28.1 锐角三角函数 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·霍邱月考）若∠A为锐角，且sinA=，则cosA等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022九上·霍邱月考）已知
A．60°C．10°3．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2022九上·潞城月考）如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·蚌埠月考）在中，，若的三边都扩大2023倍，则的值（ ）
A．不变 B．缩小2023倍 C．扩大2023倍 D．扩大倍
6．（2022九上·蚌埠月考）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以点B为圆心，长为半径画弧，若两弧交于点C，画射线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·莘县期中）在中，，若，则 ．
8．（2022九上·金华月考）已知tanA=1，则∠A= °.
9．（2022·宁夏）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则 ．
10．（2022九上·镇海区期中）如图， 等边的边长为2 ，点分别是、、边上的中点，以D为圆心，长为半径作，连接.假设可以在内部随机取点， 那么这个点取在阴影部分的概率是 .
11．（2022九上·舟山月考）如图，ΔABC内接于0，AB为0的直径，将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，点E在☉上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ 。
三、作图题
12．（2022·肇东模拟）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题：
( 1 )画出四边形ABCD旋转180°后的图形；
( 2 )求点C旋转过程中所经过的路径长；
( 3 )求sin∠BAD的值．
四、解答题
13．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.
五、综合题
14．（2022九上·潞城月考）阅读与思考
【方法提炼】
解答几何问题常常需要添加辅助线，其中平移图形是重要的添加辅助线的策略．
【问题情境】
如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，求．小明在分析解题思路时想到了平移法：如图2，平移线段到，则，从而得，连接，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得出答案．
（1）【尝试应用】
按照小明的思路，得出 ．
（2）如图3，在正方形网格中，A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴∠A=60°，
∴cosA =，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出∠A=60°，再根据特殊的锐角三角函数的值计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∴cos60°＜cosA＜cos10°，
∴10°＜A＜60°，
故答案为：C.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求出cos60°＜cosA＜cos10°，再计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】由即可求出AC的长.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，D是的中点，
是斜边上的中线，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得。
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，若的三边都扩大2023倍，
∴变化后的三角形与原三角形相似，
根据相似三角形的对应角相等，
可知的大小没有发生变化，
∴的值不变，
故答案为：A．
【分析】利用正切的定义可得答案。
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故．
故答案为：D．
【分析】连接BC，先证明是等边三角形，再利用正切的定义可得。
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵∠C＝90°，，
∴设AC＝4x，AB＝5x，
则BC＝3x，
故sinA＝．
故答案为：．
【分析】设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再利用正弦的定义可得sinA＝。
8．【答案】45
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，
∴∠A=45°.
故答案为：45.
【分析】根据45°角的正切值为1，即可解答.
9．【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用垂径定理求出BD的长，再利用余弦三角函数的定义求出cosB的值.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
在等边中，，
∵点分别是、边上的中点
∴，
则是等边三角形，，
同理：是等边三角形，
∴
扇形的面积为：
∵
∴的面积为：
则这个点取在阴影部分的概率为：
故答案为：
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质及线段中点的定义得BE=BD=1，AD⊥BC，则可推出△BDE是等边三角形，根据等边三角形性质得∠BDE=60°，DE=BE=1，同理△CDF是等边三角形，∠CDF=60°，根据平角定义得∠EDF=60°，根据扇形面积计算公式算出扇形DEF的面积，由AD=AB×sin60°算出AD，进而三角形面积计算公式算出△ABC的面积，根据几何概率的意义，用扇形DEF的面积除以△ABC的面积即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，
∴∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，
∴∠ACE=∠BCD=ABE，
∴∠ABE+∠ABC+∠CBD=∠BCD+∠D+∠CBD=180°，
∴点E，B，D在同一直线上，
在Rt△ECD中
tanD=，
设CD=x，则EC=3x，
∴；
∵
∴∠ACE=∠BCD，∠D=∠ABC=∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴，∠CBD=∠CAE，
∴
解之：；
∴BE=DE-BD=
在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2
∴
解之：
∴.
故答案为：
【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用旋转的性质可知∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，可推出∠ACE=∠BCD=ABE，利用三角形的内角和定理去证明点E，B，D在同一直线上，利用锐角三角函数的定义可得到EC与CD的比值，设CD=x，则EC=3x，利用勾股定理表示出ED的长，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠D=∠ABC=∠AEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACE∽△BCD，从而可求出BD的长，可表示出BE的长；在Rt△AEB中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB的长.
12．【答案】解：⑴如图，四边形即为所作；
⑵根据题意可知C点的路线为以O为圆心OC为半径的半圆．
∵，
∴．
即点C旋转过程中所经过的路径长为；
⑶如图，连接BD，
由图可知，，，
∵，即，
∴为直角三角形，且，
∴sin∠BAD．
【知识点】弧长的计算；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C、D的对应点，再连接即可；
（2）先求出OC的长，再利用弧长公式求出答案即可；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且，再利用正弦的定义求解即可。
13．【答案】解：
∵，
∴
∵，，
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。
14．【答案】（1）1
（2）解：如图，将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接．
∴．
设正方形网格的边长为单位1，
∴，，，，，，
根据勾股定理可，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1），
∴
【分析】（1）利用正切定义求解即可；
（2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，根据利用勾股定理的逆定理可得，再利用正切的定义可得。
1 / 128.1 锐角三角函数 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·霍邱月考）若∠A为锐角，且sinA=，则cosA等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴∠A=60°，
∴cosA =，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出∠A=60°，再根据特殊的锐角三角函数的值计算求解即可。
2．（2022九上·霍邱月考）已知A．60°C．10°【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∴cos60°＜cosA＜cos10°，
∴10°＜A＜60°，
故答案为：C.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求出cos60°＜cosA＜cos10°，再计算求解即可。
3．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】由即可求出AC的长.
