28.2 解直角三角形及其应用 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·寿光期中）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
2．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
3．（2022九上·潞城月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（ ）（结果精确到，参考数据）
A． B． C． D．
4．（2022九上·晋州期中）如图所示，是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，，均在格点上，则和的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
5．（2022九上·霍邱月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，点D是AC上一点，连接BD．若tanA=，tan∠ABD=，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
6．（2022九上·晋州期中）如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022九上·舟山月考）小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
9．（2022九上·潞城月考）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶点C处的俯角为．又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的水平距离为80米，则教学楼的高度为 米（注：点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据）
10．（2022九上·潞城月考）在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为 ．
11．（2022九上·南岗月考）如图，是的切线，A为切点，交于点，，，则的长为 ．
12．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
13．（2022·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
三、作图题
14．（2021九上·西安月考）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：锐角 及其一边上的一点A.
求作：在 的另一边上求作点B，使得 .
四、解答题
15．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，在中，，求BC的长．
16．（2022九上·蚌埠月考）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1，A是栏杆转动的支点，E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，，求此时杆到地面的距离．（参考数据∶，，）
17．（2021·西安模拟）如图是一个小商场的纵截面图（矩形 ）， 是商场的顶部， 是商场的地面，地面由边长为 的正方形瓷砖铺成，从 到 共有 块瓷砖， 和 是商场的两面墙壁， 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ ）和灯饰的长度（ ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 两块砖的 处，发现激光笔的反射光照到了 处；再把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 三块砖的 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 处，请你帮忙计算 的高度和 的长度.
五、综合题
18．（2022九上·奉贤期中）如图，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF=EC，交BC的延长线于点F，设BD=x．
（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；
（2）若CE=y，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∵BC＝30m，
∴AC＝30×2.5＝75m，
故答案为：A．
【分析】根据坡度比可得BC：AC＝1：2.5，再将数据代入求出AC的长即可。
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点F，过E作于点H，
∵，，，
∴，
∵坡度，
∴，
解得：，
∵，
∴（），
∴（m）．
故答案为：B
【分析】过点A作于点F，过E作于点H，根据求出，再利用线段的和差求出即可。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
，，
，
又，即，
，
，
，
，即，
，
故答案为：C．
【分析】利用正弦的定义可得，，再结合，即，即可得到。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tanA=，tan∠ABD=，
∴，，
∴AE=2DE，BE=3DE，
∴AE+BE=2DE+3DE=5DE=AB，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，tanA=，
∴，
∴，
∴，
∴DE=1，
∴AE=2，
∴，
∴CD=AC-AD=，
故答案为： D.
【分析】根据题意先求出AE=2DE，BE=3DE，再利用勾股定理求出AB=5，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
过点作于，于，
∴到的距离是，
∵，矩形，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，
∴AC=10m=1000cm，，
设BC=x，则AB=2x，
∴BC2+AB2=AC2
∴x2+4x2=10002
解之：，
∴他升高了cm.
故答案为：
【分析】利用坡比的定义，可知，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
9．【答案】14
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作于点E，作于点F，
由题可得：，，，
在中，，
∴，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∵四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为：14．
【分析】过点D作于点E，作于点F，先求出，再结合，可得，最后利用线段的和差求出即可。
10．【答案】4
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点H，得矩形．
∵M为的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴．
【分析】过点F作于点H，得矩形，设，则，，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．【答案】4
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的切线，A为切点，
∴，
∴
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据切线的性质可得，再结合，，求出，利用勾股定理求出OP的长，最后利用线段的和差求出PB的长即可。
12．【答案】10；
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴，
∴
∴，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴，
设CN＝2x，DN＝3x，则，
解之：，
∴，
∴，
在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM=∠DCN，
∴，
解之：，
∴，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于OB+OM=（）米．
故答案为：10，（）.
【分析】设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，利用平行线的性质可证得∠HCM＝∠EGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HMC∽△EFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出HM的长；利用平行线的性质可得到∠BDC＝∠EGF，从而可推出tan∠BDC＝tan∠EGF，可得到CN与DN的比值，设CN＝2x，DN＝3x，利用勾股定理表示出CD的长，利用CD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB，OA的长；在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM，利用锐角三角函数的定义可求出OH的长，根据OM=OH+HM，代入计算求出MO的长；以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度.
13．【答案】y=
【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，
∵tan∠ABO=3，
∴AO=3OB，
设OB=a，则AO=3a，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，
∴∠OAB=∠CBE，
又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），
∴CE=OB=a，BE=AO=3a，
∴OE=BE-BO=3a-a=2a，
∴点C（a，2a），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴2a2=1，解得a1=，a2=-（舍去），
∴CE=OB=，BE=AO=，
同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），
∴DF=AO=，AF=BO=，
∴FO=，
∴D（-，），
设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），
∴d=-×=-3，
∴y=-.
