直线的交点、距离公式与对称、最值问题
【知识梳理】
1、直线的交点
求两直线 A1x B1 y C1 0(A1B1C1 0) 与 A2 x B2 y C2 0(A2B2C2 0)的交点坐标，只需求两直线方程
A x B y C 0 A B C
联立所得方程组 1 1 1 的解即可．若有 1 1 1 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重
A2 x B2 y C2 0 A2 B2 C2
A1 B1 C A B合；若有 1 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 1 1 ，则方程组有唯一解，此时两直线
A2 B2 C2 A2 B2
相交，此解即两直线交点的坐标．
2、两点间的距离公式
两点 P1(x1，y1)， P2 (x
2 2
2，y2 ) 间的距离公式为 P1P2 (x2 x1) (y2 y1) ．
3、点到直线的距离公式
Ax By C
点 P(x0，y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离为 d
0 0 ．
A2 B2
4、两平行线间的距离
C C
直线 Ax By C1 0与直线 Ax By C 0的距离为 d
2 1
2 ．
A2 B2
5、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 P(x1 ，y1)关于点Q(x0 ，y0 ) 的对称点为 P (x2 ，y2 ) ，则根据
x
x
1
x2
0
中点坐标公式，有 2
y y1 y 2
0 2
可得对称点 P (x2 ，y2 ) 的坐标为 (2x0 x1 ，2y0 y1)
6、点关于直线对称
点 P(x1 ，y1)关于直线 l : Ax By C 0对称的点为 P (x2 ，y2 ) ，连接 PP ，交 l 于 M 点，则 l 垂直平分
kl kPP 1
PP ，所以 PP l ，且 M 为 PP 中点，又因为 M 在直线 l 上，故可得
x ，解出A 1 x2 B y1 y 2 C 0 2 2
(x2 ，y2 )即可．
7、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
8、直线关于直线对称
求直线 l1 : ax by c 0，关于直线 l2 : dx ey f 0 （两直线不平行）的对称直线 l3
第一步：联立 l1 ，l2 算出交点 P(x0 ，y0 )
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q(x1 ，y1) ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点Q (x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
9、常见的一些特殊的对称
点 (x，y)关于 x 轴的对称点为 (x， y) ，关于 y 轴的对称点为 ( x，y)．
点 (x，y)关于直线 y x 的对称点为 (y，x)，关于直线 y x 的对称点为 ( y， x)．
点 (x，y)关于直线 x a的对称点为 (2a x，y)，关于直线 y b 的对称点为 (x，2b y) ．
点 (x，y)关于点 (a，b) 的对称点为 (2a x，2b y) ．
点 (x，y)关于直线 x y k 的对称点为 (k y，k x) ，关于直线 x y = k 的对称点为 (k y，x k) ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：两直线的交点问题
考点 2：两点的距离
考点 3：点到直线的距离
考点 4：两平行直线的距离
考点 5：点线对称
考点 6：线点对称
考点 7：线线对称
考点 8：两线段和与差的最值问题
【典型例题】
考点 1：两直线的交点问题
y 3
1．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合 A (x, y) | 2 ，集合
x 2
B (x, y) | ax y 2 0 ，且 A B ，则a （ ）
5 5
A．2 B． 2 C． D．
2 2
2．（多选题）（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）下列m 的值中，不能使三条直线
l1 : 4x y 4, l2 : mx y 0 和 l3 : 2x 3my 4构成三角形的有（ ）
A．4 B． 6 C
2
． 1 D． 3
3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
则过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点的直线方程为（ ）
A． x 2 y 1 0 B． x 2y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
4．（2022·天津市第四十二中学高二阶段练习）已知直线 l1 : mx y m 1 0与射线 l2 : x y 2 0(x 0) 恒
有公共点，则 m 的取值范围是（ ）
A． ( , 1] (1, ) B． ( , 1] [1, )
C．[ 1,1) D．[ 1,1]
5．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线 y kx 2k 1 y 1与直线 x 2的交点在第一象限，
2
则实数 k 的取值范围是（ ）
1 , 1A
1 1 1 1
． B
．
2 2
, C． , 6 2 2
D． ,
2
6．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若 P(2,3)既是 A a1，b1 、B a2，b2 的中点,又是直线
l1 : a1x b1 y 13 0与直线 l2 : a2 x b2 y 13 0的交点,则线段 AB 的中垂线方程是（ ）
A．3x 2y 0 B．3x 2y 12 0
C．2x 3y 13 0 D． 2x 3y 5 0
7．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线 l1： ax y 1 0与 l2： 2x by 1 0相交于点M (1,1)，则 a b
__．
8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1： 2x y 8 0
和 l2： x 3y 10 0截得的线段恰好被点 P 平分，求直线 l 的方程.
9．（2022·广东·化州市第三中学高二期中）已知直线 l1： x 2y 3 0与直线 l2： 2x 3y 8 0的交点为
M．则过点 M 且与直线 l3：3x﹣y+1＝0 垂直的直线 l 的一般式方程为__________________．
10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
则过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点的直线方程为_________ .
11．（2022·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知 ABC 的顶点 A 5,1 ，AB 边上的中线 CM 所在直
线方程为 2x y 1 0 ，AC 的边上的高 BH 所在直线方程为 x 2y 5= 0 ．
(1)求顶点 C 的坐标；
(2)求直线 BC 的方程．
考点 2：两点的距离
12．（2022·河北艺术职业中学高二阶段练习）已知点 A 2, 1 ，B a,3 ，且 AB 5，则 a的值为
A．1 B． 5 C．1或 5 D． 1或5
13．（2022·江苏·盐城中学高二期中）直线 l1 : x my 2 0 与直线 l2 : mx y 2 0交于点 Q，m 是实数，O
为坐标原点，则 OQ 的最大值是（ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
14．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3, 6),C(5,2) ，则过 A 点的中线长为
（ ）
A． 10 B． 2 10 C．11 2 D．3 10
15．（2021·河北唐山·高二期中）已知 ABC 三顶点为 A 1, 4 、B 5, 2 、C 3,4 ，则 ABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
16．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
f x 2 的图像交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________．
x
17．（2022·广东碧桂园学校高二期中）已知点 A 2 5,3 ，在 y 轴上有一点 B ，且 AB 3 5，则点 B 的坐
标为_________．
考点 3：点到直线的距离
18．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知△ABC 的顶点 A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.
(1)求边 BC 上的高 AD 所在直线的方程；
(2)求边 BC 上的中线 AM 所在直线的方程；
(3)求△ABC 的面积.
19．（2022·江苏·盐城市大丰区南阳中学高二阶段练习）点 a,6 到直线3x 4y 2 0的距离大于 5，则实
数 a的取值范围为（ ）
1
A ． ,17
1
B． ,
17,
3 3
C
1
． ,
D． 17,
3
20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知 O 为坐标原点，直线 l : y kx 2 2k 上
存在一点 P，使得 OP 2 ，则 k 的取值范围为（ ）
A． 3 2, 3 2 B． ( , 2 3] [2 3, )
C． 2 3,2 3 D． ( , 3 2 ] [ 3 2, )
21．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）若点 P 3,1 到直线 l：3x 4y a 0 a 0 的距离为 3，则a
（ ）
3
A．3 B．2 C． D．1
2
22．（多选题）（2022·重庆·高二阶段练习）已知直线 l 经过点 3,5 ，且点 A 2,3 ，B 4, 1 到直线 l 的距
离相等，则直线 l 的方程可能为（ ）
A． 2x 3y 21 0 B． 2x y 1 0 C． x 2y 2 0 D． 2x 3y 6 0
23．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）点P( 1,2)到直线 2x y 10 0的距离为___________.
