17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共21张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-04 19:22:37 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第17.2 勾股定理的逆定理
人教版数学八年级下册
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程.
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题.
复习引入
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
A
B
C
在Rt△ ABC中，∠C=90°,
∴
结论变形：
勾股定理：
符号语言表示：
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
复习引入
据说，古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角.
互动新授
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形.
2.5
6
6.5
互动新授
如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？
是直角三角形
换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
4
8.5
7.5
是直角三角形
你能得出什么猜想？
互动新授
由上面几个例子，我们猜想：
命题2：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？
互动新授
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
互动新授
互动新授
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理:
典例精析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17;
(2)a=13，b=14，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
典例精析
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
N
E
P
Q
R
1
2
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a= ，b=4，c=5；
（3）a= ，b=1，c= ； （4）a=40，b=50，c=60.
是
是
是
不是
小试牛刀
1.如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
解：连接AC,
在Rt△ABC中，
在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
课堂检测
2.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
∵AC＞0，∴AC=5，
∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
课堂检测
1.一根长24的绳子，折成以三个连续偶数为三边的三角形，则三边的长分别为多少？该三角形的形状是什么？
解：设三个连续的偶数为a，a+2，a+4.
根据题意可得： a+a+2+a+4=24，解得a=6.
该三角形的三边为6、8、10，
因为62+82=102,
所以该三角形是直角三角形.
拓展训练
解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即(a－3) +(b－4) +(c－5) =0.
∴a=3,b=4,c=5，
即a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
2.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
拓展训练
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
1.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）.
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
C
2.在△中， 的对边分别为a、 b 、 c ，且
则下列说法一定正确的是（ ）
A.是直角 B.是直角
C.是直角 D.是锐角
C
课后作业
3.三角形的三边长满足试判断该三角形是否为直角三角形.
解：因为
所以
所以该三角形是直角三角形.
课后作业
谢谢聆听
第17.2 勾股定理的逆定理
人教版数学八年级下册
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程.
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题.
复习引入
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
A
B
C
在Rt△ ABC中，∠C=90°,
∴
结论变形：
勾股定理：
符号语言表示：
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
复习引入
据说，古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角.
互动新授
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形.
2.5
6
6.5
互动新授
如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？
是直角三角形
换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
4
8.5
7.5
是直角三角形
你能得出什么猜想？
互动新授
由上面几个例子，我们猜想：
命题2：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？
互动新授
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
互动新授
互动新授
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理:
典例精析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17;
(2)a=13，b=14，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
典例精析
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
N
E
P
Q
R
1
2
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a= ，b=4，c=5；
（3）a= ，b=1，c= ； （4）a=40，b=50，c=60.
是
是
是
不是
小试牛刀
1.如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
解：连接AC,
在Rt△ABC中，
在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
课堂检测
2.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
∵AC＞0，∴AC=5，
∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
课堂检测
1.一根长24的绳子，折成以三个连续偶数为三边的三角形，则三边的长分别为多少？该三角形的形状是什么？
解：设三个连续的偶数为a，a+2，a+4.
根据题意可得： a+a+2+a+4=24，解得a=6.
该三角形的三边为6、8、10，
因为62+82=102,
所以该三角形是直角三角形.
拓展训练
解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即(a－3) +(b－4) +(c－5) =0.
∴a=3,b=4,c=5，
即a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
2.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
拓展训练
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
1.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）.
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
C
2.在△中， 的对边分别为a、 b 、 c ，且
则下列说法一定正确的是（ ）
A.是直角 B.是直角
C.是直角 D.是锐角
C
课后作业
3.三角形的三边长满足试判断该三角形是否为直角三角形.
解：因为
所以
所以该三角形是直角三角形.
课后作业
谢谢聆听