直线的倾斜角与斜率、直线方程问题
【知识梳理】
1、倾斜角和斜率
（1）直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间
所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定a = 0°．
（2）倾斜角 α 的取值范围： 0° a＜180°．当直线 l 与 x 轴垂直时， a = 90°．
（3）直线的斜率：
一条直线的倾斜角a(a 90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，也就是
k = tana
①当直线 l 与 x 轴平行或重合时，a = 0°， k = tan0° = 0 ；
②当直线 l 与 x 轴垂直时， a = 90°，k 不存在．
由此可知，一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在，但是斜率 k 不一定存在．
（4）直线的斜率公式：
给定两点 P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2 ), x1 x PP k
y2 - y y，用两点的坐标来表示直线 的斜率： = 1 = 1 - y22 1 2 x2 - x1 x1 - x2
2、两条直线的平行与垂直
（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相
等，那么它们平行，即 l1 / /l2 k1 = k2
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成
立．即如果 k1 = k2 ，那么一定有 l1 / /l2
（2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互
为负倒数，那么它们互相垂直，即 l1 ^ l2 k1 × k2 = -1
3、直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 y - y1 = k (x - x1) (x1, y1) 是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于 x 轴
斜截式 y = kx + b k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 不垂直于 x 轴
y - y1 x - x1
两点式 = (x1, y1) ， (xy 2
, y2 ) 是直线上两定点 不垂直于 x 轴和 y 轴
2 - y1 x2 - x1
x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是 不垂直于x轴和y轴，
截距式 + =1
a b 直线在 y 轴上的非零截距 且不过原点
一般式 Ax + By + C =（0 A2 + B2 0） A、B、C 为系数 任何位置的直线
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：倾斜角与斜率
考点 2：直线与线段的相交问题
考点 3：两直线平行问题
考点 4：两直线垂直问题
考点 5：五种直线方程
考点 6：直线与坐标轴围成三角形问题
考点 7：直线过定点问题
【典型例题】
考点 1：倾斜角与斜率
1．（2021·福建宁德·高二期中）已知点 A 2，0 ，B 3，3 ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线 l1, l2 , l3 , l4 的斜率分别为 k1,k2 ,k3 ,k4，则（ ）
A． k4 k3 k2 k1 B． k3 k4 k2 k1
C． k4 k3 k1 k2 D． k3 k4 k1 k2
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）直线 x sin 3y b 0 ,b R 的倾斜角的取值范围是（ ）
0, , 5 A． B．
6 2
,
2 6
0, C
5 , 5 ． 6 6
D． ,
6 6
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线 PM、QP、QM 的斜率分别为 k1、 k2 、 k3 ，则 k1、 k2 、 k3
的大小关系为（ ）
A． k1 k2 k3 B． k1 k3 k2 C． k2 k1 k3 D． k3 k2 k1
5．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（ ）
A．若 是直线 l的倾斜角，则0 180
B．若 k 是直线的斜率，则 k R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
5
6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）直线 x cos y sin 0, 0, 的斜率的取值范围
