27.1 图形的相似 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022八下·济宁期末）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判断逐项判断即可。
2．（2021九上·历下期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【答案】A
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个图形都是矩形，
∴所有对应角相等，均为，
∵甲与乙对应边的比例为，甲与丙对应边的比例为，
∴甲与乙相似，甲与丙不相似，
∴乙与丙也不相似，
故答案为：A．
【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。
3．（2022九下·长兴月考）如图，由图形M改变为图形N，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：图形M改变为图形N，是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似变换定义进行判断，图M和图N形状一样，大小不同，为相似变换.
4．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
5．（2022九上·镇海区期中）两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：；
故答案为：A.
【分析】相似图形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此解答.
6．（2022九上·嘉定期中）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个周长相等的三角形一定相似
【答案】B
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不符合题意；
B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B符合题意；
C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不符合题意；
D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐一判断即可.
7．（2022九上·黄浦期中）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形
C．两个长方形
D．有一个内角为80°的两个菱形
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，不符合题意；
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
C．两个长方形不一定相似，不符合题意；
D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可.
8．（2022九上·双柏期中）如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质可得，将数据代入可得，求出，再利用矩形的面积公式求解即可。
二、填空题
9．（2021九上·商河期末）两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为 ．
【答案】4
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由相似的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
∴
故答案为：4．
【分析】根据相似多边形的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得。
10．（2021九上·涟水月考）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 .
【答案】15cm
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，
∴设另一个四边形的最短边的长度为x，
∴，解得：.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为：15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x，根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”，依此建立关于x的方程求解即可.
11．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
【答案】
【知识点】全等图形的概念；相似多边形
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
12．（2022·新都模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 .
【答案】540
【知识点】矩形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2.
故答案为：540.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半可得风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，则四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比为1∶3，根据相似图形的的面积比等于相似比的平方可得大风筝的面积，进而根据矩形的面积计算方法算出矩形彩色纸的面积，然后根据废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积进行计算.
13．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
三、作图题
14．（2022九上·舟山月考）如图，在6x6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点ΔADE，使ΔADE ∽ΔABC．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，作出DE∥BC，即△ADE和△ABC的相似比为1：2，然后画出△ADE.
（2）利用格点特点，画出线段PC，使PC∥AB，且PC：AB=2，连接BP交AC于点Q，利用相似三角形的判定和性质，可知此时CQ＝2AQ.
1 / 127.1 图形的相似 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022八下·济宁期末）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021九上·历下期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
3．（2022九下·长兴月考）如图，由图形M改变为图形N，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
4．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
5．（2022九上·镇海区期中）两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·嘉定期中）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个周长相等的三角形一定相似
7．（2022九上·黄浦期中）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形
C．两个长方形
D．有一个内角为80°的两个菱形
8．（2022九上·双柏期中）如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
二、填空题
9．（2021九上·商河期末）两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为 ．
10．（2021九上·涟水月考）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 .
11．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
12．（2022·新都模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 .
13．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
三、作图题
14．（2022九上·舟山月考）如图，在6x6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点ΔADE，使ΔADE ∽ΔABC．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的判断逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个图形都是矩形，
∴所有对应角相等，均为，
∵甲与乙对应边的比例为，甲与丙对应边的比例为，
∴甲与乙相似，甲与丙不相似，
∴乙与丙也不相似，
故答案为：A．
【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：图形M改变为图形N，是相似变换.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似变换定义进行判断，图M和图N形状一样，大小不同，为相似变换.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
5．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：；
故答案为：A.
【分析】相似图形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不符合题意；
B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B符合题意；
C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不符合题意；
D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，不符合题意；
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
C．两个长方形不一定相似，不符合题意；
D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可.
8．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质可得，将数据代入可得，求出，再利用矩形的面积公式求解即可。
9．【答案】4
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由相似的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
∴
故答案为：4．
【分析】根据相似多边形的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得。
10．【答案】15cm
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，
∴设另一个四边形的最短边的长度为x，
∴，解得：.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为：15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x，根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”，依此建立关于x的方程求解即可.
11．【答案】
【知识点】全等图形的概念；相似多边形
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
12．【答案】540
【知识点】矩形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2.
故答案为：540.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半可得风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，则四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比为1∶3，根据相似图形的的面积比等于相似比的平方可得大风筝的面积，进而根据矩形的面积计算方法算出矩形彩色纸的面积，然后根据废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积进行计算.
13．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
14．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，作出DE∥BC，即△ADE和△ABC的相似比为1：2，然后画出△ADE.
（2）利用格点特点，画出线段PC，使PC∥AB，且PC：AB=2，连接BP交AC于点Q，利用相似三角形的判定和性质，可知此时CQ＝2AQ.
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