27.2.2相似三角形的性质 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
2．（2022九上·杭州期中）如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·霍邱月考）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=8cm，内部△DEF的各边与OABC的各边分别平行，且它的斜边EF=4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
4．（2022九上·蚌埠月考）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，用螺丝钉固定点O的位置，使，然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若，则的长是（ ）
A．5cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
5．（2022九上·永年期中）如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2022九上·威远期中）如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·乐山期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长交 BA延长线于点F，若AE：AD=2：3，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
8．（2022九上·威远期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE相交于点O，连结DE.有下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2022九上·威远期中）若两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 .
10．（2022九上·高陵期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点E，则的值为 ．
11．（2022九上·南海月考）如图，在中，点D、E分别在边、上，．已知，，则的长是 ．
12．（2021九上·南宁期中）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝ .
三、作图题
13．（2022九上·义乌期中）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；
（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．
四、解答题
14．（2022九上·郑州开学考）如图
【感知】如图①在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若=，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E.若DE=5，求BC的长.
【探究】如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若=.小明尝试探究的值，在图②中.小明过点D作DM∥AC交BE于点M，易证△DFM∽△CFE，则==.从而得到的值为 ▲ ，易证△DBM∽△ABE，则=，从而得到的值为 ▲ ，从而得到的值为 ▲ .
【应用】如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连接BE，延长CD，交BE于点F.=，=，且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为 ▲ .
五、综合题
15．（2022九上·潞城月考）综合与探究
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点E，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ADE与△ACB中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例可得，再代入即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可得：，
∴，
即 △DEF的面积与阴影部分的面积比为 1：3，
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再将数据代入求出AB的长即可。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F，
∴点F是的重心，BD＝CD，
∴AF＝2DF，
∵EGBC，
∴
∴，
∴，
∵EGBC，
∴，
∴，
∴DF＝2GF＝4，
∴AF＝2DF＝8，
∴AD＝DF＋AF＝4＋8＝12，
∵∠BAC＝90°，AD是的中线，
∴BC＝2AD＝24，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，求出DF＝2GF＝4，利用线段的和差求出AD的长，再根据∠BAC＝90°，AD是的中线，可得BC＝2AD＝24。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EN∥AB，EM∥AD，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∴AM=NE，AN=ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，
∵EN∥AB，EM∥AD，
∴△BME∽△BAD∽△DNE，
∴，故A不符合题意；
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∴，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AMEN是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到AM=NE，AN=ME，AD=BC；再证明△BME∽△BAD∽△DNE，利用平行线方向都出不来定理和相似三角形的性质，再对各选项逐一判断.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE＝AF：CD，
∵AE：AD＝2：3，
∴AE：DE=2：1，
又∵CD＝3cm，
∴AF＝2CD＝6cm．
故选：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，可证出△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，列式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，故②正确；
∴△EOD∽△COD，
∴，故①错误；
，故③错误；
，故④正确；
∴正确结论的序号有②④，一共2个.
故答案为：B
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可对②作出判断；同时可证得DE∥BC，可推出△EOD∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的面积表等于相似比的平方，可对③作出判断；由DO于BO的比值，可得到OD与BD的比值，由此可证得，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为S，较小三角形的周长为S1，
∵两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，
∴，S-S1=36，
∴2S1-S1=36，
解之：S1=36，
故答案为：36
【分析】设较大三角形的周长为S，较小三角形的周长为S1，利用相似三角形的周长比等于对应边的比，可求出较小三角形的面积.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
∵根据格点可知AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴
故答案为：
【分析】利用勾股定理可求出AD，BC的长，利用格点特点可知AD∥BC，可得到△ADE∽△BCE，利用相似三角形的对应边之比，可求出AE与BE的比值.
11．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
【分析】先证明，可得，将数据代入求出AC的长，再利用线段的和差求出EC的长即可。
12．【答案】144
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形DGEF的边长为x.
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG.
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH-PH，
即，
由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，
得，
解得x＝12.
∴正方形DEFG的边长是12，
∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144.
故答案为：144.
【分析】设正方形DGEF的边长为x，根据正方形的性质可得DG∥EF，易证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的性质可得x，然后根据S正方形DGEF＝DE2进行计算.
13．【答案】（1）解：如图（画法不唯一）
∵CD∥AF，
∴△CDE∽△AFE，
∴AE∶CE=AF∶CD=1∶2，
∴AE∶AC=1∶3， 即AE＝AC.