24．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点P 1,1 引直线，使 A 2,3 ，B 4, 5 到它的距离相等，则该直线的方
程是（ ）
A． 4x y 5 0 B． x 4y 5 0
C． x y 2 0或 4x y 5 0 D． x y 2 0或 x 4y 5 0
考点 4：两平行直线的距离
25．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）两平行线 x y 1 0 与 2x 2y 7 0之间的距离是（ ）
3
A B 2 C 5．3 2 ． ． 2 D．62 4
26．（2022·黑龙江黑河·高二阶段练习）两条平行直线3x 4y 2 0与3x 4y 3 0之间的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线 l1 : 3x 4y 6 0与 l2 : 3x 4y C 0 间的距离为 3，则
C _______.
28．（多选题）（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练习）下列直线中与直线 l： 2x y 1 0 平行且距离为
5 的是（ ）
A． 2x y 4 0 B． x 2y 3 0
C． 2x y 6 0 D． 4x 2y 7 0
29．（2022·河南·邓州春雨国文学校高二阶段练习）若直线 m 被两平行线 l1 : x y 1 0与 l2 : x y 3 0所
截得的线段的长为 2 2 ，则 m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号
是_____(写出所有正确答案的序号)．
30．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知直线 l1 : mx y 2m 3 0， l2 : mx y m 1 0，则直
线 l1与 l2之间的距离最大值为______.
考点 5：点线对称
31．（2022·河北保定·高二阶段练习）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=1，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的
一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P，如图所示，若光线 QR 经过 ABC 的重心 G，则
AP=______．直线 PQ 的斜率为_____________
32．（2022·湖南·周南中学高二阶段练习）点P 2,4 关于直线 x y 1的对称点的坐标为________.
33．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）从点 A( 4,1)出发的一束光线 l，经过直线
l1 : x y 3 0 反射，反射光线恰好通过点 B( 3,2) ，则反射光线所在直线的一般式方程为__________．
34．（2022·天津和平·高二期中）已知 A（-5，6）关于直线 l的对称点为 B（7，-4），则直线 l的方程是
________.
35．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点 A 1,3 与点 B 关于直线 l : x y 1 0对称，则点 B 的坐标为（ ）
A． 3,3 B． 2,2
5
C． ,
3
D． 3,2
2 2
36．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，点 3,1 关于直线 x y 1 0 的对称点为
（ ）
A． 4,0 B． 0,4 C． 2, 1 D． 1,2
37．（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期中）若入射光线所在直线的方程为 3x y 4 0，经直线
x y 1 0 反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． 3x y 5 0 B． x 3y 4 3 0
C． x 3y 3 5 0 D． x 3y 3 0
考点 6：线点对称
38．（2022·全国·高二单元测试）直线 ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点 M，则直线 2x＋3y－6＝0 关于点 M 对称
的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
39．（多选题）（2022·重庆·西南大学附中高二期中）已知点 P( 1,1)与直线 l : x y 1 0，下列说法正确的
是（ ）
A．过点 P 且截距相等的直线与直线 l一定垂直
B．过点 P 且与坐标轴围成三角形的面积为 2 的直线有 4 条
C．点 P 关于直线 l的对称点坐标为 (0,2)
D．直线 l关于点 P 对称直线方程为 x y 1 0
40．（2022·全国·高二课时练习）直线 l : y 2x 3关于点 P 2,3 对称的直线的方程是______．
41．（2021·全国·高二期中）与直线3x 4y 5 0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A．3x 4y 5 0 B．3x 4y 5 0
C．3x 4y 5 0 D．3x 4y 5 0
42．（2021·北京市平谷区第五中学高二期中）直线 y＝4x﹣5 关于点 P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
考点 7：线线对称
43．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）和直线 x 2y 1 0关于 x 轴对称的直线方程为
（ ）
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0
C． x 2y 1 0 D． x 2y 1 0
44．（2022·湖北·大冶市第一中学高二阶段练习）若两条平行直线 l1： x 2y m 0 m 0 与 l2：
2x ny 6 0之间的距离是 2 5 ，则直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为（ ）
A． x 2y 13 0 B． x 2y 2 0
C． x 2y 4 0 D． x 2y 6 0
45．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）两直线方程为 l1 : 3x 2y 6 0 ， l2 : x y 2 0，则 l1关于 l2对称
的直线方程为（ ）
A．3x 2y 4 0 B． 2x 3y 6 0
C． 2x 3y 4 0 D．3x 2y 6 0
46．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 l1 : x y 3 0 ，直线 l : x y 1 0，若直线 l1关于直线 l 的对称
直线为 l2，则直线 l2的方程为_______________．
47．（2022·全国·高二专题练习）若直线 l1 : y kx 2 k 与直线 l2关于直线 y x 1对称，则直线 l2恒过定点
________．
48．（2022·全国·高二专题练习）设直线 l1 : x y 1 0 ， l2 : x 2 y 2 0， l3 : 3x my 6 0．
（1）若直线 l1， l2， l3 交于同一点，求m 的值；
（2）若直线 l与直线 l1关于直线 l2对称，求直线 l的方程
考点 8：两线段和与差的最值问题
49．（2022·江苏南京·高二开学考试）在直线 l : 2x y 1 0上一点 P 到点 A（-3，0），B（1，4）两点距离
之和最小，则点 P 的坐标为___________.
50．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二阶段练习）已知点 A(2,5)与点B(4, 7)，点 P 在 y 轴上，且
使得PA PB 的值最小，则点 P 的坐标为_____________.
51．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点 A 2,3 ，B 1,1 ，直线 l : x y 1 0 .
(1)在直线 l上找一点C 使得 AC BC 最小，并求这个最小值和点C 的坐标；
(2)在直线 l上找一点D使得 AD BD 最大，并求这个最大值和点D的坐标.
52．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知 A(0, 2), B(3, 1)，点 P 为 x 轴上一动点，则 PA PB 的最
大值是（ ）
A． 10 B．3 2 C． 2 2 D． 7
53．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））直线 2x 3y 6 0分别交 x 轴和 y 于点 A, B， P 为直线 y x
上一点，则 PA PB 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
54．（2021·全国·高二期中）已知 x, y R ，则 x y 2 1 x 1 的最小值为（ ）
y
1 1
A B 2 C 1． ． ． 2 D． 2 2 4 2 2
55．（2021·贵州黔西·高二期中（理））已知实数 a，b 满足 4a 2b 3 0 ，则
a 2 2 b 2 2 a 1 2 b 1 2 的最小值为___________.