6
为（ ）
A． , 3 B． 2, C． ,0 0, 3 D． , 2
7．（2022·河南· 2高二阶段练习）已知直线 l经过 A 2 2x, 2 , B 0, x x 0 两点，则直线 l的倾斜角的取值
范围为（ ）
, 3 , 3 3 A． B． C , 2 4 ．2 4 2
D． , 4
8．（2022·上海市控江中学高二期中）设 a R ，若直线 l 经过点 A(a,2) B(a 1,3) ，则直线 l 的斜率是
___________.
3
9．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知点 A（2，-1），B（3，m），若m 1, 3 1 ，则直线 AB 的
3
倾斜角的取值范围为__________．
考点 2：直线与线段的相交问题
10．（2022·福建·闽江学院附中高二阶段练习）已知点M (1, 0)， P(0,1)，Q(2, 3)，过M 的直线 l
（不垂直于 x 轴）与线段 PQ相交，则直线 l斜率的取值范围是（ ）
A． 1，3 B． 1,0 3,
C． ， 1 3, D． ， 1 0, 3
11．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若过点P( 1,0)的直线与以点 A(1, 2), B( 2, 3)为端点的
线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A． ,
2 2
B
． , C． 0,
, D． 0,
,
2
4 3 4 3 4 3 4 2 3
12．（2022·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线 l过点P 0, 1 且斜率为 k ，若 l与连接两点
A 1, 2 ，B 2,1 的线段有公共点，则 k 的取值范围为（ ）
A． , 1 1, B． , 1 1,
C． 1,1 D． 1,1
13．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知两点M (2, 3)， N ( 3, 2)，直线 l 过点 P(1,1) 且与线段MN 相
交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
k 3 3A． 或 k 4 B． 4 k
4 4
3 k 3C． 4 D． k 4
4 4
14．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）经过点P 0, 1 作直线 l，若直线 l 与连接 A 1, 2 ，B 2,1
的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为（ ）
A． 1,1 B． , 1 1, C． 1,1 D． , 1 1,
15．（2021·北京·景山学校高二期中）已知直线 l： ax y 2 0 和点 P(2,1)，Q( 3,2)，若 l 与线段 PQ相交，
则实数 a 的取值范围是（ ）
3 2 3 2 4 3 4 3
A． a B． a 或 a C． a D． a 或 a
4 3 4 3 3 2 3 2
16．（2021·陕西安康·高二期中（理））已知点 A( 3, 2)，B(4, 3) ，直线 l 过点 P(0,1)且与线段 AB 相交，则
直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
0, π 3π , π π , 3π A． B． 6 4 6 4
0, π 5π π 5π C． 3
, π D． , 6 3 6
考点 3：两直线平行问题
17．（2022·全国·高二课时练习）直线3x 2y a 0与直线6x 4y b 0的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定
18．（2022·上海交大附中高二期末）已知 l1、 l2是平面直角坐标系上的直线，“ l1与 l2的斜率相等”是“ l1与 l2
平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
19．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若直线 x my 3 0与直线4mx y 6 0 平行，则
m （ ）
1 1 1 1A． B． C． 或 2 2 D．不存在2 2
20．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知 A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点 D 使 AD⊥BC，
AB∥CD，则点 D 的坐标为（ ）
( 9 4 54 13A． , ) B． ( , )
7 7 7 7
(38 ,13) (38C． D． ,
5)
3 3 7 7
21．（2022·湖北·襄阳四中高二阶段练习）若 l1 : x m 1 y m 2 0， l2 : mx 2y 8 0的图象是两条平
行直线，则m 的值是（ ）
A．m 1或m 2 B．m 1 C．m 2 D．m 的值不存在
考点 4：两直线垂直问题
22．（2022·江苏·高二）已知直线 l1： a 1 x y 1 0和直线 l2： x a 1 y 1 0互相垂直，则实数 a
的值为（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
23．（2022·江苏·高二）若直线 ax 4y 2 0与直线 2x 5y c 0垂直，垂足为 (1,b)，则 a b c （ ）
A． 6 B．4 C． 10 D． 4
24．（2022·江苏·高二课时练习）下列条件中，使得 l1⊥l2的是（ ）
2 1
①l1的斜率为 ，l 经过点 A(1，1)，B 0， ；3 2 2
②l1的倾斜角为 45°，l2经过点 P(-2，-1)，Q(3，-5)；
③l1经过点 M(1，0)，N(4，-5)，l2经过点 R(-6，0)，S(-1，3).
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
25．（2022·全国·高二专题练习）顺次连接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
26．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）已知直线 l1 : 3x y 5 0，若直线 l2 l1，则直线 l2的倾斜角
大小为_____________．
27．（多选题）（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知直线 l1的倾斜角为 30°， l2经过点M (1, 3) ，
N (2,0)，则 l1与 l2的位置关系为（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
考点 5：五种直线方程
28．（2018·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线 l过点 1,2 ，且在两坐标轴上截距相等，则直线 l
的一般式方程为___________.
29．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）过点P(1, 2)且与直线 x y 2 0 平行的直线方程为
___________________.
30．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）某直线 l 过点B( 3, 4) ，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上
截距的 2 倍，则该直线的斜率是（ ）
4 1 4 1 4 1
A． B． C． 或 D． 或
3 2 3 2 3 2
31．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（理））经过点P( 5, 4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5
的直线方程是（ ）
A．8x 5y 20 0或 2x 5y 10 0
B．8x 5y 20 0或 2x 5y 10 0
C．8x 5y 10 0或 2x 5y 10 0
D．8x 5 y 20 0或 2x 5y 10 0
32．（2021·江苏苏州·高二期中）已知三角形的顶点 A 4,1 ，B 6,3 ，C 3,0 .
(1)求 AC 边上的高BH 所在的直线方程；
(2)求 AB 边上的中线CD 所在的直线方程.
33．（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形 AOB中， AO AB ，O 0,0 、 A 1,3 ，点 B 在 x 轴的正半
轴上，则直线 AB 的点斜式方程为（ ）
A． y 1 3 x 3 B． y 1 3 x 3
C． y 3 3 x 1 D． y 3 3 x 1
34．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
y y
A 1． kx x 表示过点
P x1, y1 的所有直线方程
1
B．直线 y kx b与 y 轴交于一点B(0,b)，其中截距b OB
x y
C．在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是 1
a b
D．方程 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 表示过任意两点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线
35．（2022·全国·高二课时练习）过 (1,1), (2, 1)两点的直线方程为（ ）
A． 2x y 1 0 B． x 2y 3 0
C． 2x y 3 0 D． x 2y 3 0
7
36．（2022·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）已知 M（3， ），A（1，2），B（3，1），则过点 M 和
2
线段 AB 的中点的直线方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0
37．（2022·全国·高二课时练习）直线 ax by c 0经过第一、三、四象限，则（ ）
A． ab 0,bc 0 B． ab 0,bc 0
C． ab 0,bc 0 D． ab 0,bc 0
考点 6：直线与坐标轴围成三角形问题
38．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点 1,3 的直线分别交 x 轴正半轴和 y 轴正半轴于点A 、 B ，则
AOB （O为原点）面积的最小值为________.
