第六章 平面向量及其应用综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B两地相距，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上，则飞机的高度约为（结果精确到整数部分，参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
8．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设向量，，则 （ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．△ABC的面积为
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A．若，则△ABC一定是等边三角形
B．若，则△ABC一定是等腰三角形
C．是成立的充要条件
D．若，则△ABC一定是锐角三角形
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的面积最小值是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．
14．已知，若满足且，则___________.
15．在中，、、所对边分别为、、，若，的面积为6，则______．
16．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
18．（12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
19．（12分）
如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
20．（12分）
某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
21．（12分）
已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
22．（12分）
在①，其中为角的平分线的长(与交于点)，②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，在中，内角、、的对边分别为、、、______.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.第六章 平面向量及其应用综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设为坐标原点，
,
整理得.
故选：A
2．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中由向量加法的三角形法则得：，
又因为是的中点，所以,
所以.
在中由向量加法的三角形法则得：
又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，
所以
所以.
故选：B.
3．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得：，，
向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
5．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于三点共线，所以，
所以
，
当且仅当.
故选：C
6．如图，A，B两地相距，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上，则飞机的高度约为（结果精确到整数部分，参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设飞机高度为米，则，即，解得.
故选：B.
7．已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为，所以
即，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得：，
所以
故选：C
8．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设向量，，则 （ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【解析】由题意，，，
则 ， ，故A错误；
易知，由，
所以与不平行，故B错误；
又 ，即，故C正确；
因为 ，
又 ，所以与的夹角为，故D正确．
故选：CD．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．△ABC的面积为
【答案】ACD
【解析】根据正弦定理，由
，
因为，所以，因此，
因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以由
，或舍去，
因此，所以选项C正确；
△ABC的面积为，所以选项D正确，
故选：ACD
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A．若，则△ABC一定是等边三角形
B．若，则△ABC一定是等腰三角形
C．是成立的充要条件
D．若，则△ABC一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理可得，
故，而为三角形内角，故，
故三角形为等边三角形，故A正确.
对于B，由正弦定理可得，
故，故或，
而，
故或即或，
故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.
对于C，等价于，而后者等价于，即，
其中为三角形外接圆半径，故的充要条件为，故C正确.
对于D，由可得，故为锐角，
但不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.
故选：AC.
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的面积最小值是
【答案】ABD
【解析】由题意得：，
由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，故A正确；
，当且仅当时取等号，
，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
由余弦定理
所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；
对于选项：由得：，，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．
【答案】
【解析】，，，
，.
因为为中点，
所以
故答案为：．
14．已知，若满足且，则___________.
【答案】
【解析】设，
，
由于且，
所以，解得，
所以.
故答案为：
15．在中，、、所对边分别为、、，若，的面积为6，则______．
【答案】
【解析】∵，
∴可得，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴由余弦定理，可得：
∴解得：
故答案为：
16．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为是的中线，所以，
故，
因为，设，则，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
【解析】（1）证明：，，，
，，且有公共点，
故，，三点共线；
（2）和共线，
存在实数，使得，
且，可得．
18．（12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
【解析】（1）（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）选条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
选条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
19．（12分）
如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【解析】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
20．（12分）
某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
【解析】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.
21．（12分）
已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
【解析】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
22．（12分）
在①，其中为角的平分线的长(与交于点)，②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，在中，内角、、的对边分别为、、、______.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）选①：由和面积公式可知，
，即，
故，
因为，则，
所以，即；
选②：由及正弦定理可知，，
即，
从而，
因为，
所以；
选③：由及正弦定理可知，
，
即，
因为，则，
所以，则，
因为，所以.
（2）由(1)中知，可得，，
从而，
由正弦定理可知，，
因为，所以，
故，即，
从而，
即的取值范围为.
