ns2，s′>s.故选BC.
答案：BC
11．解析：(1)把男生样本记为x1，x2，…，x25，平均数记为＝172，方差记为sx2＝9；
把女生样本记为y1，y2，…，y25，平均数记为＝162，方差记为sy2＝16；
把样本数据的平均数记为，方差记为s2；高一全体学生的身高均值记为.
根据平均数的定义，总样本均值为：＝(i＋i)＝＝167；
高一全体学生的身高均值为：＝＝＝168.
(2)根据方差的定义，总样本方差为：
s2＝
＝，
由(xi－)＝i－25＝0，可得：(xi－)(－)＝0，
同理，(yj－)(－)＝0.
因此，
s2＝[(xi－)2＋(－)2＋(yj－)2＋(－)2]
＝[25sx2＋25(－)2＋25sy2＋25(－)2]
＝[25×9＋25×(172－167)2＋25×16＋25×(162－167)2]
＝37.5，
所以，总的样本方差为37.5.
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