39．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线 l：y＝k（x﹣2）+3，且 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点.若使
△AOB 的面积为 m 的直线 l 共有四条，则正实数 m 的取值范围是____.
40．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线 l 过点P 1, 2 .
（1）若直线 l 在两坐标轴上截距和为零，求 l 方程；
（2）设直线 l 的斜率 k 0，直线 l 与两坐标轴交点别为 A、B，求 AOB 面积最小值.
41．（2022·重庆市中山外国语学校高二期中）已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R)，若直线 l与 x、y轴的正
半轴交点分别为A 和B,О 为坐标原点.
（1）证明：直线 l过某定点，并求出该定点坐标；
（2）设（1）中的定点为 P ，求 PA PB 的最小值及此时直线 l的方程.
考点 7：直线过定点问题
42．（2022·广东·顺德一中高二期中）直线 y kx k 1过定点（ ）
A．( 0, 1) B． (1,1) C． ( 1, 1) D． (0,0)
43．（2022·安徽·亳州二中高二期中）不论m 为何值，直线 3m 3 x 5 2m y m 6 0 都恒过一定点，
则此定点的坐标是______．
44．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知直线 k 1 x 1 2k y 3 0 k R 恒过定点 A，
x y
点 A 在直线 1 m 0, n 0 上，则 2m n 的最小值为___________.
m n
45．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R，过定点A 的动直线 x my 1 0和过定点 B 的动直线
mx y 2m 3 0 交于点P x, y ，则 PA PB 的最大值（ ）
A． 2 5 B．3 2 C．3 D．6直线的倾斜角与斜率、直线方程问题
【知识梳理】
1、倾斜角和斜率
（1）直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间
所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定a = 0°．
（2）倾斜角 α 的取值范围： 0° a＜180°．当直线 l 与 x 轴垂直时， a = 90°．
（3）直线的斜率：
一条直线的倾斜角a(a 90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，也就是
k = tana
①当直线 l 与 x 轴平行或重合时，a = 0°， k = tan0° = 0 ；
②当直线 l 与 x 轴垂直时， a = 90°，k 不存在．
由此可知，一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在，但是斜率 k 不一定存在．
（4）直线的斜率公式：
给定两点 P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2 ), x1 x PP k
y2 - y y，用两点的坐标来表示直线 的斜率： = 1 = 1 - y22 1 2 x2 - x1 x1 - x2
2、两条直线的平行与垂直
（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相
等，那么它们平行，即 l1 / /l2 k1 = k2
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成
立．即如果 k1 = k2 ，那么一定有 l1 / /l2
（2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互
为负倒数，那么它们互相垂直，即 l1 ^ l2 k1 × k2 = -1
3、直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 y - y1 = k (x - x1) (x1, y1) 是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于 x 轴
斜截式 y = kx + b k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 不垂直于 x 轴
y - y1 x - x1
两点式 = (x1, y1) ， (xy 2
, y2 ) 是直线上两定点 不垂直于 x 轴和 y 轴
2 - y1 x2 - x1
x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是 不垂直于x轴和y轴，
截距式 + =1
a b 直线在 y 轴上的非零截距 且不过原点
一般式 Ax + By + C =（0 A2 + B2 0） A、B、C 为系数 任何位置的直线
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：倾斜角与斜率
考点 2：直线与线段的相交问题
考点 3：两直线平行问题
考点 4：两直线垂直问题
考点 5：五种直线方程
考点 6：直线与坐标轴围成三角形问题
考点 7：直线过定点问题
【典型例题】
考点 1：倾斜角与斜率
1．（2021·福建宁德·高二期中）已知点 A 2，0 ，B 3，3 ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
【答案】B
3 0
【解析】由题得直线 AB 的斜率 k 3 ，
3 2
设直线的倾斜角为 ， tan 3, [0 ,180 ) ，
所以 =60 .
故选：B
2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线 l1, l2 , l3 , l4 的斜率分别为 k1,k2 ,k3 ,k4，则（ ）
A． k4 k3 k2 k1 B． k3 k4 k2 k1
C． k4 k3 k1 k2 D． k3 k4 k1 k2
【答案】D
【解析】由斜率的定义知， k2 k1 0 k4 k3 .
故选：D.
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）直线 x sin 3y b 0 ,b R 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． 0, B ． , ,
5
6 2 2 6
0, 5 C ,
5
． D． , 6 6 6 6
【答案】C
【解析】易得斜率必存在，设 x sin 3y b 0 的倾斜角为 0 且 2 ，
k sin 3 sin 由 x sin 3y b 0 可得斜率 tan ，
3 3
因为 R，所以 sin 1,1 ，
3 sin 3
所以 ,
3
，即 tan
3 3
3 3 3
, ，
3 3
5
所以 0, 6
,
6
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线 PM、QP、QM 的斜率分别为 k1、 k2 、 k3 ，则 k1、 k2 、 k3
的大小关系为（ ）
A． k1 k2 k3 B． k1 k3 k2 C． k2 k1 k3 D． k3 k2 k1
【答案】B
【解析】由于直线 PM 的倾斜角为钝角，QP、QM 的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即 k3 0,k2 0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即 k1 0，
又因为倾斜角为 0, 2 时，倾斜角越大，斜率越大，即
k3 k2 ；
所以 k1 k3 k2 .
