【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.3线段的垂直平分线 第二课时【优质课件】

(共44张PPT)
3.线段的垂直平分线
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
线段的垂直平分线的性质与判定的内容是什么？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形三边垂直平分线的性质
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图,在△ABC 中，
边AB 的垂直平分线与边
BC 的垂直平分线与边BC
相交于点P.
求证：边AC 的垂直平分线
经过点P，且PA＝PB＝PC.
例1
探索新知
∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB (线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等）.
同理，PB ＝PC.
∴点P 在线段AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即边AC 的垂直平分线经过点P.
证明：
探索新知
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
探索新知
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
探索新知
如图，在△ABC 中，∠BAC＝52°，O 为AB，AC 的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝________．
例2
38°
探索新知
导引：
如图，连接OA，
∵O 为AB，AC 的垂直平分线的交点，
∴ OA＝OB＝OC.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠BAC＝52°.
∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2＋∠3＋
∠4)＝180°－2×52°＝76°.
∴∠6＝ ×76°＝38°，
即∠OCB＝38°.
探索新知
总 结
此类题的一般规律是：若O 为△ABC (锐角三角形)三边垂直平分线的交点，则有∠BOC＝2∠A，∠OCB＝∠OBC＝∠90°－∠A.
典题精讲
1
如图，在△ABC 中，BC＝2，∠BAC ＞90°，AB 的垂直平分线交BC 于点E，AC 的垂直平分线交BC 于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF 的周长.
BE＝AE，AF＝CF.
△AEF 的周长为AE＋EF＋AF
＝BE＋EF＋FC＝BC＝2.
解：
典题精讲
2
三角形三边的垂直平分线的交点(　　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
B
典题精讲
3
在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C 位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置是△ABC 的(　　)
A．三边上的中线的交点　
B．三条角平分线的交点
C．三边上的高线的交点　
D．三边垂直平分线的交点
D
典题精讲
4
如图，D 是线段AC，AB 的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD 的大小是(　　)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
A
探索新知
2
知识点
与线段垂直平分线相关的作图
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗？
探索新知
用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：线段AB (如图)．
求作：线段AB 的垂直平分线．
作法：①分别以点A 和点B 为圆心，
以大于 AB 的长为半径画弧，
两弧相交于点C 和点D.
②作直线CD，直线CD 就是线段
AB 的垂直平分线(如图)．
探索新知
已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图 (1)，线段a，h.
求做：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高 AD＝h.
例3
a
h
(1)
探索新知
作法：
(1)作线段BC＝a (如图(2)).
(2)作线段BC 的垂直平分线l，
交BC 于点D.
(3) 在l 上作线段DA 使DA＝h.
(4)连接AB，AC.
△ABC 为所求的等腰三角形.
A
B
C
D
l
×
×
探索新知
如图，河流AB 的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P 供水，要使供水路径最短，求作供水站M 的位置．
例4
探索新知
解：
如图，作法：①以P 为圆心，以适当的长度为半
径画弧，交直线AB 于C，D 两点．
②作线段CD 的垂直平分线MN，交CD 于M，M点
就是所求作的点．
探索新知
总 结
直线外一点到直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短.
典题精讲
1
如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；
步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，
交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC 的延长线于点H.
下列叙述正确的是(　　)
A．BH 垂直平分线段AD B．AC 平分∠BAD
C．S△ABC＝BC · AH D．AB＝AD
A
典题精讲
2
已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)
D
典题精讲
3
如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：
(1)作线段BC＝a；
(2)作线段BC 的垂直平分线MN，
MN 与BC 相交于点D；
(3)在直线MN 上截取线段h；
(4)连接AB，AC. △ABC 为所求
作的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是(　　)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
C
易错提醒
等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P 在(　　)
A．三角形底边上　
B．三角形内
C．三角形外　　 　
D．点P 的位置与三角形边长有关
易错点：三角形三边垂直平分线交点不一定在三角形内部
C
学以致用
小试牛刀
1
如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD. 若△ADC 的周长为10，AB＝7，则△ABC 的周长为(　　)
A．7　　　　
B．14　　　　
C．17　　　　
D．20
C
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC，AD，AB 于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
D
小试牛刀
3 如图，在△ABC 中，边AB，BC 的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点P 在边AC 的垂直平分线上吗？请说明理由．
小试牛刀
∵点P 是边AB，BC 的垂直平分线的交点，∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
点P 在边AC 的垂直平分线上．
理由：∵PA＝PC，
∴点P 在边AC 的垂直平分线上．
(1)证明：
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠C＝60°，∠A＝40°.
(1)用尺规作图：作AB 的垂直平分线，交AC 于点D，交AB 于点E (保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)求证：BD 平分∠CBA.
小试牛刀
如图①.
(1)解：
小试牛刀
连接BD，如图②所示，
∵∠C＝60°，∠A＝40°，
∴∠CBA＝80°.
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠A＝∠DBA＝40°.
∴∠DBA＝ ∠CBA.
∴BD 平分∠CBA.
(2)证明：
小试牛刀
5 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)
小试牛刀
如图，直线AD 即为所求．
解：
小试牛刀
6 如图，一机器人在点A 处发现一个小球自点B 处沿x 轴向原点O 方向匀速滚去，机器人立即从A 处匀速直线前进，去截小球，若小球滚动速度与机器人行走速度相等．试在图中标出机器人恰好能截住小球的位置C. (保留作图痕迹)
小试牛刀
如图，连接AB，作线段AB 的垂直平分线，交x 轴于点C，C 点就是所求作的位置．
解：
小试牛刀
7 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E，F 分别是AB，AC 上的点，且DE⊥DF.
求证：BE＋CF＞EF.
小试牛刀
如图，延长ED 至点M，使DM＝ED，
连接MC，MF，则EF＝FM.
∵BD＝CD，DE＝DM，∠BDE＝∠CDM，
∴△BDE ≌ △CDM (SAS)．
∴BE＝CM.
∵CF＋CM＞MF，　
∴BE＋CF＞EF.
证明：
课堂小结
课堂小结
1．三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫
做三角形的外心(三角形外接圆的圆心，以后即可学到)．
2．几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况：
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；
(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）