56．（2022·云南·罗平县第二中学高二阶段练习）某同学在研究函数 f (x) x2 1 | x 1|的性质时，联想
到两点间的距离公式，从而将函数变形为 f (x) (x 0)2 (0 1)2 (x 1)2 (0 0)2 ，求得 f (x) 的最小值
为________．
57．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习）已知 x ， y 为实数，代数式
1 y 2 2 9 3 x 2 x2 y2 的最小值是______.
58．（2022·广东·西樵高中高二阶段练习）设 x y 1 0 ，求
d x2 y2 6x 10y 34 x2 y2 4x 30y 229 的最小值是___________.
59．（多选题）（2022·辽宁·兴城市高级中学高二阶段练习）某同学在研究函数 f x x2 1 x 1 的最值
2 2 2 2
时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 f x x 0 0 1 x 1 0 0 ，则下列
结论正确的是（ ）
A 2．函数 f x 的最小值为 B．函数 f x 的最小值为 2
2
C．函数 f x 没有最大值 D．函数 f x 有最大值
60．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知点 R 在直线 x y 1 0 上，M 1,3 ， N 3, 1 ，则
RM RN 的最大值为（ ）
A． 5 B． 7 C． 10 D． 2 5直线的交点、距离公式与对称、最值问题
【知识梳理】
1、直线的交点
求两直线 A1x B1 y C1 0(A1B1C1 0) 与 A2 x B2 y C2 0(A2B2C2 0)的交点坐标，只需求两直线方程
A1x B1 y C 0 A B C联立所得方程组 1 的解即可．若有 1 1 1 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重
A2 x B2 y C2 0 A2 B2 C2
A B C A B
合；若有 1 1 1 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 1 1 ，则方程组有唯一解，此时两直线
A2 B2 C2 A2 B2
相交，此解即两直线交点的坐标．
2、两点间的距离公式
两点 P1(x1，y1)， P2 (x2，y2 ) 间的距离公式为 P
2 2
1P2 (x2 x1) (y2 y1) ．
3、点到直线的距离公式
Ax By C
点 P(x0，y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离为 d
0 0 ．
A2 B2
4、两平行线间的距离
C2 C直线 Ax By C1 0与直线 Ax By C2 0的距离为 d
1 ．
A2 B2
5、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 P(x1 ，y1)关于点Q(x0 ，y0 ) 的对称点为 P (x2 ，y2 ) ，则根据
x x1 x2 0
中点坐标公式，有 2
y y 1 y2
0 2
可得对称点 P (x2 ，y2 ) 的坐标为 (2x0 x1 ，2y0 y1)
6、点关于直线对称
点 P(x1 ，y1)关于直线 l : Ax By C 0对称的点为 P (x2 ，y2 ) ，连接 PP ，交 l 于 M 点，则 l 垂直平分
kl kPP 1
PP ，所以 PP l ，且 M 为 PP 中点，又因为 M 在直线 l 上，故可得
A x
，解出
1 x2
B
y1 y2 C 0
2 2
(x2 ，y2 )即可．
7、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
8、直线关于直线对称
求直线 l1 : ax by c 0，关于直线 l2 : dx ey f 0 （两直线不平行）的对称直线 l3
第一步：联立 l1 ，l2 算出交点 P(x0 ，y0 )
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q(x1 ，y1) ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点Q (x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
9、常见的一些特殊的对称
点 (x，y)关于 x 轴的对称点为 (x， y) ，关于 y 轴的对称点为 ( x，y)．
点 (x，y)关于直线 y x 的对称点为 (y，x)，关于直线 y x 的对称点为 ( y， x)．
点 (x，y)关于直线 x a的对称点为 (2a x，y)，关于直线 y b 的对称点为 (x，2b y) ．
点 (x，y)关于点 (a，b) 的对称点为 (2a x，2b y) ．
点 (x，y)关于直线 x y k 的对称点为 (k y，k x) ，关于直线 x y = k 的对称点为 (k y，x k) ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：两直线的交点问题
考点 2：两点的距离
考点 3：点到直线的距离
考点 4：两平行直线的距离
考点 5：点线对称
考点 6：线点对称
考点 7：线线对称
考点 8：两线段和与差的最值问题
【典型例题】
考点 1：两直线的交点问题
y 3
1．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合 A (x, y) | 2 ，集合
x 2
B (x, y) | ax y 2 0 ，且 A B ，则a （ ）
5 5
A．2 B． 2 C． D．
2 2
【答案】AD
A 【解析】因为集合 (x, y) |
y 3
2 ，集合B (x, y) | ax y 2 0 ，且 A B ，
x 2
所以直线 y 3 2(x 2)(x 2)与直线 ax y 2 0 平行或交于点 2，3 ，
当两线平行时， a 2；
当两线交于点 2 5，3 时， 2a 3 2 0，解得 a ．
2
5
综上得 a 等于 或 2．
2
故选：AD．
2．（多选题）（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）下列m 的值中，不能使三条直线
l1 : 4x y 4, l2 : mx y 0 和 l3 : 2x 3my 4构成三角形的有（ ）
A．4 B． 6 C
2
． 1 D． 3
【答案】ACD
【解析】由题意，
当三条直线 l1 : 4x y 4, l2 : mx y 0 和 l3 : 2x 3my 4，
若 l1//l2时，可得m 4 ；
当 l1 / /l
1
3 时，可得m ；6
当 l2 / /l3 时，则满足3m2 2 0 ，无解；
4 4m
当三条直线经过一个点时，把 l1和 l2的交点为 ( , )，4 m 4 m
8 12m2 2
代入直线 2x 3my 4 中，可得 4 0，解得m 1或m ，
4 m 4 m 3
m 1 2综上可得，满足条件的 为 4或 或 1或
6 3
.
故选：ACD.
3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
则过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点的直线方程为（ ）
A． x 2 y 1 0 B． x 2y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
【答案】B
【解析】依题意两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
所以 a1 2b1 1 0,a2 2b2 1 0，Q1,Q2在直线 x 2y 1 0上，
所以过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点所在直线方程为 x 2y 1 0，
故选：B
4．（2022·天津市第四十二中学高二阶段练习）已知直线 l1 : mx y m 1 0与射线 l2 : x y 2 0(x 0) 恒
有公共点，则 m 的取值范围是（ ）
A． ( , 1] (1, ) B． ( , 1] [1, )
C．[ 1,1) D．[ 1,1]
【答案】C
mx y m 1 0 m 1
【解析】联立 x y 2 0 ，得
x ，
m 1
∵直线 l1 : mx y m 1 0与射线 l2 : x y 2 0(x 0) 恒有公共点，
x m 1∴ 0，
m 1
解得 1 m 1 .
∴m 的取值范围是 1,1 .
故选：C.