4．（2022九上·潞城月考）如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，D是的中点，
是斜边上的中线，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得。
5．（2022九上·蚌埠月考）在中，，若的三边都扩大2023倍，则的值（ ）
A．不变 B．缩小2023倍 C．扩大2023倍 D．扩大倍
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，若的三边都扩大2023倍，
∴变化后的三角形与原三角形相似，
根据相似三角形的对应角相等，
可知的大小没有发生变化，
∴的值不变，
故答案为：A．
【分析】利用正切的定义可得答案。
6．（2022九上·蚌埠月考）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以点B为圆心，长为半径画弧，若两弧交于点C，画射线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故．
故答案为：D．
【分析】连接BC，先证明是等边三角形，再利用正切的定义可得。
二、填空题
7．（2021九上·莘县期中）在中，，若，则 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵∠C＝90°，，
∴设AC＝4x，AB＝5x，
则BC＝3x，
故sinA＝．
故答案为：．
【分析】设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再利用正弦的定义可得sinA＝。
8．（2022九上·金华月考）已知tanA=1，则∠A= °.
【答案】45
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，
∴∠A=45°.
故答案为：45.
【分析】根据45°角的正切值为1，即可解答.
9．（2022·宁夏）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用垂径定理求出BD的长，再利用余弦三角函数的定义求出cosB的值.
10．（2022九上·镇海区期中）如图， 等边的边长为2 ，点分别是、、边上的中点，以D为圆心，长为半径作，连接.假设可以在内部随机取点， 那么这个点取在阴影部分的概率是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
在等边中，，
∵点分别是、边上的中点
∴，
则是等边三角形，，
同理：是等边三角形，
∴
扇形的面积为：
∵
∴的面积为：
则这个点取在阴影部分的概率为：
故答案为：
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质及线段中点的定义得BE=BD=1，AD⊥BC，则可推出△BDE是等边三角形，根据等边三角形性质得∠BDE=60°，DE=BE=1，同理△CDF是等边三角形，∠CDF=60°，根据平角定义得∠EDF=60°，根据扇形面积计算公式算出扇形DEF的面积，由AD=AB×sin60°算出AD，进而三角形面积计算公式算出△ABC的面积，根据几何概率的意义，用扇形DEF的面积除以△ABC的面积即可得出答案.
11．（2022九上·舟山月考）如图，ΔABC内接于0，AB为0的直径，将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，点E在☉上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ 。
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，
∴∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，
∴∠ACE=∠BCD=ABE，
∴∠ABE+∠ABC+∠CBD=∠BCD+∠D+∠CBD=180°，
∴点E，B，D在同一直线上，
在Rt△ECD中
tanD=，
设CD=x，则EC=3x，
∴；
∵
∴∠ACE=∠BCD，∠D=∠ABC=∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴，∠CBD=∠CAE，
∴
解之：；
∴BE=DE-BD=
在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2
∴
解之：
∴.
故答案为：
【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用旋转的性质可知∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，可推出∠ACE=∠BCD=ABE，利用三角形的内角和定理去证明点E，B，D在同一直线上，利用锐角三角函数的定义可得到EC与CD的比值，设CD=x，则EC=3x，利用勾股定理表示出ED的长，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠D=∠ABC=∠AEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACE∽△BCD，从而可求出BD的长，可表示出BE的长；在Rt△AEB中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB的长.
三、作图题
12．（2022·肇东模拟）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题：
( 1 )画出四边形ABCD旋转180°后的图形；
( 2 )求点C旋转过程中所经过的路径长；
( 3 )求sin∠BAD的值．
【答案】解：⑴如图，四边形即为所作；
⑵根据题意可知C点的路线为以O为圆心OC为半径的半圆．
∵，
∴．
即点C旋转过程中所经过的路径长为；
⑶如图，连接BD，
由图可知，，，
∵，即，
∴为直角三角形，且，
∴sin∠BAD．
【知识点】弧长的计算；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C、D的对应点，再连接即可；
（2）先求出OC的长，再利用弧长公式求出答案即可；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且，再利用正弦的定义求解即可。
四、解答题
13．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.
【答案】解：
∵，
∴
∵，，
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。
五、综合题
14．（2022九上·潞城月考）阅读与思考
【方法提炼】
解答几何问题常常需要添加辅助线，其中平移图形是重要的添加辅助线的策略．
【问题情境】
如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，求．小明在分析解题思路时想到了平移法：如图2，平移线段到，则，从而得，连接，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得出答案．
（1）【尝试应用】
按照小明的思路，得出 ．
（2）如图3，在正方形网格中，A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，求的值．
【答案】（1）1
（2）解：如图，将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接．
∴．
设正方形网格的边长为单位1，
∴，，，，，，
根据勾股定理可，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1），
∴
【分析】（1）利用正切定义求解即可；
（2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，根据利用勾股定理的逆定理可得，再利用正切的定义可得。
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