第六章 特殊平行四边形专项训练 将菱形问题转化为三角形问题同步练习（含答案）

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专项训练
将菱形问题转化为三角形问题
1.如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别在边AB,AD的延长线上,且BE=DF,连接CE,CF.求证:CE=CF.
2.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.
(1)求证:△ABF≌△DAE.
(2)求证:DE=BF+EF.
3.如图，在平行四边形ABCD中，P 是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP,连接AP,BQ,PQ.
(1)求证:△APD≌△BQC.
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP是菱形.
4.)如图,已知△ABC中,D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A作AF∥BC交DE于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形.
(2)若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB 的长.
参考答案
1.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,∠ABC=∠ADC.
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠CBE=∠CDF.
在△CBE和△CDF中, =CF.
2.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.
∵∠ABC=∠AED,∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,∴∠ABF =∠DAE,∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE=BF,DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF,∴DE=BF+EF.
3.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD ∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵CQ∥DB,∴∠BCQ=∠DBC,∴∠ADP=∠BCQ.
∵DP=CQ,∴△APD≌△BQC.
(2)∵CQ∥DB,CQ=DP,∴四边形CQPD是平行四边形,∴CD=PQ,CD∥PQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴AB=PQ,AB∥PQ,∴四边形ABQP是平行四边形.
∵△APD≌△BQC,∴∠APD=∠BQC.
∵∠APD+∠APB=180°,∠ABP+∠BQC=180°,∴∠ABP=∠APB,∴AB=AP,
∴四边形ABQP是菱形.
4.(1)证明:在△ABC中,∵D是AC的中点,∴AD=DC.
∵AF∥BC,∴∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,
∴△AFD≌△CED(AAS),∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵DE⊥AC,即EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
(2)解:如图,过点A作AG⊥BC于点G.
∵四边形AECF是菱形,CF=2,∠FAC=30°,∴AF∥EC,AE=CF=2,∠FAE=2∠FAC=60° ,
∴∠AEB=∠FAE=60°.
∵AG⊥BC,∴∠AGB=∠AGE=90°,
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