5．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线 y kx 2k 1 y 1与直线 x 2的交点在第一象限，
2
则实数 k 的取值范围是（ ）
1 , 1A
1 , 1B
1 1
． ． C． , D ,
2 2 6 2 2
．
2
【答案】B
y kx 2k 1 x 2 4k 2k 1
【解析】将两直线方程组成方程组 1 ，解得 ，因为直线 y kx 2k 1
y x 2 6k 1
与直线
2 y 2k 1
2 4k 0
1 2k 1 1 1y x 2的交点在第一象限，所以 k
2 6k
解得
1
0 6 2
2k 1
故选：B
6．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若 P(2,3)既是 A a1，b1 、B a2，b2 的中点,又是直线
l1 : a1x b1 y 13 0与直线 l2 : a2 x b2 y 13 0的交点,则线段 AB 的中垂线方程是（ ）
A．3x 2y 0 B．3x 2y 12 0
C．2x 3y 13 0 D． 2x 3y 5 0
【答案】A
【解析】直线 l1 : a1x b1 y 13 0与直线 l2 : a2 x b2 y 13 0方程相减可得：
(a1 a2 )x (b1 b2 )y 0 ，
b1 b2 2
把点 P 代入可得： kAB a a 3 ，1 2
3线段 AB 的中垂线方程是 y 3 (x 2) ，化为：3x 2y 02 ．
故选A ．
7．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线 l1： ax y 1 0与 l2： 2x by 1 0相交于点M (1,1)，则 a b
__．
【答案】﹣1
【解析】把M (1,1)分别代入直线 l1和直线 l2的方程，
得 a 1 1 0,2 b 1 0，
所以 a 2,b 1，
所以 a b 1．
故答案为：-1．
8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1： 2x y 8 0
和 l2： x 3y 10 0截得的线段恰好被点 P 平分，求直线 l 的方程.
【解析】设 l1与 l 的交点为 A(a，8-2a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(-a，2a-6)在 l2上，
代入 l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得 a＝4，
即点 A(4，0)在直线 l 上，
y 0 x 4
∴直线 l 的方程为 即 x＋4y-4＝0.
1 0 0 4
9．（2022·广东·化州市第三中学高二期中）已知直线 l1： x 2y 3 0与直线 l2： 2x 3y 8 0的交点为
M．则过点 M 且与直线 l3：3x﹣y+1＝0 垂直的直线 l 的一般式方程为__________________．
【答案】 x 3y 7 0
x 2y 3 0
【解析】联立 ，解得：M (1, 2)
2x
．
3y 8 0
1
所以与 l3垂直的直线方程为： y 2 (x 1) ，3
整理得： x 3y 7 0．
故答案为： x 3y 7 0
10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
则过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点的直线方程为_________ .
【答案】 x 2y 1 0
【解析】依题意两直线 a1x b1 y 1 0和 a2x b2 y 1 0的交点为P(1, 2)，
所以 a1 2b1 1 0,a2 2b2 1 0，Q1,Q2在直线 x 2y 1 0上，
所以过Q1(a1,b1), Q2 (a2 ,b2 ) 两点所在直线方程为 x 2y 1 0 .
故答案为： x 2y 1 0
11．（2022·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知 ABC 的顶点 A 5,1 ，AB 边上的中线 CM 所在直
线方程为 2x y 1 0 ，AC 的边上的高 BH 所在直线方程为 x 2y 5= 0 ．
(1)求顶点 C 的坐标；
(2)求直线 BC 的方程．
C m,n
【解析】(1)设 ，
∵AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x y 5 0，
AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x 2y 5 0．
2m n 5 0
m 4
∴ n 1 1 ，解得
1 n 3
．
m 5 2
∴C 4,3 ．
a 2b 5 0
(2)设B a,b ，则 a 5 1 b ，
2 5 0 2 2
a 1
解得 b 3．
∴B 1, 3 ．
k 3 3 6∴ BC ．4 1 5
6
∴直线 BC 的方程为 y 3 x 4 ，即为6x 5y 9 0．
5
考点 2：两点的距离
12．（2022·河北艺术职业中学高二阶段练习）已知点 A 2, 1 ，B a,3 ，且 AB 5，则 a的值为
A．1 B． 5 C．1或 5 D． 1或5
【答案】C
2
【解析】由题意知： AB a 2 3 1 2 5，解得： a 1或 5
本题正确结果：C
13．（2022·江苏·盐城中学高二期中）直线 l1 : x my 2 0 与直线 l2 : mx y 2 0交于点 Q，m 是实数，O
为坐标原点，则 OQ 的最大值是（ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
【答案】B
l : x my 2 0 l : mx y 2 0 Q 2 2m , 2 2m 【解析】因为 1 与 2 的交点坐标为
1 m2 1 m2
2 2m 2 2 2 2m 8 1 m2 2 2
所以 OQ
1 m2 1 m2
2 2
1 m2 ，1 m
当m 0时， OQ 2 2max ，
所以 OQ 的最大值是 2 2 ，
故选：B.
14．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3, 6),C(5,2) ，则过 A 点的中线长为
（ ）
A． 10 B． 2 10 C．11 2 D．3 10
【答案】B
【解析】设过 A 点中线长即为线段 AD.
D 3 5 , 6 2 D 为 BC 中点： ，即 D（4， 2）
2 2
∴ | AD | (4 2)2 ( 2 4)2 4 36 2 10
故选：B.
15．（2021·河北唐山·高二期中）已知 ABC 三顶点为 A 1, 4 、B 5, 2 、C 3,4 ，则 ABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由已知， AB (6,6)，BC ( 2,2)，
∴ AB BC 6 ( 2) 6 2 0 ，即 AB BC ，
∴ ABC 是直角三角形.
故选：B.
16．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
f x 2 的图像交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________．
x
【答案】4
y kx
【解析】设直线 y kx (k 0)
2
，联立曲线方程 y 2
，解得 x ，
k x
2 2 2 2
可得P ,kk k
,Q , k ,
k k
PQ 4 2 2 8所以 4k 2 8k 2 64 4，
k k k
8
当且仅当 8k 即 k 1时等号成立，
k
所以 PQ长的最小值为 4.
故答案为：4.
17．（2022·广东碧桂园学校高二期中）已知点 A 2 5,3 ，在 y 轴上有一点 B ，且 AB 3 5，则点 B 的坐
标为_________．
【答案】 0,8 或 0, 2
【解析】设 y 轴上的点 B 的坐标为 0, y ，
因为点 A 2 2 5,3 ，所以 AB 2 5 y 3 2 3 5 ，
解得: y 8或 y 2，
所以点 B 的坐标为 0,8 或 0, 2 ，
故答案为： 0,8 或 0, 2 .
考点 3：点到直线的距离
18．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知△ABC 的顶点 A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.
(1)求边 BC 上的高 AD 所在直线的方程；
(2)求边 BC 上的中线 AM 所在直线的方程；
(3)求△ABC 的面积.
k 7 ( 1) 1BC 2
【解析】（1）因为 3 ( 1)
kAD
，所以 2 ，从而边 BC 上的高 AD 所在直线的方程为
y 1 5 x 1
2 ，即 x+2y-9=0
y 3 x 1
（2）因为 M 是 BC 的中点，所以 M（1，3），从而边 BC 上的中线 AM 所在直线的方程为 5 3 1 1，
即 y x 4
y 1 x 1
3 BC 7 1 3 1（ ）由题意知，边 所在直线的方程为 ，即
2 1 5 1
h 6 5
2x y 1 0, BC (3 1)2 (7 1)2 4 5
，所以点A 到直线BC 的距离 2
2 1 5 ，从而
1
BC h 12
ABC 的面积 2 .