故选：B.
5．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（ ）
A．若 是直线 l的倾斜角，则0 180
B．若 k 是直线的斜率，则 k R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】D
【解析】对于 A： 是直线 l的倾斜角，则0 180 ，故 A 正确；
对于 B：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故 B 正确；
对于 C、D：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存
在，故 C 正确；D 错误．
故选：D
6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）直线 x cos y sin 0, 0,
5
的斜率的取值范围
6
为（ ）
A． , 3 B． 2, C． ,0 0, 3 D． , 2
【答案】A
【解析】由 x cos
5
y sin 0, cos 0, 可得直线的斜率为： k .
6 sin
当 时， k 0；
2
当
0, ,
5 k 1 时， ，
2 2 6 tan
因为
0, 5 3 ，所以 tan , 0, , 6 3
1
所以 k ,0 0, 3 ；tan
所以 k , 3 .
故选：A
7．（2022·河南· 2高二阶段练习）已知直线 l经过 A 2 2x, 2 , B 0, x x 0 两点，则直线 l的倾斜角的取值
范围为（ ）
, 3 , 3 3 A． B． C． , D． ,
2 4 2 4 2 4
【答案】A
【解析】当 x 0时， A 0, 2 , B 0,0 ，所以此时直线 l的倾斜角为 ；
2
当 x 0时，设直线 l的倾斜角为 0 ，
k 2 x
2 1 2l x
1
所以直线 的斜率 AB 2 2 1，2 2x 2 2 x 2 2
当且仅当 x 2 时，等号成立，
3
所以 tan 1，所以 ，
2 4
3
此时直线 l
的倾斜角的取值范围为 , ， 2 4
3
综上，直线 l的倾斜角的取值范围为 ,2 4 ，
故选：A
8．（2022·上海市控江中学高二期中）设 a R ，若直线 l 经过点 A(a,2) B(a 1,3) ，则直线 l 的斜率是
___________.
【答案】1
【解析】因为直线 l 经过点 A(a,2) B(a 1,3) ，
3 2
所以直线 l 的斜率是 k 1，
a 1 a
故答案为：1
3
9．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知点 A（2，-1），B（3，m），若m 1, 3 13
，则直线 AB 的
倾斜角的取值范围为__________．
【答案】 0,
5 ,
3 6
【解析】设直线 AB 的倾斜角为 α，
∵点 A（2，-1），B（3，m），
m 1
∴直线 AB 的斜率 k m 1，
3 2
3
又∵m 1, 3 1 ，
3
3
∴m 1 , 3 ，
3
3
即 k 的取值范围为 , 3 ，
3
即 tan
3
, 3 ，
3
又∵α∈[0，π），
0, 5 ∴ , 3 6
，
5
故答案为： 0, , 3 6 ．
考点 2：直线与线段的相交问题
10．（2022·福建·闽江学院附中高二阶段练习）已知点M (1, 0)， P(0,1)，Q(2, 3)，过M 的直线 l（不垂直
于 x 轴）与线段 PQ相交，则直线 l斜率的取值范围是（ ）
A． 1，3 B． 1,0 3,
C． ， 1 3, D． ， 1 0, 3
【答案】C
【解析】点M (1, 0)， P(0,1)，Q(2, 3)，
如图，
3 1 0kMQ 3 ， k 1，2 MP 1 0 1
且过M 的直线 l（不垂直于 x 轴）与线段 PQ相交，
直线MQ 需绕M 点逆时针旋转至倾斜角为90 （不含90 ) ，此时斜率范围为[ 3， )，
直线MP 需绕M 点顺时针旋转至倾斜角为90 （不含90 ) ，此时斜率范围为 ( ， 1]．
综上，直线 l斜率的取值范围是 ( , 1] [ 3, )．
故选：C．
11．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若过点P( 1,0)的直线与以点 A(1, 2), B( 2, 3)为端点的
线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
, 2 2 2 A．
4 3
B． , C． 0, , D． 0, , 4 3 4 3 4 2 3
【答案】A
【解析】如图所示，设PA的倾斜角为 ， PB的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角的取值范围为 , ，
tan k 2 0易得 PA 1，1 1 tan k
3 0
PB 3 ， 2 1
2
又因为0 ,0 ，所以 , ，
4 3
2
所以所求直线的倾斜角的取值范围为 , . 4 3
故选：A.
.