【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=，BE=AO=，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=，AF=BO=，FO=，即D（-，），设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），代入点D坐标求解即可.
14．【答案】解：如图，作OA的垂直平分线交 的另一边上于点B，B点即为所求
∵垂直平分线
∴OB=OA
∴
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等角的同名三角函数值相等及等角对等边可知，作OA的垂直平分线，交∠O的另一边上于点B，B点即为所求.
15．【答案】解：过点A作，交的延长线于点D，则，
在中，
，
根据勾股定理可得：，
即 ，
解得，
，
，
在中，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得，
即，
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】过点A作，交的延长线于点D，则，设，则，根据勾股定理可得，求出，再利用线段的和差求出即可。
16．【答案】解：过点E作于点G，于点H．
∵，则，
∴，
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
答：此时杆到地面的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点E作于点G，于点H，根据=，求出，再结合，利用线段的和差求出EG的长即可。
17．【答案】解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，
根据题意，设 ， ，
∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，
∴ ，
由反射的性质，AB∥EP∥NO，
∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，
∵∠B=∠PON=90°，
∴△BPL∽△OPN，
∴ ，
∴ ，
同理可证△ONF∽△CGF，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ；
∴AB的高度为640厘米；
∵ ，
又 ，
∴ ；
∴ 的长度为400厘米；
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得，由反射的性质知AB∥EP∥NO，根据平行线的性质得∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，证△BPL∽△OPN，由相似三角形性质得OP=a，同理OF=NO=a，再由BC=BP+OP+OF+CF=2000可求出a的值，根据CO=OF+CF可得CO，AM=DN=CO，据此不难求出MN.
18．【答案】（1）解：如图1，
作于G，
，
∴，
（2）解：如图2，
作于G，于H，
化简，得，
当时，，
此时，
∴。
∴；
（3）解：如图3，
∵，
∴点D、G、E、F共圆，
或
当时，
当时，如图4，
∴四边形是平行四边形，
由（1）（2）知，
综上所述：BD＝17或8．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠B=∠ECF，∠ADB=∠F，所以∠B=∠ADB，再利用等角对等边的性质可得AB=AD，因此BD=2GB=12；
（2）作于G，于H，先证明，可得，再结合，求出，将数据代入可得，求出，再求出，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当时，②当时，再分别求解即可。
1 / 128.2 解直角三角形及其应用 人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·寿光期中）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∵BC＝30m，
∴AC＝30×2.5＝75m，
故答案为：A．
【分析】根据坡度比可得BC：AC＝1：2.5，再将数据代入求出AC的长即可。
2．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．（2022九上·潞城月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（ ）（结果精确到，参考数据）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点F，过E作于点H，
∵，，，
∴，
∵坡度，
∴，
解得：，
∵，
∴（），
∴（m）．
故答案为：B
【分析】过点A作于点F，过E作于点H，根据求出，再利用线段的和差求出即可。
4．（2022九上·晋州期中）如图所示，是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，，均在格点上，则和的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
，，
，
又，即，
，
，
，
，即，
，
故答案为：C．
【分析】利用正弦的定义可得，，再结合，即，即可得到。
5．（2022九上·霍邱月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，点D是AC上一点，连接BD．若tanA=，tan∠ABD=，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tanA=，tan∠ABD=，
∴，，
∴AE=2DE，BE=3DE，
∴AE+BE=2DE+3DE=5DE=AB，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，tanA=，
∴，
∴，
∴，
∴DE=1，
∴AE=2，
∴，
∴CD=AC-AD=，
故答案为： D.
【分析】根据题意先求出AE=2DE，BE=3DE，再利用勾股定理求出AB=5，最后计算求解即可。
6．（2022九上·晋州期中）如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
过点作于，于，
∴到的距离是，
∵，矩形，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
7．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
二、填空题
8．（2022九上·舟山月考）小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，
∴AC=10m=1000cm，，
设BC=x，则AB=2x，
∴BC2+AB2=AC2
∴x2+4x2=10002
解之：，
∴他升高了cm.
故答案为：
【分析】利用坡比的定义，可知，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
9．（2022九上·潞城月考）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶点C处的俯角为．又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的水平距离为80米，则教学楼的高度为 米（注：点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据）
【答案】14
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作于点E，作于点F，
由题可得：，，，
在中，，
∴，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∵四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为：14．
【分析】过点D作于点E，作于点F，先求出，再结合，可得，最后利用线段的和差求出即可。
10．（2022九上·潞城月考）在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点H，得矩形．
∵M为的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴．
【分析】过点F作于点H，得矩形，设，则，，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．（2022九上·南岗月考）如图，是的切线，A为切点，交于点，，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的切线，A为切点，
∴，
∴
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据切线的性质可得，再结合，，求出，利用勾股定理求出OP的长，最后利用线段的和差求出PB的长即可。
12．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】10；
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴，
∴
∴，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴，
设CN＝2x，DN＝3x，则，
解之：，
∴，
∴，
在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM=∠DCN，
∴，
解之：，
∴，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于OB+OM=（）米．
故答案为：10，（）.