19．（2022·江苏·盐城市大丰区南阳中学高二阶段练习）点 a,6 到直线3x 4y 2 0的距离大于 5，则实
数 a的取值范围为（ ）
1
A ． ,17
1
B． , 17,
3 3
, 1C ． D． 17,
3
【答案】B
【解析】因为点 a,6 到直线3x 4y 2 0的距离大于 5，
3a 4 6 2
所以 5
1
2 2 ，解得： a 或 a 17，3 4 3
1
所以实数 a的取值范围为 , 17, .
3
故选：B
20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知 O 为坐标原点，直线 l : y kx 2 2k 上
存在一点 P，使得 OP 2 ，则 k 的取值范围为（ ）
A． 3 2, 3 2 B． ( , 2 3] [2 3, )
C． 2 3,2 3 D． ( , 3 2 ] [ 3 2, )
【答案】C
【解析】点O 0,0 到直线 l : y kx 2 2k 的距离为
d | k 0 0 2 2k | | 2 2k |
k 2 ( 1)2 k 2 ， 1
由题意得坐标原点到直线 l距离 d OP ， OP 2 ，
| 2 2k |
所以 22 ，解得 2 3 k 2 3k 1
所以 k 的取值范围为 2 3,2 3 .
故选：C.
21．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）若点 P 3,1 到直线 l：3x 4y a 0 a 0 的距离为 3，则a
（ ）
3
A．3 B．2 C． D．1
2
【答案】B
13 a
【解析】由题设可得 d 3，结合 a 0可得 a 2，
9 16
故选：B.
22．（多选题）（2022·重庆·高二阶段练习）已知直线 l 经过点 3,5 ，且点 A 2,3 ，B 4, 1 到直线 l 的距
离相等，则直线 l 的方程可能为（ ）
A． 2x 3y 21 0 B． 2x y 1 0 C． x 2y 2 0 D． 2x 3y 6 0
【答案】AB
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 3，此时点 A 到直线 l 的距离为 5，点 B 到直线 l 的
距离为 1，显然不满足题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 5 k(x 3)，即 kx y 5 3k 0．
| 2k 3 5 3k | | 4k 1 5 3k | 2
由已知得 2 2 ，所以 k 2或 k ，k 1 k 1 3
2
当 k 2时，直线 l 的方程为 2x y 1 0 ；当 k 时，直线 l 的方程为 2x 3y 21 0 ．
3
所以直线 l 的方程可能为 2x y 1 0 或 2x 3y 21 0
故选：AB
23．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）点P( 1,2)到直线 2x y 10 0的距离为___________.
【答案】 2 5
2 2 10
【解析】由已知所求距离为 d 2 52 ．( 2) 12
故答案为： 2 5 ．
24．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点P 1,1 引直线，使 A 2,3 ，B 4, 5 到它的距离相等，则该直线的方
程是（ ）
A． 4x y 5 0 B． x 4y 5 0
C． x y 2 0或 4x y 5 0 D． x y 2 0或 x 4y 5 0
【答案】C
【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 x 1， A 2,3 ，B 4, 5 到它的距离分别为 1，3，不合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为 y 1 k(x 1)，即 kx y k 1 0，由 A 2,3 ，B 4, 5 到它的距离相
等
2k 3 k 1 4k 5 k 1
得 ，解得 k 1或 4，即直线方程为 x y 2 0或 4x y 5 0 .
k 2 1 k 2 1
故选：C.
考点 4：两平行直线的距离
25．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）两平行线 x y 1 0 与 2x 2y 7 0之间的距离是（ ）
3
A．3 2 B． 2 C
5
． 2 D．6
2 4
【答案】C
【解析】方程 x y 1 0 可化为 2x 2y 2 0，
| 2 ( 7) | 5
所以两平行线之间的距离为 22 .2 22 4
故选：C
26．（2022·黑龙江黑河·高二阶段练习）两条平行直线3x 4y 2 0与3x 4y 3 0之间的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
| 3 ( 2) |
【解析】由平行线距离公式可得 d 1 .32 ( 4)2
故选：A
27．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线 l1 : 3x 4y 6 0与 l2 : 3x 4y C 0 间的距离为 3，则
C _______.
【答案】 9或 21
6 C
【解析】由题，可知 l //l ，所以两平行线间距离为 d 31 2 32
，
4 2
解得C 9或 21，
故答案为： 9或 21
28．（多选题）（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练习）下列直线中与直线 l： 2x y 1 0 平行且距离为
5 的是（ ）
A． 2x y 4 0 B． x 2y 3 0
C． 2x y 6 0 D． 4x 2y 7 0
【答案】AC
【解析】设与与直线 l： 2x y 1 0 平行的直线为 2x y m 0，
1 m
又 d 5
22
，
1 2
解得m 4 或m 6，
即该直线为 2x y 4 0或 2x y 6 0 ，
故选：AC.
29．（2022·河南·邓州春雨国文学校高二阶段练习）若直线 m 被两平行线 l1 : x y 1 0与 l2 : x y 3 0所
截得的线段的长为 2 2 ，则 m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号
是_____(写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
1 3
【解析】因为 l1∥ l2 ，所以直线 l1， l2间的距离 d 2 ．2
设直线 m 与直线 l1， l2分别相交于点 B，A，
则 AB 2 2 ，
过点 A 作直线 l 垂直于直线 l1，垂足为 C，
则 AC d 2 ，
Rt ABC sin ABC AC 2 1则在 △ 中， ，
AB 2 2 2
所以 ABC 30 ，
又直线 l1的倾斜角为 45°，
所以直线 m 的倾斜角为 45 30 75 或 45 30 15 ．
故答案为：①⑤．
30．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知直线 l1 : mx y 2m 3 0， l2 : mx y m 1 0，则直
线 l1与 l2之间的距离最大值为______.
【答案】5
【解析】直线 l1 : mx y 2m 3 0化简为：m(x 2) y 3 0，
令 x 2 0且 y 3 0，解得 x 2 ， y 3，
所以直线 l1过定点 A( 2,3)，
直线 l2 : mx y m 1 0化简为：m(x 1) y 1 0，
令 x 1 0且 y 1 0，解得 x 1， y 1，
所以直线 l2过定点B(1, 1)，，
当 AB 与直线 l1， l2垂直时，直线 l1， l2的距离最大，
且最大值为 AB ( 2 1)2 (3 1)2 5，
故答案为：5．
考点 5：点线对称
31．（2022·河北保定·高二阶段练习）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=1，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的
一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P，如图所示，若光线 QR 经过 ABC 的重心 G，则
AP=______．直线 PQ 的斜率为_____________
1
【答案】 2
3
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得 B(1,0)，C(0,1)，
1 1
所以直线BC 的方程为 x y 1 0 ， ABC 的重心 G 的坐标为 ( , )，
3 3
设点P(a,0) ， (a 0)，M , N 分别是点 P 关于直线 BC 和 y 轴的对称点，
连接 NR,QM ，所以 N ( a,0) ，设M (x0 , y0 )，则有
y0 0
( 1) 1 x0 a x0 1 ，解得 ，所以M (1,1 a)
a x 0 y y0 1
，
a
0
0 1 0
2 2
由光的反射原理可知，M , N ,Q, R四点共线，所以 kMN kGN ，
1
1 a 3 1 1
即 ，解得 a ，此时 AP ，
1 a 1 a 3 3
3
N ( 1所以 ,0)，M (1,
2)，P(
1 ,0)，直线MN 的方程为3x 6y 1 0，
3 3 3
5
3x 6y 1 0 x 9
联立直线MN 的方程与BC 的方程有： x y 1 0 ，解得 ，
y 4
9
4
0
即Q(
5 , 4) ，所以直线 PQ 9的斜率为 k
9 9 PQ 5 1
2 .