12．（2022·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线 l过点P 0, 1 且斜率为 k ，若 l与连接两点
A 1, 2 ，B 2,1 的线段有公共点，则 k 的取值范围为（ ）
A． , 1 1, B． , 1 1,
C． 1,1 D． 1,1
【答案】D
【解析】如图，若 l与连接两点 A 1, 2 ，B 2,1 的线段有公共点，
则直线 l的斜率满足 kPA k kPB ，
因为 kPA 1, kPB 1，
所以 k 的取值范围为 1,1 .
故选：D
13．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知两点M (2, 3)， N ( 3, 2)，直线 l 过点 P(1,1) 且与线段MN 相
交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
k 3 3A． 或 k 4 B． 4 k
4 4
3 3
C． k 4 D． k 4
4 4
【答案】A
【解析】如图，要使直线 l与线段MN 相交，则应满足 k kPM 或 k kPN ，
k 1 3 1 2 3因为 PM 4， kPN ，1 2 1 3 4
3
所以 k 4或 k .
4
故选：A.
14．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）经过点P 0, 1 作直线 l，若直线 l 与连接 A 1, 2 ，B 2,1
的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为（ ）
A． 1,1 B． , 1 1, C． 1,1 D． , 1 1,
【答案】A
【解析】根据题意画图如下：
k 2 ( 1) 1,k 1 ( 1)PA PB 1,在射线 PA 逆时针旋转至射线 PB 时斜率逐渐变大,1 0 2 0
直线 l 与线段 AB 总有公共点，所以 1 k 1 .
故选:A.
15．（2021·北京·景山学校高二期中）已知直线 l： ax y 2 0 和点 P(2,1)，Q( 3,2)，若 l 与线段 PQ相交，
则实数 a 的取值范围是（ ）
3
A． a
2 3
B． a 或 a
2 4 3 4 3
C． a D． a 或 a
4 3 4 3 3 2 3 2
【答案】D
【解析】由直线 l： ax y 2 0 可知直线 l必过定点A (0, 2) ，且直线 l的斜率为 a，如下图所示：
2 1 3
由斜率公式可知，直线 AP 的斜率为 kAP ，0 2 2
k 2 2 4直线 AQ 的斜率为 AQ 0 ， ( 3) 3
3 4
若 l与线段 PQ相交，只需要 a kAP 或 a k2 AQ
，
3
4 3
故实数 a 的取值范围是 a 或 a .
3 2
故选：D.
16．（2021·陕西安康·高二期中（理））已知点 A( 3, 2)，B(4, 3) ，直线 l 过点 P(0,1)且与线段 AB 相交，则
直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
0, π 3π π 3π A． 6
, π B． ,4 6 4
0, π 5π , π πC． D． ,
5π
3 6 3 6
【答案】A
1 2 3 1 ( 3)
【解析】如图，斜率 kPA ， kPB 1，0 3 3 0 4
结合图象可知当直线 l 与线段 AB 相交时，
π 3π
其倾斜角的取值范围是 0, , π . 6 4
故选：A
考点 3：两直线平行问题
17．（2022·全国·高二课时练习）直线3x 2y a 0与直线6x 4y b 0的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定
【答案】D
【解析】当b 2a 时，两直线重合，
当b 2a 时，两直线平行，
所以题设两直线位置可能重合、平行.
故选：D
18．（2022·上海交大附中高二期末）已知 l1、 l2是平面直角坐标系上的直线，“ l1与 l2的斜率相等”是“ l1与 l2
平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【解析】 l1与 l2的斜率相等”，“ l1与 l2可能重合，故前者不可以推出后者，
若 l1与 l2平行， l1与 l2的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
19．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若直线 x my 3 0与直线4mx y 6 0 平行，则
m （ ）
1 1 1 1A． B． 2 C． 2 或 D．不存在2 2
【答案】B
4m2 1
【解析】由直线 x my 3 0与直线4mx y 6 0
1
平行，可得: ，解得m ．
12m 6 2
故选:B.
20．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知 A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点 D 使 AD⊥BC，
AB∥CD，则点 D 的坐标为（ ）
( 9 , 4) (54 ,13A． B． )
7 7 7 7
(38 13C． , ) D． (
38 , 5)
3 3 7 7
【答案】D
y 2 3 ( 2)
【解析】设 D(x，y)，∵AD⊥BC，∴ · ＝－1，∴x＋5y－9＝0，
x 1 1 0
x 38
y 2 3 2 x 5y 9 0 7
∵AB∥CD，∴ ＝
x 1 ( 1)
，∴x－2y－4＝0，由得 x 2y 4 0， 5 ， y
7
故选：D.
21．（2022·湖北·襄阳四中高二阶段练习）若 l1 : x m 1 y m 2 0， l2 : mx 2y 8 0的图象是两条平
行直线，则m 的值是
A．m 1或m 2 B．m 1 C．m 2 D．m 的值不存在
【答案】B
m 2 8
【解析】显然m 0 或m 1 0 时两条直线不平行，则由题意可得 ＝ ，解得m 1． 故选
1 m 1 m 2
B．
考点 4：两直线垂直问题
22．（2022·江苏·高二）已知直线 l1： a 1 x y 1 0和直线 l2： x a 1 y 1 0互相垂直，则实数 a
的值为（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
【答案】B
【解析】∵直线 l1： a 1 x y 1 0和直线 l2： x a 1 y 1 0互相垂直，
∴ a 1 1 1 a 1 0，即 a 1 .
