第二十七章 相似 章末测试 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·余杭期中）如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022九上·杭州期中）已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2
3．（2022九上·南海月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
4．（2022九上·高陵期中）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·襄汾期中）如图，在中，分别为线段的中点，设的面积为的面积为，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·嘉定期中）如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
7．（2022九上·奉贤期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
8．（2022九上·通州期中）如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD高度是（ ）
A．9m B．10.m C．12m D．16m
9．（2022九上·西安期中）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．直线经过点
10．（2022九上·杭州期中）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
11．（2022九上·威远期中）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A，B，C，D分别与点A'，B'，C'，D'对应，已知BC=3，CD=2.4，B'C'=2，那么C'D'的长是 .
12．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
13．（2022·淮安）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接.若的面积是2，则的值是 .
14．（2022九上·奉贤期中）如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，，则的长为 ．
15．（2022九上·奉贤期中）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 米．
16．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
三、作图题
17．（2022九上·襄汾期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
( 1 )画出向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的；
( 2 )以点B为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出；
( 3 )直接写出的面积，及，的坐标．
四、解答题
18．（2022九上·乐山期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．
19．（2022九上·高陵期中）如图，在中，，D，E分别为边上的点，，当时，求的长．
20．（2022·舟山模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD.
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）；
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.
五、综合题
21．（2022九上·霍邱月考）在四边形ABCD中， ADC=∠ACB，AC为对角线，AD·CB=DC·AC．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图1，若AC=8，AB=12，求AD的长；
（3）如图2，若∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE，DE与AC交于点F，CB=6，CE=5，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，据此建立方程，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ；
故答案为：C.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此即可求解.
3．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．
解得：x≈10，
故答案为：C．
【分析】设她应该穿高的鞋子，再根据黄金分割的定义可得，最后求出x的值即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠D，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、∵∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
C、∵∠B=∠D， ，
∴△ABC和△ADE不相似，故C符合题意；
D、 ∵∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，B，D作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵分别为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得。
6．【答案】A
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，
∴AC∥DF，
∴△ABC∽△DBG，
∴＝（）2＝，
∴AB：DB＝：1，
∵AB＝，
∴DB＝1，
∴AD＝-1．
故答案为：A．
【分析】由平移的性质可得AC∥DF，可证△ABC∽△DBG，可得＝（）2＝，据此求出DB，利用AD=AB-BD即可求解.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为x．先证明，可得，再结合，可得，最后求出x的值即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意得BE∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴，
即
解得CD=12．
故答案为：C．
【分析】先证明△AEB∽△ADC，可得，再将数据代入求出CD的长即可。
9．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据位似变换的性质逐一判断即可.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作 垂直 于H，延长 和 交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的边长为4，
， ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】作 垂直 于H，延长 和 交于点M，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性质及平行线的性质可得BH=CH=BE=1，，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，可得AG=GF，设 ，则，，，根据平行线可证 ，利用相似三角形对应边成比例建立关于x方程并解之即可.
11．【答案】1.6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，
∴
∴
解之：C′D′=1.6.
故答案为：1.6
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出C′D′的长.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
∵的面积是2，
∴点到的距离为，
在中，点到的距离为，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据三角形的面积计算公式得出得出点E到AB的距离，由等面积法算出点C到AB的距离，从而即可得出点C到DF的距离，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△CAB，根据相似三角形的性质建立方程，求解可得CD、DF的长，然后根据角平分线的性质及平行线的性质可推出DA=DE=1，据此就不难求出DE与EF的比值了.
14．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
，，
即，
又，
．
故答案为：4．
【分析】先证明，，可得，，再将数据代入可得，最后求出即可。
15．【答案】14
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM=12.5，
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD=EN=1.5米，
∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．
故旗杆MN的高度为14米，
故答案为：14．
【分析】先证明△ACB∽△AEM，可得，将数据代入求出EM=12.5，再利用线段的和差求出MN=ME+EN=12.5+1.5=14即可。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
17．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶由题意得：，
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据位似图形的性质找出图象即可；
（3）利用三角形的面积公式求出的面积，并利用平面直角坐标系直接写出点，的坐标即可。
18．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线性质，可得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，再利用两组角对应相等，可证明三角形相似.
19．【答案】解：∵，
∴．
∵，
，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠B=∠C，利用三角形的内角和定理和平角的定义可证得∠ADE=∠B，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长.
20．【答案】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：如图3，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′.
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC=BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
【分析】根据正方形的性质可得AO=OC=BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质可得OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，则AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证明△AOC′≌△BOD′，得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，由对顶角的性质可得∠AO′D′=∠BO′O，然后结合∠O′BO+∠BO′O=90° 可得AC′与BD′的位置关系；根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，根据三角函数的概念可得OB=OA，OD=OC，由旋转的性质可得OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，证明△AOC′∽△BOD′，根据相似三角形的性质可得BD′=AC′，同理可得AC′与BD′的位置关系.
21．【答案】（1）证明：∵∠ ADC=∠ACB，，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC平分∠DAB
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴，AC2=AB·AD，
∵AC=8，AB=12，
∴64= 12AD，
∴AD=
（3）解：∵∠ACB=90°，点E为AB的中点，
∴AB=2CE=10，
∴AC=8，
∵△ADC∽△ACB，
∴AD==6.4，
由(1)知∠DAC=∠EAC，
∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴AFD∽△CFE，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠DAC=∠CAB， 再求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可；
（3）先求出AD=6.4，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
1 / 1第二十七章 相似 章末测试 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·余杭期中）如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，据此建立方程，求解即可.
