2022-2023学年山东省菏泽市成武县九年级（上）期中数学试卷（word，解析版）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年山东省菏泽市成武县九年级（上）期中数学试卷（word，解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 424.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-04 08:19:11 | ||
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文档简介
2022-2023学年山东省菏泽市成武县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，如果OC：OF＝2：3，AB＝10，那么DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC＝40°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．（3分）已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8．（3分）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如图，在 ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
10．（3分）计算sin45°﹣cos60°＝ ．
11．（3分）已知关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．（3分）已知关于x的方程x2+2kx+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
13．（3分）已知M是⊙O内一点，若过点M的⊙O最长的弦长为20cm，最短的弦长为16cm，则OM的长为 ．
14．（3分）若圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，则这个扇形的面积是 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内）
15．（6分）已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
17．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果∠A＝60°，AB＝12，求BC的长；
（2）如果BC＝8，，求AB的长．
18．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（8分）已知⊙O的半径为2，AB，AC是⊙O的两条弦，若，，求∠BOC的度数．
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，D为弧AC的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数．
21．（10分）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
22．（12分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
23．（8分）列方程解应用题：
某化肥厂5月份生产某种化肥600吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了10%．从7月份起产量逐月上升，8月份达到653.4吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？
2022-2023学年山东省菏泽市成武县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，选项A成立，不符合题意；
＝，选项B成立，不符合题意；
＝，选项C成立，不符合题意；
＝，选项D不成立，符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，如果OC：OF＝2：3，AB＝10，那么DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
【分析】根据位似图形的相似比的概念计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，OC：OF＝2：3，
∴＝＝，
∵AB＝10，
∴DE＝10×＝15，
故选：B．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据三角函数的定义，得出，再根据特殊角的三角函数值，即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
∴∠B＝30°，故A正确．
故选：A．
4．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点A的坐标，可以得到OA与y轴的夹角为α的度数，然后即可得到cosα的值．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，4），
∴点A到x轴和y轴的距离相等，都是4，
∴OA与y轴的夹角为α＝45°，
∵cos45°＝，
∴cosα＝，
故选：B．
5．（3分）如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC＝40°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】连接BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠B＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∠ADC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6．（3分）已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB，证△OAB是等边三角形，得∠OAB＝60°，再由锐角三角函数定义求出OA＝2，然后由圆的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，O为正六边形六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB
则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
即OH＝，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OH⊥AB，
∴sin∠OAH＝，
∴OA＝＝＝2，
∴它的外接圆的面积＝π 22＝4π，
故选：A．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：∵一元二次方程程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，
∴，
∴，
解得a＝2，
故选：B．
8．（3分）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断．
【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入方程cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝﹣，所以①正确；
当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确；
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，即ac＞1，一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，则它的倒方程也无解，所以③正确；
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，当c＝0，b≠0时，cx2+bx+a＝0为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如图，在 ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则△EFD∽△CFB，得，再利用AE＝2DE解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵AE＝2ED，
∴BC＝AD＝3DE，
∴＝，
故答案为：．
10．（3分）计算sin45°﹣cos60°＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣
＝1﹣
＝．
11．（3分）已知关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，则m的值是 20 ．
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4m×5＝0且m≠0，
解得：m＝20．
故答案为：20．
12．（3分）已知关于x的方程x2+2kx+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ 1 ．
【分析】将x＝﹣1代入已知方程中，然后解关于k的一元二次方程即可求解．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入方程x2+2kx+k2＝0中，
得：k2﹣2k+1＝0，即（k﹣1）2＝0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
13．（3分）已知M是⊙O内一点，若过点M的⊙O最长的弦长为20cm，最短的弦长为16cm，则OM的长为 6cm ．
【分析】根据垂径定理求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长即可．
【解答】解：由题意知，过点M的⊙O最长的弦长为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝20cm，AB＝16cm，OA＝OD＝10cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝AB＝8（cm），
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝6（cm），
故答案为：6cm．
14．（3分）若圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，则这个扇形的面积是 108πcm2 ．
【分析】根据圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，可以计算出该扇形所在圆的半径，然后根据扇形面积S＝lr，代入数据计算即可．
【解答】解：设这个扇形所在圆的半径为rcm，
∵圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，
∴12π＝，
解得r＝18，
∴这个扇形的面积是：×12π×18＝108π（cm2），
故答案为：108πcm2．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内）
15．（6分）已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）由△ABC∽△A′B′C′，＝，根据相似三角形的周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长；