故选：B.
23．（2022·江苏·高二）若直线 ax 4y 2 0与直线 2x 5y c 0垂直，垂足为 (1,b)，则 a b c （ ）
A． 6 B．4 C． 10 D． 4
【答案】D
【解析】因为 ax 4y 2 0与直线 2x 5y c 0垂直，故 2a 20 0 即 a 10，
10 1 4 b 2 0 b 3
因为垂足为 (1,b)，故
2 1 5 b c 0
，故 ，
c 17
故 a b c 4，
故选：D.
24．（2022·江苏·高二课时练习）下列条件中，使得 l1⊥l2的是（ ）
2 1
①l1的斜率为 ，l2经过点 A(1，1)，B 0， ；3 2
②l1的倾斜角为 45°，l2经过点 P(-2，-1)，Q(3，-5)；
③l1经过点 M(1，0)，N(4，-5)，l2经过点 R(-6，0)，S(-1，3).
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
1 1 2 3
【解析】对于①： k 3 k k 1 l ll k 2
， l l ，所以1 2 3 2 1 2
，故①正确；
2 AB 1 0 2
对于②： kl tan 45 1
1 5 4
1 ， kl kPQ ， kl kl 1，故②错误；2 2 3 5 1 2
0
k k 5 5
0 3 3
对于③： kl kRS ， kl k 1l MN 6 l l2 1 5 1 l2 ，所以 1 2，故③正确；1 1 4 3
故选：B
25．（2022·全国·高二专题练习）顺次连接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
k 3 5 1 k 3 0【解析】 AB CD k
3 0 3,k 5 3 1
4 2 3 6 3 ， AD CB ，则 kAD kCB， 4 3 2 6 2
所以 AB / /CD , AD 与BC 不平行，
kAD kAB 1
因此 AD AB
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
26．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）已知直线 l1 : 3x y 5 0，若直线 l2 l1，则直线 l2的倾斜角
大小为_____________．
5
【答案】 6
3
【解析】 直线方程 l1 : 3x y 5 0 kl 3 l1 2 l1 kl kl 1 k l1 2 l 直线 2的倾斜角大小为2 3
5
6
5
故答案为： 6
27．（多选题）（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知直线 l1的倾斜角为 30°， l2经过点M (1, 3) ，
N (2,0)，则 l1与 l2的位置关系为（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
【答案】BC
【解析】因为直线 l1的倾斜角为 30°，所以直线 l1的斜率 k1 tan 30
3
，又 l2经过点M (1, 3) ， N (2,0)，3
l k 3所以直线 2的斜率 2 3 ，1 2
3
故 k k l l1 2 3 1，所以 1⊥ 23
故选：BC
考点 5：五种直线方程
28．（2018·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线 l过点 1,2 ，且在两坐标轴上截距相等，则直线 l
的一般式方程为___________.
【答案】 x y 1 0 ， 2x y 0
【解析】显然直线 l的斜率存在且不为 0 ，设 l： y 2 k x 1
令 x 0，则 y 2 k y 0 x
2 k
；令 ，则
k
2 k
依题意， 2 k
k
解之得 k 1或 k 2
当 k 1时， l： x y 1 0
当 k 2 时， l： 2x y 0
故答案为： x y 1 0 ， 2x y 0
29．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）过点P(1, 2)且与直线 x y 2 0 平行的直线方程为
___________________.
【答案】 x y 1 0
【解析】因为过点P(1, 2)的直线与直线 x y 2 0 平行，
所以设直线方程为： x y m 0 ，
因为直线过点P(1, 2)， 1 2 m 0
所以m 1，
故直线方程为： x y 1 0 ，
故答案为： x y 1 0
30．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）某直线 l 过点B( 3, 4) ，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上
截距的 2 倍，则该直线的斜率是（ ）
4 1 4 1 4 1
A． B． C． 或 D． 或
3 2 3 2 3 2
【答案】D
【解析】当直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0 时，
4
设直线的方程为 y kx ，代入点B( 3,4) ，则4 3k ，解得 k ，
3
当直线在 x 轴和 y 轴上的截距均不为 0 时，
x y 3 4 5
设直线的方程为 1，代入点B( 3,4) ，则 1，解得m ，
2m m 2m m 2
x y
1
所以所求直线的方程为 5 5 ，即 x 2y 5 0，
2
4 1
综上，该直线的斜率是 或 ．
3 2
故选：D
31．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（理））经过点P( 5, 4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5
的直线方程是（ ）
A．8x 5y 20 0或 2x 5y 10 0
B．8x 5y 20 0或 2x 5y 10 0
C．8x 5y 10 0或 2x 5y 10 0
D．8x 5 y 20 0或 2x 5y 10 0
【答案】D
【解析】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为 y 4 k(x 5)(k 0)，即 kx y 5k 4 0 .
