2022-2023学年安徽省滁州市定远县两校九年级（上）期中数学试卷（word，解析版）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县两校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（4分）已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
2．（4分）已知y＝x2+（t﹣2）x﹣2，当x＞1时y随x的增大而增大，则t的取值范围是（　　）
A．t＞0 B．t＝0 C．t＜0 D．t≥0
3．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，图象如图所示，下面四个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点为（0，2） B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
5．（4分）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（　　）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200+0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
6．（4分）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
7．（4分）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝4，BE＝10，则CD的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②∠BPD＝135°；③△PDE∽△DBE；④ED2＝EP EB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC＝2.5AC，则＝　 　．
12．（5分）如图，点C是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的一个点，以点C为顶点作等边△CAB，使A，B落在x轴上（点A在点B的左边）．若A点坐标为（2，0），则△OAC的面积是　 　．
13．（5分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　 　．
14．（5分）二次函数y＝x2+x的图象如图所示，点A1、A2、A3、A4…、A2022在二次函数y＝x2+x位于第一象限的图象上．点B1、B2、B3、B4…、B2022在y轴的正半轴上，ΔOA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022＝　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
17．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．求证：△ABD∽△ACE．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．
19．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
20．（12分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
22．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD BC＝DE AC．
23．（14分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．
2022-2023学年安徽省滁州市定远县两校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（4分）已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故选：B．
2．（4分）已知y＝x2+（t﹣2）x﹣2，当x＞1时y随x的增大而增大，则t的取值范围是（　　）
A．t＞0 B．t＝0 C．t＜0 D．t≥0
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再利用增减性可得到关于t的不等式，可求得答案．
【解答】解：
∵y＝x2+（t﹣2）x﹣2，
∴抛物线对称轴为x＝﹣，开口向上，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x＞1时y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，解得t≥0，
故选：D．
3．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝2，图象如图所示，下面四个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先由抛物线与x轴交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②③正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
4．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点为（0，2） B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质，由x＝0，y＝3得交点坐标为（0，3），由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：A．当x＝0时，y＝1+2＝3，则抛物线与y轴的交点为（0，3）故A错误，不符合题意；
B．由y＝（x﹣1）2+2知，抛物线的对称轴为x＝1，故选B错误，不符合题意；
C．由y＝（x﹣1）2+2知，抛物线的顶点坐标为（1，2），故C正确，符合题意；
D．因二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），则抛物线与x轴没有公共点，故D错误，不符合题意；
故选：C．
5．（4分）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（　　）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200+0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到利润与销量x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【解答】解：设每日产销利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣18）x﹣（1200+0.02x2）＝﹣0.02（x﹣300）2+600，
∴当x＜300时，w随x的增大而将增大，
∵x≤250，
∴当x＝250时，w取得最大值，此时w＝550，
故选：A．
6．（4分）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
7．（4分）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝AD，
∴，
∴AF：FC＝1：6，
∴的值
故选：D．
8．（4分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝4，BE＝10，则CD的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据全等三角形的性质求出BC和BD，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，AB＝4，BE＝10，
∴BC＝BE＝10，AB＝BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣4＝6，
故选：B．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②∠BPD＝135°；③△PDE∽△DBE；④ED2＝EP EB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴AE＝BE＝CF；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，即ED2＝EP EB，故④正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②正确；
故选：D．
10．（4分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC＝2.5AC，则＝　5　．
【分析】根据CD平分∠ACB，可得＝，根据CE平分∠ACB的外角，可得＝，进而可得结果．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，①
∵CE平分∠ACB的外角，
∴＝，
∴＝，
∴＝，②
①+②得，
+＝+＝＝2×2.5＝5．
故答案为：5．
12．（5分）如图，点C是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的一个点，以点C为顶点作等边△CAB，使A，B落在x轴上（点A在点B的左边）．若A点坐标为（2，0），则△OAC的面积是　3　．
【分析】设等边△CAB的边长为a，则点C（a+2，a），则k＝（a+2）×a＝15，解得：a＝6，即可求解．
【解答】解：设等边△CAB的边长为a，则点C（a+2，a），
则k＝（a+2）×a＝15，
解得：a＝6（负值已舍去），
S△OAC＝×OA×a＝3，
故答案是3．
13．（5分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝　．
【分析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠CAB．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠CAB．
当∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝时，△ADE∽△ACB．
14．（5分）二次函数y＝x2+x的图象如图所示，点A1、A2、A3、A4…、A2022在二次函数y＝x2+x位于第一象限的图象上．点B1、B2、B3、B4…、B2022在y轴的正半轴上，ΔOA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022＝　2022　．
【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
【解答】解：设A1B1＝x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y＝x2+x，
得x＝x2+x，
解得x＝1或x＝0（舍），
设A2B2＝m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y＝x2+x，
得，
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，
A4B4＝4，
∴B2022A2022＝2022，根据勾股定理，
得B2021A2022＝2022，
故答案为：2022．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝，
当m＝时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
16．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
【分析】（1）将a＝1，b＝﹣2代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论a＞0与a＜0两种情况．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，
∴抛物线经过原点（0，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，
∵y2＜0，
∴t＞0，
当y3＝y1时，t＝＝，
∵y3＜y1，
∴t＞，
当y3＝0时，t＝＝1，
∴＜t＜1满足题意．
②a＜0时，抛物线开口向下，
∵y2＜0，
∴t＜0，
∴x＞0时，y随x增大而减小，
∴y3＜y2，不符合题意．
综上所述，＜t＜1．
17．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．求证：△ABD∽△ACE．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴．
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．
【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；
（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；
（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．
【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，
得：，解得：，
所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4
＝﹣2（x2+2x）+4
＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4
＝﹣2（x+1）2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），
∵点A（0，4），∴OA＝4，
∴S△CAO＝OA |xc|＝×4×1＝2，
即△CAO的面积为2．
19．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
20．（12分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；
（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，
∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）存在，
如图2，∵△COD≌△AOB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
21．（12分）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）当∠AED＝90°时，DE∥BC，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根据平行线的判定得出即可．即可．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，
证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．
∴DE∥BC，
即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．
22．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD BC＝DE AC．
【分析】（1）根据题目中的条件，可以得到∠AEB＝∠ADC，再根据∠A＝∠A，即可得到△ABE∽△ACD；
（2）根据（1）中的结论，可以得到，再根据∠A＝∠A，即可得到△ADE∽△ACB，然后即可得到，从而可以AD BC＝DE AC．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴AD BC＝DE AC．
23．（14分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．
【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；
（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t＝ax2﹣x1即可；
（3）求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，
∴或，
∵a＞0，
∴且x1＞x2，
∴x1＝2，，
∴，
∴t＝a﹣5；
（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，
向上平移一个单位得y＝x2﹣3，
令y＝0，则x2﹣3＝0，
得，
∴，，
∵OP＝1，
∴直线，
联立：，
解得，，，
即，，
∴AO＝，
在Rt△AOP中，
AP＝＝2，
过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，
∵CN∥x轴，
∴∠GCM＝∠PAO，
又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，
∴△AOP∽△CGM，
∴＝＝，
∴，
∵B到CN最小距离为CH，
∴MB+GM的最小值为CH的长度，
∴2MB+MC的最小值为．