9 3
1
故答案为： ，2.
3
32．（2022·湖南·周南中学高二阶段练习）点P 2,4 关于直线 x y 1的对称点的坐标为________.
【答案】 3, 1
y0 4
1 x 2 x0 3
【解析】设对称点为P x 00 , y0 ，则
x 2 y 4 y0 1
,
0 0 1
2 2
故点P 2,4 关于直线 x y 1的对称点的坐标为 3, 1 .
故答案为： 3, 1 .
33．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）从点 A( 4,1)出发的一束光线 l，经过直线
l1 : x y 3 0 反射，反射光线恰好通过点 B( 3,2) ，则反射光线所在直线的一般式方程为__________．
【答案】3x y 7 0
【解析】设 A( 4,1)关于直线 l1 : x y 3 0 的对称点为D x1, y1 ，
y1 1
1 1 x 4 x1 2
所以 1 ，解得 ，即 D( 2, 1)，
x1 4 y 1 y 1 3 0 1
1
2 2
依题意：D 在反射光线上，又 B( 3,2) 也在反射光线上，
k 2 1∴ BD 3，故所求方程为 y 1 3(x 2) ，整理得：3x y 7 0． 3 2
故答案为：3x y 7 0
34．（2022·天津和平·高二期中）已知 A（-5，6）关于直线 l的对称点为 B（7，-4），则直线 l的方程是
________.
【答案】6x 5y 1 0
【解析】 A, B 关于直线 l对称， kAB kl 1 .
4 6 5
因为 A -5 6 B 7
6
（ ， ）， （ ，-4），所以 kAB ，所以 k .7 5 6 l 5
又因为 AB 中点（1，1）在直线 l上，所以直线方程为6x 5y 1 0
故答案为：6x 5y 1 0
35．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点 A 1,3 与点 B 关于直线 l : x y 1 0对称，则点 B 的坐标为（ ）
A． 3,3 B． 2,2
5
C． ,
3
D． 3,2
2 2
【答案】B
【解析】设点B x0 , y0 ，因为点 A 1,3 与点 B 关于直线 l : x y 1 0对称，
x0 1 y0 3
1 0 2 2
所以 y 3 ，解得 x0 y 0 2， 0 1
x0 1
所以B 2,2
故选：B
36．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，点 3,1 关于直线 x y 1 0 的对称点为
（ ）
A． 4,0 B． 0,4 C． 2, 1 D． 1,2
【答案】B
【解析】设对称点为 m,n ，
n 1
1 1 m 3 m 0
由题意可得 ，解得 ，即对称点为 0,4 m ， 3 n 1
n 4
1 0
2 2
故选：B.
37．（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期中）若入射光线所在直线的方程为 3x y 4 0，经直线
x y 1 0 反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． 3x y 5 0 B． x 3y 4 3 0
C． x 3y 3 5 0 D． x 3y 3 0
【答案】C
【解析】对直线 3x y 4 0，令 x 0，解得 y 4 ，
设 A 0, 4 ，关于直线 x y 1 0 的对称点为B m,n ，
n 4
1 m m 5
则 ，解得 B 5,1
m n 4 1 0 n 1
，即 ，
2 2
对直线 3x y 4 0，令 x 3 ，解得 y 1，
设C 3, 1 ，关于直线 x y 1 0 的对称点为D a,b ，
b 1 1
a 3 a 2
则 ，解得 ，即D 2,1 3 ，
a 3 b 1 b 1 3
1 0
2 2
k 1 3 1 3BD ，2 5 3
BD y 1 3直线 ： x 5 ，即 x 3y 3 5 0。
3
故选：C
考点 6：线点对称
38．（2022·全国·高二单元测试）直线 ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点 M，则直线 2x＋3y－6＝0 关于点 M 对称
的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【解析】由 ax＋y＋3a－1＝0 得 x 3 a y 1 0，
x 3 0 x 3
由 y ，得 ，∴M（－3，1）． 1 0
y 1
设直线 2x＋3y－6＝0 关于点 M 对称的直线方程为 2x 3y C 0 C 6 ，
6 3 6 6 3 C
∴ ，解得:C＝12 或 C＝－6（舍去），
4 9 4 9
∴直线 2x＋3y－6＝0 关于点 M 对称的直线方程为 2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
39．（多选题）（2022·重庆·西南大学附中高二期中）已知点 P( 1,1)与直线 l : x y 1 0，下列说法正确的
是（ ）
A．过点 P 且截距相等的直线与直线 l一定垂直
B．过点 P 且与坐标轴围成三角形的面积为 2 的直线有 4 条
C．点 P 关于直线 l的对称点坐标为 (0,2)
D．直线 l关于点 P 对称直线方程为 x y 1 0
【答案】AB
【解析】已知点 P( 1,1)与直线 l : x y 1 0 .
对于 A：当截距为 0 时，直线 y x与直线 l : x y 1 0垂直；
x y
当截距相等且不为 0 时，可设直线： 1，把 P( 1,1)代入，无解.
a a
所以过点 P 且截距相等的直线 y x与直线 l垂直.故 A 正确；
对于 B：过点 P 的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为 k，则直线为
y 1 k x 1 1 1，所以三角形的面积为 1 k 1 2 ，解得：
2 k k 2 5
或 k 2 5 ，所以符合题意的
直线有 4 条.故 B 正确；
y 1
1 1 x 1 x 0
对于 C：设点 P 关于直线 l的对称点坐标 x, y ，则有 x ，解得： 1 y 1 1 0 y 0
，
2 2
即点 P 关于直线 l的对称点坐标 0,0 .故 C 错误；
1 1 c 1 1 1
对于 D：设直线 l关于点 P 对称直线方程为 x y c 0, c 1 ，则有 ，解得 c=3，即
1 1 1 1
设直线 l关于点 P 对称直线方程为 x y 3 0 .故 D 错误.
故选：AB
40．（2022·全国·高二课时练习）直线 l : y 2x 3关于点 P 2,3 对称的直线的方程是______．
【答案】 2x y 5 0
【解析】记直线 l 关于点 P 对称的直线为 l ，则由题意可知 l∥l ，
所以设 l 的方程为 y 2x b ，即 2x y b 0
2 2 3 3 2 2 3 b
又点点 P 到两直线的距离相等，所以
22 ( 1)2 22 ( 1)2
整理可得 b 1 4，解得b 5或b 3
当b 3时，即为直线 l，故b 5
所以所求方程为： 2x y 5 0 .