1
由 5k
4
4 5 5 2 8，得 k 或 k .
2 k 5 5
故所求直线方程为 2x 5y 10 0或8x 5 y 20 0 .
故选：D
32．（2021·江苏苏州·高二期中）已知三角形的顶点 A 4,1 ，B 6,3 ，C 3,0 .
(1)求 AC 边上的高BH 所在的直线方程；
(2)求 AB 边上的中线CD 所在的直线方程.
0 1
(1) A 4,1 C 3,0
kAC 1
【解析】 由于 ， ，所以 3 4 ，
因为BH 为 AC 边上的高，有 kAC kBH 1，所以 kBH 1，
又BH 过点B 6,3 ，所以有 y 3 1 x 6 ，
所以BH 所在直线的方程为 x y 3 0 .
(2)由于 A 4,1 ，B 6,3 ，
4 6 1 3
所以 AB 的中点 , ，即 1,2 ，
2 2
又C 3,0 k 2 0 1，所以 CD ， 1 3 2
1
又因为过点C 3,0 ，所以有 y 0 x 3 ，
2
所以 CD 所在直线的方程为 x 2y 3 0 .
33．（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形 AOB中， AO AB ，O 0,0 、 A 1,3 ，点 B 在 x 轴的正半
轴上，则直线 AB 的点斜式方程为（ ）
A． y 1 3 x 3 B． y 1 3 x 3
C． y 3 3 x 1 D． y 3 3 x 1
【答案】D
【解析】设线段OB的中点为M ，连接 AM ，
AO AB ，则 AM x 轴，则点M 1,0 ，故点B 2,0 ，
k 3所以，直线 AB 的斜率为 3，
1 2
所以直线 AB 的点斜式方程为 y 3 3 x 1 ．
故选：D．
34．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
y y
A 1． kx x 表示过点
P x1, y1 的所有直线方程
1
B．直线 y kx b与 y 轴交于一点B(0,b)，其中截距b OB
x y
C．在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是 1
a b
D．方程 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 表示过任意两点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线
【答案】D
y y1
【解析】对于 A 中，由 k Px x 表示过点 x1, y 1 且斜率存在，且不含点P x1, y1 的直线，所以 A 不正1
确；
对于 B 中，直线 y kx b与 y 轴交于一点B(0,b)，其中截距不是距离，截距为点 B 的坐标，其值可正可
负，所以 B 不正确；
x y
对于 C 中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是 0 ，不能表示为 1，所以 C 不正
a b
确；
对于 D 中，方程 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点
P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线，所以 D 正确.
故选：D.
35．（2022·全国·高二课时练习）过 (1,1), (2, 1)两点的直线方程为（ ）
A． 2x y 1 0 B． x 2y 3 0
C． 2x y 3 0 D． x 2y 3 0
【答案】C
【解析】∵直线过两点 (1,1) 和 (2, 1)，
y ( 1) x 2
∴直线的两点式方程为 ＝ ，整理得 2x y 3 01 ( 1) .1 2
故选：C.
7
36．（2022·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）已知 M（3， ），A（1，2），B（3，1），则过点 M 和
2
线段 AB 的中点的直线方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0
【答案】B
【解析】因为 A（1，2），B（3，1），
3
所以线段 AB 的中点坐标为 2, ，
2
3 7 3
所以过点 M y 和线段 AB 的中点的直线方程为 2 2 2 ，
x 2 3 2
即 4x 2y 5 0 .
故选：B.
37．（2022·全国·高二课时练习）直线 ax by c 0经过第一、三、四象限，则（ ）
A． ab 0,bc 0 B． ab 0,bc 0
C． ab 0,bc 0 D． ab 0,bc 0
【答案】B
【解析】直线 ax by c 0经过第一、三、四象限，如图所示，
c
0
则 a 0,b 0,c 0
b
，且 ab 0,bc 0
a
，则 ．
0
b
故选：B．
考点 6：直线与坐标轴围成三角形问题
38．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点 1,3 的直线分别交 x 轴正半轴和 y 轴正半轴于点A 、 B ，则
AOB （O为原点）面积的最小值为________.
【答案】6
【解析】设点 A a,0 、B 0,b x y，其中 a 0且b 0，则直线 AB 的方程为 1，
a b
1 3
1 1 3 3由已知可得 ，由基本不等式可得 1 2 ，则 ab 12，
a b a b ab
1
当且仅当 a 2，b 6时，等号成立，故 S△AOB ab 6 .2
故答案为：6 .
39．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线 l：y＝k（x﹣2）+3，且 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点.若使
△AOB 的面积为 m 的直线 l 共有四条，则正实数 m 的取值范围是____.
【答案】m＞12
【解析】∵直线 y k(x- 2) 3
与 x 轴，y 轴交点的坐标分别是， A 2
3
,0 , B 0,3 2k ，
k
1 3 1 2k 3 2S AOB 2 3 2k ，2 k 2 k
1 4k 2S 12k 9 1 9 1当 k＞0 时， AOB
4k 12 2 4 9 12 0，2 k 2 k 2
k 3当且仅当 2 时取等号.