【分析】设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，利用平行线的性质可证得∠HCM＝∠EGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HMC∽△EFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出HM的长；利用平行线的性质可得到∠BDC＝∠EGF，从而可推出tan∠BDC＝tan∠EGF，可得到CN与DN的比值，设CN＝2x，DN＝3x，利用勾股定理表示出CD的长，利用CD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB，OA的长；在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM，利用锐角三角函数的定义可求出OH的长，根据OM=OH+HM，代入计算求出MO的长；以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度.
13．（2022·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
【答案】y=
【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，
∵tan∠ABO=3，
∴AO=3OB，
设OB=a，则AO=3a，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，
∴∠OAB=∠CBE，
又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），
∴CE=OB=a，BE=AO=3a，
∴OE=BE-BO=3a-a=2a，
∴点C（a，2a），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴2a2=1，解得a1=，a2=-（舍去），
∴CE=OB=，BE=AO=，
同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），
∴DF=AO=，AF=BO=，
∴FO=，
∴D（-，），
设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），
∴d=-×=-3，
∴y=-.
【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=，BE=AO=，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=，AF=BO=，FO=，即D（-，），设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），代入点D坐标求解即可.
三、作图题
14．（2021九上·西安月考）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：锐角 及其一边上的一点A.
求作：在 的另一边上求作点B，使得 .
【答案】解：如图，作OA的垂直平分线交 的另一边上于点B，B点即为所求
∵垂直平分线
∴OB=OA
∴
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等角的同名三角函数值相等及等角对等边可知，作OA的垂直平分线，交∠O的另一边上于点B，B点即为所求.
四、解答题
15．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，在中，，求BC的长．
【答案】解：过点A作，交的延长线于点D，则，
在中，
，
根据勾股定理可得：，
即 ，
解得，
，
，
在中，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得，
即，
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】过点A作，交的延长线于点D，则，设，则，根据勾股定理可得，求出，再利用线段的和差求出即可。
16．（2022九上·蚌埠月考）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1，A是栏杆转动的支点，E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，，求此时杆到地面的距离．（参考数据∶，，）
【答案】解：过点E作于点G，于点H．
∵，则，
∴，
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
答：此时杆到地面的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点E作于点G，于点H，根据=，求出，再结合，利用线段的和差求出EG的长即可。
17．（2021·西安模拟）如图是一个小商场的纵截面图（矩形 ）， 是商场的顶部， 是商场的地面，地面由边长为 的正方形瓷砖铺成，从 到 共有 块瓷砖， 和 是商场的两面墙壁， 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ ）和灯饰的长度（ ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 两块砖的 处，发现激光笔的反射光照到了 处；再把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 三块砖的 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 处，请你帮忙计算 的高度和 的长度.
【答案】解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，
根据题意，设 ， ，
∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，
∴ ，
由反射的性质，AB∥EP∥NO，
∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，
∵∠B=∠PON=90°，
∴△BPL∽△OPN，
∴ ，
∴ ，
同理可证△ONF∽△CGF，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ；
∴AB的高度为640厘米；
∵ ，
又 ，
∴ ；
∴ 的长度为400厘米；
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得，由反射的性质知AB∥EP∥NO，根据平行线的性质得∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，证△BPL∽△OPN，由相似三角形性质得OP=a，同理OF=NO=a，再由BC=BP+OP+OF+CF=2000可求出a的值，根据CO=OF+CF可得CO，AM=DN=CO，据此不难求出MN.
五、综合题
18．（2022九上·奉贤期中）如图，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF=EC，交BC的延长线于点F，设BD=x．
（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；
（2）若CE=y，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．
【答案】（1）解：如图1，
作于G，
，
∴，
（2）解：如图2，
作于G，于H，
化简，得，
当时，，
此时，
∴。
∴；
（3）解：如图3，
∵，
∴点D、G、E、F共圆，
或
当时，
当时，如图4，
∴四边形是平行四边形，
由（1）（2）知，
综上所述：BD＝17或8．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠B=∠ECF，∠ADB=∠F，所以∠B=∠ADB，再利用等角对等边的性质可得AB=AD，因此BD=2GB=12；
（2）作于G，于H，先证明，可得，再结合，求出，将数据代入可得，求出，再求出，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当时，②当时，再分别求解即可。
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