故答案为： 2x y 5 0
41．（2021·全国·高二期中）与直线3x 4y 5 0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A．3x 4y 5 0 B．3x 4y 5 0
C．3x 4y 5 0 D．3x 4y 5 0
【答案】D
【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为 x, y ，则关于原点对称点的坐标为 x, y ，该点在已知的
直线上，则 3x 4y 5 0，即3x 4y 5 0 .
故选：D.
42．（2021·北京市平谷区第五中学高二期中）直线 y＝4x﹣5 关于点 P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线 y 4x 5上的点P x0, y 0 关于点 2,1 的对称点的坐标为 x, y ，
x0 x =2 y所以 ， 0
y =1，所以 x0 4 x ， y2 2 0
2 y，
将其代入直线 y 4x 5中，得到 2 y 4 4 x 5，化简得 y 4x 9 ，
故选：C．
考点 7：线线对称
43．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）和直线 x 2y 1 0关于 x 轴对称的直线方程为
（ ）
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0
C． x 2y 1 0 D． x 2y 1 0
【答案】A
【解析】因为点 (x, y)关于 x 的对称点 (x, y)，
所以直线 x 2y 1 0关于 x 轴对称的直线方程为 x 2( y) 1 0，即 x 2y 1 0，
故选：A.
44．（2022·湖北·大冶市第一中学高二阶段练习）若两条平行直线 l1： x 2y m 0 m 0 与 l2：
2x ny 6 0之间的距离是 2 5 ，则直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为（ ）
A． x 2y 13 0 B． x 2y 2 0
C． x 2y 4 0 D． x 2y 6 0
【答案】A
【解析】因为直线 l1： x 2y m 0 m 0 与 l2： 2x ny 6 0，
所以 n 2 2 4，
又两条平行直线 l1： x 2y m 0 m 0 与 l2： 2x ny 6 0之间的距离是 2 5 ，
| 2m 6 |
所以 2 5, 解得m 7
4 16
即直线 l1： x 2y 7 0， l2： x 2y 3 0，
设直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为 x 2y c 0，
| 3 7 | | 3 c |
则 ，解得 c 13，
5 5
故所求直线方程为 x 2y 13 0，
故选：A
45．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）两直线方程为 l1 : 3x 2y 6 0 ， l2 : x y 2 0，则 l1关于 l2对称
的直线方程为（ ）
A．3x 2y 4 0 B． 2x 3y 6 0
C． 2x 3y 4 0 D．3x 2y 6 0
【答案】C
【解析】设所求直线上任一点M (x, y)，M 关于直线 x y 2 0 的对称点M (x1 ， y1)，
y y1
1 x x1 x1 y 2则 ，解出 (*)
x x1 y y 1 2 0
y1 x 2
2 2
点M 在直线3x 2y 6 0上， 将 (*)式代入，得3(y 2) 2(x 2) 6 0 ，
化简得 2x 3y 4 0，即为 l1关于 l2对称的直线方程．
故选：C
46．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 l1 : x y 3 0 ，直线 l : x y 1 0，若直线 l1关于直线 l 的对称
直线为 l2，则直线 l2的方程为_______________．
【答案】 x y 5 0 .
【解析】由题意知 l1//l2，设直线 l2 : x y m 0 m 3, m 1 ，在直线 l1上取点M 0,3 ，
M l M '设点 关于直线 的对称点为 a,b ，
b 3
1 1 a '
则 ， 解得 a 4,b 1a 0 b 3 ，即
M 4, 1 ，
1 0
2 2
'
将M 4, 1 代入 l2的方程得 4 1 m 0,m 5，
所以直线 l2的方程为 x y 5 0 .
故答案为： x y 5 0
47．（2022·全国·高二专题练习）若直线 l1 : y kx 2 k 与直线 l2关于直线 y x 1对称，则直线 l2恒过定点
________．
【答案】 3,0
【解析】 直线 l1 : y kx 2 k 与直线 l2关于直线 y x 1对称，
直线 l2的方程为 x 1 k y 1 2 k
即 x ky 3 0，显然经过定点 3，0
故答案为 3，0
48．（2022·全国·高二专题练习）设直线 l1 : x y 1 0 ， l2 : x 2 y 2 0， l3 : 3x my 6 0．
（1）若直线 l1， l2， l3 交于同一点，求m 的值；
（2）若直线 l与直线 l1关于直线 l2对称，求直线 l的方程
【答案】（1）m 6 （2）7x y 1 0
【解析】
【分析】
试题分析：（1）先求 l1， l2交点，再代入 l3 即得m 的值；（2）直线 l必过 l1， l2交点，再在直线 l1取一点
A，求其关于直线 l2对称点 B，则 B 在直线 l上，最后根据两点式求直线 l的方程
x y 1 0 x 0
试题解析：（1) 3 0 m 6 0 m 6
x 2y 2 0
y 1 ）
（2）取 A（1,0）其关于直线 l2对称点 B（x,y）
y 0 1 1
1 x
x 1 2
5
x 1
2 y 2 0 y 12
2 2 5
12
1
l : y 1 51 (x 0) 7x y 1 0
0
5
考点 8：两线段和与差的最值问题
49．（2022·江苏南京·高二开学考试）在直线 l : 2x y 1 0上一点 P 到点 A（-3，0），B（1，4）两点距离
之和最小，则点 P 的坐标为___________.
【答案】 1,3
【解析】设A 关于直线 2x y 1 0的对称点为 A1 m,n ，连接PA1，
则 PA PB PA1 PB A1B ，当且仅当 A1, P, B三点共线时等号成立.
n 1
m 3 2
而 ，
2 m 3 n 1 0
2 2
m 1
解得 ，故 A1 1, 2 n 2 ，故直线 A1B : x 1，
故当 PA PB 取最小值时， P 的横坐标为 1，故其纵坐标为 3，即P 1,3 .
故答案为： 1,3 .
50．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二阶段练习）已知点 A(2,5)与点B(4, 7)，点 P 在 y 轴上，且
使得PA PB 的值最小，则点 P 的坐标为_____________.
【答案】(0，1)
【解析】将点A 关于 y 轴对称得点 A 2,5 ，连接 A B，直线 A B与 y 轴的交点为 P ，此时
PA PB PA PB A B 最短.
y 5 12
直线 A B方程为： ，令 x 0，则 y 1，故P 0,1 .
x 2 6
故答案为：(0，1).
51．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点 A 2,3 ，B 1,1 ，直线 l : x y 1 0 .
(1)在直线 l上找一点C 使得 AC BC 最小，并求这个最小值和点C 的坐标；
(2)在直线 l上找一点D使得 AD BD 最大，并求这个最大值和点D的坐标.
y 3
1 x 2
x 2 y 3
A x, y 1 0
【解析】（1）设点A 关于 l的对称点为 ，则 2 2 ，
x 4 y 3 x 4
解得 y 3，即
A 4, 3 ，所以直线 A B的方程为 ，即 4x 5y 1 0 .