（2）解：如图（画法不唯一），
∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
所以作Rt△DEF，使∠D=90°，且DE=2CD即可.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，构造相似比为的相似三角形即可解决问题；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，AC＝2BC，根据相似三角形的性质，作一个一条直角是另一条直角边2倍的直角三角形即可解决问题．
14．【答案】解：【感知】如图①中，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，
∴ = = ，∵DE=5，∴BC=10；
【探究】 ；2； ；
【应用】
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】【探究】如图②中，过点D作DM∥AC交BE于M．
∵DM∥EC，∴△DFM∽△CFE，
∴ = = = ，∵AE=EC，∴ = ，
∵DM∥AE，∴△DBM∽△ABE，∴ = = ，∴ =2，
设MF=2k，EF=3k，则BM=10k，∴BF=12k，∴ = = ．
故答案为： ，2， .
【应用】如图③中，连接DE，作AR∥CF交BE于R．
∵AR∥CF，∴ = = ，∵DF∥AR，∴ = =2，
设ER=m，FR=3m，则BF=6m，EF=4m，
∴ = = ，∵S△ADC=1，BD=2AD，AC=3AE，
∴S△DCB=2，S△DEA= ，∴S△ABC=3，S△AEB=1，∴S△DEB= ，
∴S△BDF= S△BDE= ． 故答案为： .
【分析】 【感知】过点D作DM∥AC交BE于M，由DE∥BC，证出△AED∽△ACB，根据相似的性质列比例式，结合AE=EC，得出 = ，由DM∥AE，证出△DBM∽△ABE，根据相似三角形的性质得出 =2，设MF=2k，EF=3k，得出BM=10k，BF=12k，然后计算 的比值即可；
【探究】由DE∥BC，证出△AED∽△ACB， 得出 = ，结合DE的长，即可解答；
【应用】 连接DE，作AR∥CF交BE于R，设ER=m，FR=3m，则可表示出BF和EF，根据平行线分线段成比例的性质得出BD=2AD，AC=3AE，然后根据等高三角形的面积关系求△BDE的面积，即可解答.
15．【答案】（1）
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H．
∴四边形是矩形．
∵D为中点，
∴．
∵，
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）设与相交于点P，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证明，可得，再将数据代入求出即可；
（3）过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H，先证明，可得，将数据代入可得，再求出即可。
1 / 127.2.2相似三角形的性质 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
2．（2022九上·杭州期中）如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ADE与△ACB中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例可得，再代入即可求出答案.
3．（2022九上·霍邱月考）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=8cm，内部△DEF的各边与OABC的各边分别平行，且它的斜边EF=4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可得：，
∴，
即 △DEF的面积与阴影部分的面积比为 1：3，
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可。
4．（2022九上·蚌埠月考）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，用螺丝钉固定点O的位置，使，然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若，则的长是（ ）
A．5cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再将数据代入求出AB的长即可。
5．（2022九上·永年期中）如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F，
∴点F是的重心，BD＝CD，
∴AF＝2DF，
∵EGBC，
∴
∴，
∴，
∵EGBC，
∴，
∴，
∴DF＝2GF＝4，
∴AF＝2DF＝8，
∴AD＝DF＋AF＝4＋8＝12，
∵∠BAC＝90°，AD是的中线，
∴BC＝2AD＝24，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，求出DF＝2GF＝4，利用线段的和差求出AD的长，再根据∠BAC＝90°，AD是的中线，可得BC＝2AD＝24。
6．（2022九上·威远期中）如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EN∥AB，EM∥AD，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∴AM=NE，AN=ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，
∵EN∥AB，EM∥AD，
∴△BME∽△BAD∽△DNE，
∴，故A不符合题意；
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∴，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AMEN是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到AM=NE，AN=ME，AD=BC；再证明△BME∽△BAD∽△DNE，利用平行线方向都出不来定理和相似三角形的性质，再对各选项逐一判断.
7．（2022九上·乐山期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长交 BA延长线于点F，若AE：AD=2：3，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE＝AF：CD，
∵AE：AD＝2：3，
∴AE：DE=2：1，
又∵CD＝3cm，
∴AF＝2CD＝6cm．
故选：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，可证出△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，列式求解即可.
8．（2022九上·威远期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE相交于点O，连结DE.有下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，故②正确；
∴△EOD∽△COD，
∴，故①错误；
，故③错误；
，故④正确；
∴正确结论的序号有②④，一共2个.
故答案为：B
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可对②作出判断；同时可证得DE∥BC，可推出△EOD∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的面积表等于相似比的平方，可对③作出判断；由DO于BO的比值，可得到OD与BD的比值，由此可证得，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2022九上·威远期中）若两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 .