∴当 S△AOB＝m＞0 时，在 k＞0 时，k 有两值；
1 4k 2S 12k 9 1 9 1当 k＜0 时， AOB
4k 12 2 4 9 12 12，2 k 2 k 2
当且仅当 k
3
时取等号.
2
∴当 0＜m＜12 时，仅有两条直线使△AOB 的面积为 m；
当 m＝12 时，仅有三条直线使△AOB 的面积为 m；
当 m＞12 时，仅有四条直线使△AOB 的面积为 m.
故答案为：m＞12.
40．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线 l 过点P 1, 2 .
（1）若直线 l 在两坐标轴上截距和为零，求 l 方程；
（2）设直线 l 的斜率 k 0，直线 l 与两坐标轴交点别为 A、B，求 AOB 面积最小值.
【解析】（1）因为直线 l 在两坐标轴上截距和为零，
所以直线 l 斜率存在且不为 0 ，故不妨设斜率为 k ，则直线 l 方程为 y 2 k x 1 ，
所以直线在 x, y 1
2
坐标轴上截距分别为 ， k 2，
k
2
所以 1 k 2 0，整理得 k 2k k 2 0
，解得 k 2 或 k 1
所以直线 l 方程为 2x y 0 或 x y 3 0 .
（2）由（1）知 A 1
2
,0 , B 0,k 2 ，
k
因为 k 0，
1 2 1 4 1 4
所以 AOB 面积为 S 1
2 k
k 2 4 k 2 k 2
4 2 k 4 ，
k
4
当且仅当 k ，即 k 2时等号成立，
k
所以 AOB 面积最小值 4
41．（2022·重庆市中山外国语学校高二期中）已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R)，若直线 l与 x、y轴的正
半轴交点分别为A 和B,О 为坐标原点.
（1）证明：直线 l过某定点，并求出该定点坐标；
（2）设（1）中的定点为 P ，求 PA PB 的最小值及此时直线 l的方程.
【解析】（1） kx y 1 2k 0， k x 2 1 y 0，
x 2 0 x 2
令 1 .解得 ， y 0
y 1
则当 x 2, y 1时，原方程恒成立，即直线 l恒过 (2,1)点.
2k 1
2 （ ）设直线 l的方程为 y 1 k(x 2)，则可得 A ,0 , B(0,1 2k)， k 0 .
k
1 2
PA PB 2 1 4 4k
2 21 k 2 ( 1 k) 4 .k k k
当且仅当 k
1
，即 k 1时取等号.
k
此时直线 l的方程为 x y 3 0 .
考点 7：直线过定点问题
42．（2022·广东·顺德一中高二期中）直线 y kx k 1过定点（ ）
A．( 0, 1) B． (1,1) C． ( 1, 1) D． (0,0)
【答案】C
【解析】因为直线方程为 y kx k 1，也即 y 1 k x 1 ，
故该直线恒过定点 1, 1 .
故选：C.
43．（2022·安徽·亳州二中高二期中）不论m 为何值，直线 3m 3 x 5 2m y m 6 0 都恒过一定点，
则此定点的坐标是______．
(1【答案】 ,1)3 .
【解析】由题意，直线 3m 3 x 5 2m y m 6 0 ，
可化为3x 5y 6 m(3x 2y 1) 0，
3x 5y 6 0 1
联立方程组 3x 2y 1 0 ，解得
x , y 1，
3
1
所以不论m 为何值，直线过定点 ( ,1)3 .
故答案为： (
1 ,1)
3 .
44．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知直线 k 1 x 1 2k y 3 0 k R 恒过定点 A，
x y
点 A 在直线 1 m 0,n 0 上，则 2m n 的最小值为___________.
m n
【答案】9
【解析】由题设， k 1 x 1 2k y 3 k(x 2y) x y 3 0，
∴当 x 2y 2时，方程恒成立，故直线恒过定点 (2,1)，
2 1
∴ 1 2 1，则 2m n (2m n)( ) 5 2n 2m 2n 2m 5 2 9，当且仅当m n 3时等号成
m n m n m n m n
立，
∴ 2m n 的最小值为9 .
故答案为：9
45．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R，过定点A 的动直线 x my 1 0和过定点 B 的动直线
mx y 2m 3 0 交于点P x, y ，则 PA PB 的最大值（ ）
A． 2 5 B．3 2 C．3 D．6
【答案】D
【解析】由题意，动直线 x my 1 0过定点 A( 1,0)，
x 2 0
直线mx y 2m 3 0 可化为 (x 2)m 3 y 0，令 ，可得B(2,3)
3
，
y 0
又1 m m ( 1) 0，所以两动直线互相垂直，且交点为 P ，
所以 | PA |2 | PB |2 | AB |2 1 2 2 0 3 2 18，
| PA |2 | PB |2 | PA | | PB |
2
因为
2 2
，
所以 PA PB 2 | PA |2 | PB |2 2 18 6，当且仅当 | PA | | PB | 3时取等号.
故选：D.