1 3 1 4
当C 为直线 4x 5y 1 0与直线 x y 1 0的交点时， AC BC 最小.
2
4x 5y 1 0 x 3 2 1
由 C ,
x y 1 0
，解得 1 ，所以 ， y 3 3
3
从而 AC BC 的最小值为 A B (1 4)2 (1 3)2 41 .
y 3 x 2
（2）由题意知直线 AB 的方程为 1 3 1 2 ，即 2x y 1 0 .
当D为直线 2x y 1 0 与直线 x y 1 0的交点时， AD BD 最大.
2x y 1 0 x 0
由 D 0, 1
x y 1 0
，解得 ，所以 ，
y 1
从而 AD BD 的最大值为 AB (2 1)2 (3 1)2 5 .
52．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知 A(0, 2), B(3, 1)，点 P 为 x 轴上一动点，则 PA PB 的最
大值是（ ）
A． 10 B．3 2 C． 2 2 D． 7
【答案】A
【解析】由已知点A 关于 x 轴的对称点为C(0, 2)，
k 1 2 1 1BC ，直线BC 方程为 y x 2，令 y 0 得 x 6，3 0 3 3
所以直线BC 与 x 轴交点为Q(6,0) ，
PA PB PC PB CB (3 0)2 ( 1 2)2 10 ，当且仅当 P 是BC 与 x 轴交点Q时等号成立．
故选：A．
53．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））直线 2x 3y 6 0分别交 x 轴和 y 于点 A, B， P 为直线 y x
上一点，则 PA PB 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知 A 3,0 , B 0,2 ，
B 0,2 关于直线 y x 的对称点为C 2,0 ， PB PC ，
即求 PA PB PA PC 的最大值，
PA PC AC ，
当 A,C, P 三点共线，即 P 与原点重合时， PA PC 取得最大值为1，
也即 PA PB 的最大值是1.
故选：A
2
54．（2021· 1 全国·高二期中）已知 x, y R ，则 x y 2 x 1 的最小值为（ ）
y
1
A B 2 C 1． ． ． D． 2 2
1
4 2 2 2
【答案】C
2
2 1 1
【解析】 x y x 1 可看成点 (x, x 1)到点 (y, )y 的距离的平方， y
1
点 (x, x 1) y
1
在直线 x 1的图象上，点 (y, )y 在反比例函数
y 的图象上，
x
1
问题转化为在图象 y 上找一点，使得它到直线 y x 1的距离的平方最小.
x
1
注意到反比例函数 y 的图象关于直线 y x对称，直线 y x 1也关于 y x对称，
x
y 1
观察图象知点 P 到直线 y x 1
的距离最短， x P(1, 1)，
y x
1 1 1 2
d 2 x y 2 1 1最短距离为 ，所以 x 12 2 y
的最小值为 .
2
故选：C
55．（2021·贵州黔西·高二期中（理））已知实数 a，b 满足 4a 2b 3 0 ，则
a 2 2 b 2 2 a 1 2 b 1 2 的最小值为___________.
【答案】5
2 2 2
【解析】由题可知， a 2 b 2 a 1 b 1 2 表示的是直线 4x 2y 3 0上一点P a，b 到定
点M 2, 2 ， N 1,1 的距离之和.
如图，设点 N 关于直线 4x 2y 3 0对称的点为 N x0 , y0 ，
y0 1 1
x 1 2 x0 1
则 0 ，解得 ，
4 x 1 y 1
y 2
0 2 0 3 0 0
2 2
当 N , P, M 三点共线时，PN PM 最小，即PN PM 最小
a 2 2 b 2 2 a 1 2所以 b 1 2 的最小值为 [2 1 ]2 2 2 2 5 .
故答案为：5.
56．（2022·云南·罗平县第二中学高二阶段练习）某同学在研究函数 f (x) x2 1 | x 1|的性质时，联想
到两点间的距离公式，从而将函数变形为 f (x) (x 0)2 (0 1)2 (x 1)2 (0 0)2 ，求得 f (x) 的最小值
为________．
【答案】 2
【解析】由变形所得函数知： f (x) 表示 x 轴上的动点 (x,0)到两定点 (0,1), (1,0)的距离之和，
∴当且仅当 (x,0)与 (1,0)重合时， f (x) 有最小值为 2 .
故答案为： 2
57．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习）已知 x ， y 为实数，代数式
1 y 2 2 9 3 x 2 x2 y2 的最小值是______.
【答案】 41
【解析】如图所示，
构造点P 0, y ， A 1,2 ，Q x,0 ，B 3,3 ，
1 y 2 2 9 3 x 2 x2 y2 PA BQ PQ ，
分别作A 关于 y 轴的对称点 A 1,2 ， B 关于 x 轴的对称点B 3, 3 ，连接 AA ， A P， A B ，B Q，
BB ，
1 y 2 2 9 3 x 2 x2 y2 A B 41，
当且仅当 P ，Q分别为 A B 与 y 轴 x 轴的交点时，等号成立，
故答案为： 41 .
58．（2022·广东·西樵高中高二阶段练习）设 x y 1 0 ，求
d x2 y2 6x 10y 34 x2 y2 4x 30y 229 的最小值是___________.
【答案】 293
【解析】 d x2 y2 6x 10y 34 x2 y2 4x 30y 229
(x 3)2 (y 5)2 (x 2)2 (y 15)2 ，
即 d 可看作点 A 3,5 和 B 2,15 到直线 x y 1 0 上的点 x, y 的距离之和，
作 A 3,5 关于直线 x y 1 0 对称的点 A x0 , y0 ，
x0 3 y0 5
1 0 2 2 x0 4
由题意得 ，解得 ,
y0 5 1 y0 2
x0 3
故 A 4, 2 ，
则 d 2min A B (4 2) ( 2 15)
2 293 .
故答案为： 293 .
59．（多选题）（2022·辽宁·兴城市高级中学高二阶段练习）某同学在研究函数 f x x2 1 x 1 的最值
2 2
时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 f x x 0 0 1 x 1 2 0 0 2 ，则下列
结论正确的是（ ）
A 2．函数 f x 的最小值为 B．函数 f x 的最小值为 2
2
C．函数 f x 没有最大值 D．函数 f x 有最大值
【答案】BC
【解析】设 f (x) (x 0)2 (0 1)2 (x 1)2 (0 0)2 ，可理解为动点P(x,0) 到两个定点 A(0,1)， B(1,0)
的距离和．
如图：
由三角形三边关系可得 PA PB AB 2 ,当点 P 和点 B 重合时，等号成立，
PA PB 无最大值，
所以函数 f (x) 的最小值为 2 ，没有最大值.
故选：BC
60．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知点 R 在直线 x y 1 0 上，M 1,3 ， N 3, 1 ，则
RM RN 的最大值为（ ）
A． 5 B． 7 C． 10 D． 2 5
【答案】C
【解析】设点M 1,3 关于直线 x y 1 0 的对称点为M x, y ，
y 3
1 x 1 x 2
则 1 ，解得 ， x 3 y
1 0 y 2
2 2
∴M 2,2 ，又 N 3, 1 ，
∴ RM RN RM RN M N 10 .
故选：C.