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为S，较小三角形的周长为S1，
∵两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，
∴，S-S1=36，
∴2S1-S1=36，
解之：S1=36，
故答案为：36
【分析】设较大三角形的周长为S，较小三角形的周长为S1，利用相似三角形的周长比等于对应边的比，可求出较小三角形的面积.
10．（2022九上·高陵期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点E，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
∵根据格点可知AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴
故答案为：
【分析】利用勾股定理可求出AD，BC的长，利用格点特点可知AD∥BC，可得到△ADE∽△BCE，利用相似三角形的对应边之比，可求出AE与BE的比值.
11．（2022九上·南海月考）如图，在中，点D、E分别在边、上，．已知，，则的长是 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
【分析】先证明，可得，将数据代入求出AC的长，再利用线段的和差求出EC的长即可。
12．（2021九上·南宁期中）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝ .
【答案】144
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形DGEF的边长为x.
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG.
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH-PH，
即，
由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，
得，
解得x＝12.
∴正方形DEFG的边长是12，
∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144.
故答案为：144.
【分析】设正方形DGEF的边长为x，根据正方形的性质可得DG∥EF，易证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的性质可得x，然后根据S正方形DGEF＝DE2进行计算.
三、作图题
13．（2022九上·义乌期中）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；
（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．
【答案】（1）解：如图（画法不唯一）
∵CD∥AF，
∴△CDE∽△AFE，
∴AE∶CE=AF∶CD=1∶2，
∴AE∶AC=1∶3， 即AE＝AC.
（2）解：如图（画法不唯一），
∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
所以作Rt△DEF，使∠D=90°，且DE=2CD即可.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，构造相似比为的相似三角形即可解决问题；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，AC＝2BC，根据相似三角形的性质，作一个一条直角是另一条直角边2倍的直角三角形即可解决问题．
四、解答题
14．（2022九上·郑州开学考）如图
【感知】如图①在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若=，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E.若DE=5，求BC的长.
【探究】如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若=.小明尝试探究的值，在图②中.小明过点D作DM∥AC交BE于点M，易证△DFM∽△CFE，则==.从而得到的值为 ▲ ，易证△DBM∽△ABE，则=，从而得到的值为 ▲ ，从而得到的值为 ▲ .
【应用】如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连接BE，延长CD，交BE于点F.=，=，且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为 ▲ .
【答案】解：【感知】如图①中，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，
∴ = = ，∵DE=5，∴BC=10；
【探究】 ；2； ；
【应用】
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】【探究】如图②中，过点D作DM∥AC交BE于M．
∵DM∥EC，∴△DFM∽△CFE，
∴ = = = ，∵AE=EC，∴ = ，
∵DM∥AE，∴△DBM∽△ABE，∴ = = ，∴ =2，
设MF=2k，EF=3k，则BM=10k，∴BF=12k，∴ = = ．
故答案为： ，2， .
【应用】如图③中，连接DE，作AR∥CF交BE于R．
∵AR∥CF，∴ = = ，∵DF∥AR，∴ = =2，
设ER=m，FR=3m，则BF=6m，EF=4m，
∴ = = ，∵S△ADC=1，BD=2AD，AC=3AE，
∴S△DCB=2，S△DEA= ，∴S△ABC=3，S△AEB=1，∴S△DEB= ，
∴S△BDF= S△BDE= ． 故答案为： .
【分析】 【感知】过点D作DM∥AC交BE于M，由DE∥BC，证出△AED∽△ACB，根据相似的性质列比例式，结合AE=EC，得出 = ，由DM∥AE，证出△DBM∽△ABE，根据相似三角形的性质得出 =2，设MF=2k，EF=3k，得出BM=10k，BF=12k，然后计算 的比值即可；
【探究】由DE∥BC，证出△AED∽△ACB， 得出 = ，结合DE的长，即可解答；
【应用】 连接DE，作AR∥CF交BE于R，设ER=m，FR=3m，则可表示出BF和EF，根据平行线分线段成比例的性质得出BD=2AD，AC=3AE，然后根据等高三角形的面积关系求△BDE的面积，即可解答.
五、综合题
15．（2022九上·潞城月考）综合与探究
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点E，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H．
∴四边形是矩形．
∵D为中点，
∴．
∵，
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）设与相交于点P，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证明，可得，再将数据代入求出即可；
（3）过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H，先证明，可得，将数据代入可得，再求出即可。
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