《名师学典·数学》人教版八年级下册16.1二次根式 学案（2课时全）

第十六章 二次根式
单元学典
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第六章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”、“整式”联系紧密，同时也为以后本册将要学习的“勾股定理”等内容打下基础。21世纪教育网版权所有
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16.1 二次根式…………………………………………………………………………2课时
16.2二次根式的乘除…………………………………………………………………2课时
16.3二次根式的加减…………………………………………………………………2课时
本章复习………………………………………………………………………………1课时
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第1课时 16.1二次根式（1）


1. 4的平方根是 ，算术平方根是 .
2.一个正数有 个平方根，0的平方根为 ；在实数范围内，负数 平方根（填“有”或“没有”）.
3.一般地，我们把形如（ ）的式子叫做 ，“”称为 ，也称当 时，在实数范围内 意义（填“有”或“没有”）.
4.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由 0（ ）， 得 .
即当x 时，在实数范围内有意义.
例1：二次根式的定义
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
点评：加深对二次根式定义的理解，是解此题的关键.

练习1
下列各式中，、、、、、二次根式的个数是 （　　）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
例2：二次根式有意义的条件
当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x－1≥0，才能有意义．
解：由3x－1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
点评：要看“”是否有意义，关键是要看a的取值范围.

练习2
当x是多少时，在实数范围内有意义？
例3：二次根式与分式
当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x＋3≥0和中的x＋1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠－1
当x≥－且x≠－1时，+在实数范围内有意义．
点评：本题考查二次根式和分式有意义的条件，在这里容易忽视分式有意义的条件.
练习3
若有意义，则x的取值范围为 ．
例4：二次根式的运用
已知y=++5，求的值．
分析：由题可知y是有意义，则中的2－x≥0，中的x－2≥0.
解：由题可得 ∴,∴,
点评：要善于寻找题中的隐含条件.
练习4
若+=0，求a2013+b2014的值．
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1.（2013?贵港）下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（　　）
A. B.
C. D.
2. （2013·襄阳）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1. 在式子：①；②；③；④；⑤；⑥
（x＞1）中二次根式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
B.
C. D.
3.当x=－3时，下列式子有意义的是（　　）
A. B.
C. D.
4.如果有意义，那么x的取值范围是 （　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
5.要使有意义，则x应满足 （　　）
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
6. 使式子有意义的x的取值范围是 （　　）
A.x≥－1 B．－1≤x≤2 C．x≤2 D．－1＜x＜2
7. 若式子有意义，则点P（a，b）在 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8. 设点P的坐标是（1+，－2+a），则点P在 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
填空题（每题3分，共18分）
9. 使是整数的最小正整数n= ．
10.若是二次根式，则x= .
11. 使根式有意义的x的取值范围是 ．
12. 当x 时，二次根式有意义．
13. 要使有意义，则x的取值范围是 ．
14.若式子有意义，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共40分）
15.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．（12分）
（1）； （2）；
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（3）； （4）.
16.已知：有意义，化简|x－1|－|3－x|．（8分）
17. 已知x、y都是实数，且y=++8，求的立方根.（10分）
18.求使有意义的x的取值范围．（10分）
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参考答案

第2课时 16.1二次根式（2）

求证:（a≥0）是一个非负数.
证明：当a 0时，表示a的 ，因此 0；当a 0时，表示 的 ，因此
0.这就是说，当a≥0时， 0，即（a≥0）是一个 数.
2.若，则 ， ，即a= ，b= .
3.填空：
= ；= ；
= ；= .
= （a≥0）.
当a≥0时，= ；当a≤0时= .
化简：
= ；= .
代数式：用基本运算符号把
连接起来的式子.
判断：
整式、分式和二次根式都是代数式.
例1：（a≥0）的非负性
已知与互为相反数，求xy的值.
分析：由与互为相反数，可得+=0，因为和都是非负数，所以=
=0，则可求得x和y.
解：∵与互为相反数，∴+=0.又∵和都是非负数，所以=
=0，∴,，∴xy=
=.
练习1
已知：=+
|c2－49|，求实数a、b、c的值.
例2：=a（a≥0）
计算：
(1)（）2； (2)（3）2；
(3)（）2； (4)（）2.
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（1）（）2 =；
（2）（3）2 =32·（）2=32·5=45；
（3）（）2=（或）；
（4）（）2=．
点评：例1中的（2）题和（4）题分别用到了（ab)2=a2b2、这两个结论；第（3）题易出错.
练习2
计算：（）2 ；（）2 ；（）2；（）2；（4）2；.
例3：（）2=a（a≥0）应用
化简：；
在实数范围内分解因式：x2－5.
分析：（1）≥0，除了去根号，也要去绝对值符号；（2）可利用a=（）2，得5=.
解：（1）
==
（2）x2－5=x2－=（x－）（x+）.


练习3
（1）化简：（x>0）；
（2）在实数范围内分解因式：4x4－1.
例4：=a（a≥0）,=－a（a<0）
化简：
（1）； （2）（x>0）；
（3）； （4）（x<1）.
分析：（1）==；（2）=,∵x>0，∴x+2>0；（3）=；（4）=，∵x<1，∴3－2x>0.
解：（1）===；
==（x>0）；
=3；
==3－2x(x<1).

练习4
化简：（1）；（2）；
（a≥0）；
例5：综合运用
当，化简－.
分析：∵，∴，
0，=，.
解：原式=
=
练习5
如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：.

1.（山西省中考题） 代数式有意义时，字母x的取值范围是 ．
2.（河南省中考题）实数p在数轴上的位置如图所示，化简
= ．


3.（金华市中考题）当，化简.
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用时 分数
选择题（每题4分，共32分）
1.如果＝1?2a，则（　　）
a＜ B．a≤
C．a＞ D．a≥
2. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　）
A．7 B．?7
C．2a?15 D．无法确定
3. 对任意实数a，则下列等式一定成立的是（　　）
B．?a
C．＝±a D．＝
4. 已知a＜0，那么可化简为（　　）
A.?a B．a
C．?3a D．3a
5. 若x≤0，则化简的结果是（　　）
A．1?2x B．2x?1
C．?1 D．1
6. 当a≤时，化简等于（　　）
A．2 B．2?4a
C．a D．0
的值是（ ）
A.0 B.
C. D. 以上都不对
8.当a≥0时，、、，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A.=≥
B.>>
C. <<
D.>=
填空题（每题3分，共18分）
= .
.
在实数范围内分解因式
.
若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
等式中的括号应填入 .
若，，且ab＜0，则a -b= ．
解答题（每题10分，共40分）
计算
； （2）；
（3）； （4）.
已知+=0，求的值.
先化简再求值：当a=3，求2a+的值，甲的解答如下：
原式=2a+=2a+=a+2=5；甲的解答是正确的吗？若错误，请说明理由并给出正确解法.
当x的取值范围是不等式组的解时，试化简：
.
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参考答案