2．（2022九上·杭州期中）已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ；
故答案为：C.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此即可求解.
3．（2022九上·南海月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．
解得：x≈10，
故答案为：C．
【分析】设她应该穿高的鞋子，再根据黄金分割的定义可得，最后求出x的值即可。
4．（2022九上·高陵期中）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠D，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、∵∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
C、∵∠B=∠D， ，
∴△ABC和△ADE不相似，故C符合题意；
D、 ∵∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，B，D作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
5．（2022九上·襄汾期中）如图，在中，分别为线段的中点，设的面积为的面积为，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵分别为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得。
6．（2022九上·嘉定期中）如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，
∴AC∥DF，
∴△ABC∽△DBG，
∴＝（）2＝，
∴AB：DB＝：1，
∵AB＝，
∴DB＝1，
∴AD＝-1．
故答案为：A．
【分析】由平移的性质可得AC∥DF，可证△ABC∽△DBG，可得＝（）2＝，据此求出DB，利用AD=AB-BD即可求解.
7．（2022九上·奉贤期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为x．先证明，可得，再结合，可得，最后求出x的值即可。
8．（2022九上·通州期中）如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD高度是（ ）
A．9m B．10.m C．12m D．16m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意得BE∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴，
即
解得CD=12．
故答案为：C．
【分析】先证明△AEB∽△ADC，可得，再将数据代入求出CD的长即可。
9．（2022九上·西安期中）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．直线经过点
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据位似变换的性质逐一判断即可.
10．（2022九上·杭州期中）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作 垂直 于H，延长 和 交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的边长为4，
， ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】作 垂直 于H，延长 和 交于点M，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性质及平行线的性质可得BH=CH=BE=1，，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，可得AG=GF，设 ，则，，，根据平行线可证 ，利用相似三角形对应边成比例建立关于x方程并解之即可.
二、填空题
11．（2022九上·威远期中）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A，B，C，D分别与点A'，B'，C'，D'对应，已知BC=3，CD=2.4，B'C'=2，那么C'D'的长是 .
【答案】1.6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，
∴
∴
解之：C′D′=1.6.
故答案为：1.6
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出C′D′的长.
12．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2022·淮安）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接.若的面积是2，则的值是 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
∵的面积是2，
∴点到的距离为，
在中，点到的距离为，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据三角形的面积计算公式得出得出点E到AB的距离，由等面积法算出点C到AB的距离，从而即可得出点C到DF的距离，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△CAB，根据相似三角形的性质建立方程，求解可得CD、DF的长，然后根据角平分线的性质及平行线的性质可推出DA=DE=1，据此就不难求出DE与EF的比值了.
14．（2022九上·奉贤期中）如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
，，
即，
又，
．
故答案为：4．
【分析】先证明，，可得，，再将数据代入可得，最后求出即可。
15．（2022九上·奉贤期中）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 米．
【答案】14
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM=12.5，
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD=EN=1.5米，
∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．
故旗杆MN的高度为14米，
故答案为：14．
【分析】先证明△ACB∽△AEM，可得，将数据代入求出EM=12.5，再利用线段的和差求出MN=ME+EN=12.5+1.5=14即可。
16．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
三、作图题
17．（2022九上·襄汾期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
( 1 )画出向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的；
( 2 )以点B为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出；
( 3 )直接写出的面积，及，的坐标．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶由题意得：，
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据位似图形的性质找出图象即可；
（3）利用三角形的面积公式求出的面积，并利用平面直角坐标系直接写出点，的坐标即可。
四、解答题
18．（2022九上·乐山期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线性质，可得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，再利用两组角对应相等，可证明三角形相似.
19．（2022九上·高陵期中）如图，在中，，D，E分别为边上的点，，当时，求的长．
【答案】解：∵，
∴．
∵，
，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠B=∠C，利用三角形的内角和定理和平角的定义可证得∠ADE=∠B，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长.
20．（2022·舟山模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD.
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）；
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.
【答案】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：如图3，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′.
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC=BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
【分析】根据正方形的性质可得AO=OC=BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质可得OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，则AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证明△AOC′≌△BOD′，得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，由对顶角的性质可得∠AO′D′=∠BO′O，然后结合∠O′BO+∠BO′O=90° 可得AC′与BD′的位置关系；根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，根据三角函数的概念可得OB=OA，OD=OC，由旋转的性质可得OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，证明△AOC′∽△BOD′，根据相似三角形的性质可得BD′=AC′，同理可得AC′与BD′的位置关系.
五、综合题
21．（2022九上·霍邱月考）在四边形ABCD中， ADC=∠ACB，AC为对角线，AD·CB=DC·AC．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图1，若AC=8，AB=12，求AD的长；
（3）如图2，若∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE，DE与AC交于点F，CB=6，CE=5，求的值．
【答案】（1）证明：∵∠ ADC=∠ACB，，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC平分∠DAB
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴，AC2=AB·AD，
∵AC=8，AB=12，
∴64= 12AD，
∴AD=
（3）解：∵∠ACB=90°，点E为AB的中点，
∴AB=2CE=10，
∴AC=8，
∵△ADC∽△ACB，
∴AD==6.4，
由(1)知∠DAC=∠EAC，
∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴AFD∽△CFE，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠DAC=∠CAB， 再求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可；
（3）先求出AD=6.4，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
1 / 1
