27.2.3 相似三角形的应用举例 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·简阳期中）高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（ ）
A．10米 B．16米 C．26米 D．36米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设建筑物的高是x米，则：
，
解得：，
故选：B.
【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例进行解答即可.
2．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
3．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
4．（2022九上·历城期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
5．（2022九上·永年期中）如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．小红眼睛点A与标杆顶端点F，旗杆顶端点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆ED的高度为（ ）
A．15.4米 B．17米 C．17.6米 D．19.2米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：作交FC于点G，如图所示：
，，交FC于点G，
，
，，，，
∴四边形ABDH、ABCG是矩形，
，，
，，，，
，，
，
∴
，
即
解得：，
答：旗杆的高ED是19.2米，
故答案为：D．
【分析】作交FC于点G，先证明，可得，将数据代入求出EH的长，最后利用线段的和差求出ED的长即可。
6．（2022九上·长清期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AB的长即可。
二、填空题
7．（2022九上·青秀月考）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到BC的距离OE为 ．
【答案】2cm
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴，
∴，
∴，
即，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2cm.
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥OE∥CD，证明△OAB∽△OCD，△COE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行计算即可.
8．（2022九上·青岛期中）如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为 m．
【答案】12.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知，
设旗杆的高为x米，
故答案为：12.5．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，再求出x的值即可。
9．（2022九上·义乌期中）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 米.
【答案】45
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴ ，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴ .
∴AB＝45.
故答案为：45.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCD∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
10．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 .
【答案】4.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴ΔABP∽ΔCDP，
∴AB：BP=CD：PD，
∵AB=1.5米，BP=2米，PD=6米，
∴，
解得：CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】证明△ABP∽△CDP，得AB：BP=CD：PD，据此求出CD的长.
11．（2022九上·蚌埠月考）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知，图中点A，B，C，D在同一水平面上．
（1）的长为
（2）灯泡到地面的高度为
【答案】（1）3m
（2）1.2m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
∴
∴
∴
解得
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出BC的长即可；
（2）先证明，可得，将数据代入求出AG的长即可。
三、作图题
12．（2020九下·石嘴山月考）已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
【答案】（1）
作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
则EF就是DE的投影.
（2）∵太阳光线是平行的,
∴AC∥DF.
∴∠ACB=∠DFE
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF.
∴ ,
∵AB=5m，BC=4m,EF=6m,
∴ ,
∴DE=7.5(m).
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据已知连接AC，过点D作DF∥AC，即可得出EF就是DE的投影；
（2）由 太阳光线是平行的可得AC∥DF，由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，根据有两个角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEF，于是可得比例式，把题中已知的线段代入比例式计算即可求解.
四、解答题
13．（2022九上·通州期中）如图，是小凯为估算鱼塘的宽AB设计的，在陆地上取点，使得在同一条直线上，在同一条直线上，测得．小凯测得的长为10米，求鱼塘的宽的长是多少米？
【答案】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴鱼塘的宽的长是20米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明，可得，再求出AB的长即可。
14．（2022九上·罗湖期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE的高为1m，测得AB＝2m，AC＝10m，求建筑物CD的高.
【答案】解：∵BE∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5，
∴ 建筑物CD的高为5m.
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
15．（2022九上·嘉定期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【答案】解：
由题意可知：，AH＝15
∵H为GD的中点，K为DE的中点
DH＝100，DK＝100
∵AH∥DK
∴∠CDK＝∠A
而∠CKD＝∠AHD
∴
∴
即，
∴
答：出南门步恰好看到位于A处的树木．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
1 / 127.2.3 相似三角形的应用举例 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·简阳期中）高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（ ）
A．10米 B．16米 C．26米 D．36米
2．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
3．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
4．（2022九上·历城期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·永年期中）如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．小红眼睛点A与标杆顶端点F，旗杆顶端点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆ED的高度为（ ）
A．15.4米 B．17米 C．17.6米 D．19.2米
6．（2022九上·长清期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022九上·青秀月考）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到BC的距离OE为 ．
8．（2022九上·青岛期中）如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为 m．
9．（2022九上·义乌期中）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为 米.
10．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 .
11．（2022九上·蚌埠月考）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知，图中点A，B，C，D在同一水平面上．
（1）的长为
（2）灯泡到地面的高度为
三、作图题
12．（2020九下·石嘴山月考）已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
四、解答题
13．（2022九上·通州期中）如图，是小凯为估算鱼塘的宽AB设计的，在陆地上取点，使得在同一条直线上，在同一条直线上，测得．小凯测得的长为10米，求鱼塘的宽的长是多少米？
14．（2022九上·罗湖期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE的高为1m，测得AB＝2m，AC＝10m，求建筑物CD的高.
15．（2022九上·嘉定期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设建筑物的高是x米，则：
，
解得：，
故选：B.
【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例进行解答即可.
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：作交FC于点G，如图所示：
，，交FC于点G，
，
，，，，
∴四边形ABDH、ABCG是矩形，
，，
，，，，
，，
，
∴
，
即
解得：，
答：旗杆的高ED是19.2米，
故答案为：D．
【分析】作交FC于点G，先证明，可得，将数据代入求出EH的长，最后利用线段的和差求出ED的长即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AB的长即可。
7．【答案】2cm
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴，
∴，
∴，
即，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2cm.
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥OE∥CD，证明△OAB∽△OCD，△COE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行计算即可.
8．【答案】12.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知，
设旗杆的高为x米，
故答案为：12.5．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，再求出x的值即可。
9．【答案】45
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴ ，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴ .
∴AB＝45.
故答案为：45.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCD∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
10．【答案】4.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴ΔABP∽ΔCDP，
∴AB：BP=CD：PD，
∵AB=1.5米，BP=2米，PD=6米，
∴，
解得：CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】证明△ABP∽△CDP，得AB：BP=CD：PD，据此求出CD的长.
11．【答案】（1）3m
（2）1.2m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
∴
∴
∴
解得
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出BC的长即可；
（2）先证明，可得，将数据代入求出AG的长即可。
12．【答案】（1）
作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
则EF就是DE的投影.
（2）∵太阳光线是平行的,
∴AC∥DF.
∴∠ACB=∠DFE
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF.
∴ ,
∵AB=5m，BC=4m,EF=6m,
∴ ,
∴DE=7.5(m).
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据已知连接AC，过点D作DF∥AC，即可得出EF就是DE的投影；
（2）由 太阳光线是平行的可得AC∥DF，由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，根据有两个角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEF，于是可得比例式，把题中已知的线段代入比例式计算即可求解.
13．【答案】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴鱼塘的宽的长是20米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明，可得，再求出AB的长即可。
14．【答案】解：∵BE∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5，
∴ 建筑物CD的高为5m.
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
15．【答案】解：
由题意可知：，AH＝15
∵H为GD的中点，K为DE的中点
DH＝100，DK＝100
∵AH∥DK
∴∠CDK＝∠A
而∠CKD＝∠AHD
∴
∴
即，
∴
答：出南门步恰好看到位于A处的树木．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
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