（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为：1：2，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△A′B′C′的周长为：40cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
∵△A′B′C′的面积为64cm2，
∴△ABC的面积是16cm2．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
【分析】根据题意求出∠B＝∠C，∠BED＝∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
17．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果∠A＝60°，AB＝12，求BC的长；
（2）如果BC＝8，，求AB的长．
【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；
（2）根据余弦函数的定义和勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
∵∠A＝60°，AB＝12，
∴，
∴；
（2）解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
则可设AC＝4x，AB＝5x，
∵BC＝8，
∴82+16x2＝25x2，
解得：，（负值舍去），
∴．
18．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
19．（8分）已知⊙O的半径为2，AB，AC是⊙O的两条弦，若，，求∠BOC的度数．
【分析】分AB、AC在圆心的两侧和同侧两种情况，利用垂径定理和锐角三角函数以及圆周角定理进行推理求解即可．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，
则，，
在Rt△OAE中，OA＝2，
∴，
∴∠OAE＝30°；
在Rt△OAD中，∵，
∴∠OAD＝45°，
当AB、AC在圆心的两侧时，如图，
则∠BOC＝2∠BAC＝2（∠OAD+∠OAE）＝2（45°+30°）＝150°；
当AB、AC在圆心的同侧时，如图，
则∠BOC＝2∠BAC＝2（∠OAD﹣∠OAE）＝2（45°﹣30°）＝30°，
综上，∠BOC的度数为150°或30°．
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，D为弧AC的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得∠ACB＝∠AEO＝90°即可证得结论；
（2）连接OC，根据平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝70°，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵D为弧AC的中点，OD与AC交于点E，
∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°
∴∠ACB＝∠AEO＝90°，
∴OD∥BC；
（2）解：连接OC，
∵OD∥BC，∠B＝70°，
∴∠AOD＝∠B＝70°，
∵D为弧AC的中点，
∴，
∴∠COD＝∠AOD＝70°，
∴．
21．（10分）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，进而可证得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠BCE＝∠OCB即可证得结论；
（2）连接BD，先利用圆周角定理和勾股定理求得BC＝5，再证明△BCE∽△DCB得到，进而求得CD即可求解
【解答】（1）证明：连接OB，
∵边AB所在的直线是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
又CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠BCE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BCE＝∠OCB，
∴CB平分∠ACE；
（2）解：连接BD，
∵AC经过圆心O并与圆相交点D，C，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△CBE中，∠E＝90°，BE＝3，CE＝4，
∴，
∵∠E＝∠CBD＝90°，∠BCE＝∠OCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴即，
解得：，
∴⊙O的半径为．
22．（12分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）先整理原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴，
∴，；
（2）原方程化为2x2﹣5x+3＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝1，；
（3）原方程化为（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0，
∴x1＝5，．
23．（8分）列方程解应用题：
某化肥厂5月份生产某种化肥600吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了10%．从7月份起产量逐月上升，8月份达到653.4吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？
【分析】设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，再根据等量关系：六月份的产量×（1+x）2＝八月份的产量列方程求解即可．
【解答】解：设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，
根据题意得：600×（1﹣10%）（1+x）2＝653.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：该厂7，8两个月产量的平均月增长率是10%．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，如果OC：OF＝2：3，AB＝10，那么DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC＝40°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．（3分）已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8．（3分）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如图，在 ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
10．（3分）计算sin45°﹣cos60°＝ ．
11．（3分）已知关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．（3分）已知关于x的方程x2+2kx+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
13．（3分）已知M是⊙O内一点，若过点M的⊙O最长的弦长为20cm，最短的弦长为16cm，则OM的长为 ．
14．（3分）若圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，则这个扇形的面积是 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内）
15．（6分）已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
17．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果∠A＝60°，AB＝12，求BC的长；
（2）如果BC＝8，，求AB的长．
18．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（8分）已知⊙O的半径为2，AB，AC是⊙O的两条弦，若，，求∠BOC的度数．
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，D为弧AC的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数．
21．（10分）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
22．（12分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
23．（8分）列方程解应用题：
某化肥厂5月份生产某种化肥600吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了10%．从7月份起产量逐月上升，8月份达到653.4吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？
2022-2023学年山东省菏泽市成武县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，选项A成立，不符合题意；
＝，选项B成立，不符合题意；
＝，选项C成立，不符合题意；
＝，选项D不成立，符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，如果OC：OF＝2：3，AB＝10，那么DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
【分析】根据位似图形的相似比的概念计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，OC：OF＝2：3，
∴＝＝，
∵AB＝10，
∴DE＝10×＝15，
故选：B．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据三角函数的定义，得出，再根据特殊角的三角函数值，即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
∴∠B＝30°，故A正确．
故选：A．
4．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点A的坐标，可以得到OA与y轴的夹角为α的度数，然后即可得到cosα的值．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，4），
∴点A到x轴和y轴的距离相等，都是4，
∴OA与y轴的夹角为α＝45°，
∵cos45°＝，
∴cosα＝，
故选：B．
5．（3分）如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC＝40°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】连接BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠B＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∠ADC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6．（3分）已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB，证△OAB是等边三角形，得∠OAB＝60°，再由锐角三角函数定义求出OA＝2，然后由圆的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，O为正六边形六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB
则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
即OH＝，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OH⊥AB，
∴sin∠OAH＝，
∴OA＝＝＝2，
∴它的外接圆的面积＝π 22＝4π，
故选：A．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：∵一元二次方程程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，
∴，
∴，
解得a＝2，
故选：B．
8．（3分）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断．
【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入方程cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝﹣，所以①正确；
当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确；
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，即ac＞1，一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，则它的倒方程也无解，所以③正确；
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，当c＝0，b≠0时，cx2+bx+a＝0为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如图，在 ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则△EFD∽△CFB，得，再利用AE＝2DE解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵AE＝2ED，
∴BC＝AD＝3DE，
∴＝，
故答案为：．
10．（3分）计算sin45°﹣cos60°＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣
＝1﹣
＝．
11．（3分）已知关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，则m的值是 20 ．
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+mx+5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4m×5＝0且m≠0，
解得：m＝20．
故答案为：20．
12．（3分）已知关于x的方程x2+2kx+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ 1 ．
【分析】将x＝﹣1代入已知方程中，然后解关于k的一元二次方程即可求解．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入方程x2+2kx+k2＝0中，
得：k2﹣2k+1＝0，即（k﹣1）2＝0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
13．（3分）已知M是⊙O内一点，若过点M的⊙O最长的弦长为20cm，最短的弦长为16cm，则OM的长为 6cm ．
【分析】根据垂径定理求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长即可．
【解答】解：由题意知，过点M的⊙O最长的弦长为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝20cm，AB＝16cm，OA＝OD＝10cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝AB＝8（cm），
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝6（cm），
故答案为：6cm．
14．（3分）若圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，则这个扇形的面积是 108πcm2 ．
【分析】根据圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，可以计算出该扇形所在圆的半径，然后根据扇形面积S＝lr，代入数据计算即可．
【解答】解：设这个扇形所在圆的半径为rcm，
∵圆心角为120°的扇形的弧长是12πcm，
∴12π＝，
解得r＝18，
∴这个扇形的面积是：×12π×18＝108π（cm2），
故答案为：108πcm2．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内）
15．（6分）已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）由△ABC∽△A′B′C′，＝，根据相似三角形的周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长；
（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为：1：2，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△A′B′C′的周长为：40cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
∵△A′B′C′的面积为64cm2，
∴△ABC的面积是16cm2．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
【分析】根据题意求出∠B＝∠C，∠BED＝∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
17．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果∠A＝60°，AB＝12，求BC的长；
（2）如果BC＝8，，求AB的长．
【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；
（2）根据余弦函数的定义和勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
∵∠A＝60°，AB＝12，
∴，
∴；
（2）解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
则可设AC＝4x，AB＝5x，
∵BC＝8，
∴82+16x2＝25x2，
解得：，（负值舍去），
∴．
18．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
19．（8分）已知⊙O的半径为2，AB，AC是⊙O的两条弦，若，，求∠BOC的度数．
【分析】分AB、AC在圆心的两侧和同侧两种情况，利用垂径定理和锐角三角函数以及圆周角定理进行推理求解即可．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，
则，，
在Rt△OAE中，OA＝2，
∴，
∴∠OAE＝30°；
在Rt△OAD中，∵，
∴∠OAD＝45°，
当AB、AC在圆心的两侧时，如图，
则∠BOC＝2∠BAC＝2（∠OAD+∠OAE）＝2（45°+30°）＝150°；
当AB、AC在圆心的同侧时，如图，
则∠BOC＝2∠BAC＝2（∠OAD﹣∠OAE）＝2（45°﹣30°）＝30°，
综上，∠BOC的度数为150°或30°．
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，D为弧AC的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得∠ACB＝∠AEO＝90°即可证得结论；
（2）连接OC，根据平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝70°，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵D为弧AC的中点，OD与AC交于点E，
∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°
∴∠ACB＝∠AEO＝90°，
∴OD∥BC；
（2）解：连接OC，
∵OD∥BC，∠B＝70°，
∴∠AOD＝∠B＝70°，
∵D为弧AC的中点，
∴，
∴∠COD＝∠AOD＝70°，
∴．
21．（10分）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，进而可证得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠BCE＝∠OCB即可证得结论；
（2）连接BD，先利用圆周角定理和勾股定理求得BC＝5，再证明△BCE∽△DCB得到，进而求得CD即可求解
【解答】（1）证明：连接OB，
∵边AB所在的直线是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
又CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠BCE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BCE＝∠OCB，
∴CB平分∠ACE；
（2）解：连接BD，
∵AC经过圆心O并与圆相交点D，C，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△CBE中，∠E＝90°，BE＝3，CE＝4，
∴，
∵∠E＝∠CBD＝90°，∠BCE＝∠OCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴即，
解得：，
∴⊙O的半径为．
22．（12分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）先整理原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴，
∴，；
（2）原方程化为2x2﹣5x+3＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝1，；
（3）原方程化为（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0，
∴x1＝5，．
23．（8分）列方程解应用题：
某化肥厂5月份生产某种化肥600吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了10%．从7月份起产量逐月上升，8月份达到653.4吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？
【分析】设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，再根据等量关系：六月份的产量×（1+x）2＝八月份的产量列方程求解即可．
【解答】解：设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，
根据题意得：600×（1﹣10%）（1+x）2＝653.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：该厂7，8两个月产量的平均月增长率是10%．
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