【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.2直角三角形 第一课时【优质课件】

(共57张PPT)
2.直角三角形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
三角形的分类
按边分类
按角分类
情景导入
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
—有一个角是钝角
三角形按角的分类：
—三个角都是锐角
—有一个角是直角
生活中用到直角三角形的例子很多
三角形
新课精讲
探索新知
1
知识点
直角三角形中角的关系
想一想
(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形
是直角三角形吗？为什么？
探索新知
归 纳
定理　　直角三角形的两个锐角互余.
定理　　有两个角互余的三角形是直角三角形.
探索新知
如图，在△ABC 中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE 为∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数．
例1
探索新知
由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C
＝180°－30°－70°＝80°.
∵AE 为∠BAC 的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
解：
探索新知
总 结
三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．
典题精讲
1
一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
B
典题精讲
2
小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则 ∠α＋∠β 等于(　　)
A．180°
B．210°
C．360°
D．270°
B
探索新知
2
知识点
直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方.
A
C
B
探索新知
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.
已知：如图 (1)，在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2.
求证：△ABC 是直角三角形
A
B
C
（1）
探索新知
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B ′C ′ ，使
∠A′＝90° A′B ′＝AB，A′C ′＝AC，
则A′B ′ 2＋A′C ′ 2 ＝B ′C ′ 2（勾股定理）.
∵AB 2＋AC 2＝BC 2 ，
∴BC 2 ＝ B ′C ′ 2.
∴BC ＝ B ′C ′.
∴△ABC ≌ △A′B ′C ′ ( SSS).
∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此， △ABC 是直角三角形.
A’
B’
C’
（2）
探索新知
例2
A
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C 到AB 的距离是(　　)
探索新知
导引：方法一：
∵∠C＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝92＋122＝225.
∴AB＝15.
过点C 作CD⊥AB 于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
在Rt△ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝92－x 2.
在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝122－(15－x )2.
∴92－x 2＝122－(15－x )2，解得x＝5.4.
∴CD 2＝92－5.42＝51.84.
∴CD＝7.2＝ ，即点C 到AB 的距离为 .
探索新知
方法二：过点C 作CD⊥AB 于点D，
则S△ABC＝ AC · BC＝ AB · CD，
∴AC·BC＝AB ·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ ，即点C 到AB 的距离为　　.
探索新知
总 结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
典题精讲
1
在△ABC 中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB 的长.
因为∠A＝∠B＝45°，
所以△ABC 为等腰直角三角形．
所以AC＝BC＝3.
所以
解：
典题精讲
2
已知：在△ABC 中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC 边上的中线AD＝12cm. 求证：AB＝AC.
如图，
因为AD 是BC 边上的中线，
所以BD＝ BC＝ ×10
＝5(cm)．
解：
典题精讲
在△ABD 中，
因为AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm，
所以AB 2＝AD 2＋BD 2.
所以△ABD 为直角三角形．所以AD⊥BC.
在Rt△ADC 中，
AC＝ ＝13(cm)，
所以AB＝AC.
典题精讲
3
如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C ′落在边AB上，连接B′C . 若∠ACB＝∠AC′B ′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为(　　)
A．3
B．6
C．3
D.
A
探索新知
3
知识点
逆命题、逆定理
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
探索新知
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
探索新知
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个
命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中
一个命题称为另一个命题的逆命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
探索新知
例3
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a 2＞b 2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：
根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．
探索新知
解：
(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a 2＞b 2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
探索新知
总 结
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．
探索新知
例4
定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由．
导引：
先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可．
解：
定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在
这个角的平分线上．可以证明其为真命题，所以它是原
定理的逆定理．理由如下：
已知：如图，PE⊥OA，
PF⊥OB，垂足分别为E，F，
且PE＝PF.
求证：OP 是∠AOB 的平分线．
探索新知
证明：
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°.
在Rt△POE 和Rt△POF 中，由勾股定理易得OE＝OF，
∴△POE ≌ △POF.
∴∠AOP＝∠BOP，即OP 是∠AOB 的平分线．
即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的
平分线上．
故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”
有逆定理．
探索新知
总 结
判断一个定理是否有逆定理的方法：
先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理．
典题精讲
1
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
(1)逆命题：多边形是四边形．原命题真，逆命题假．
(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题真，逆命题真．
(3)逆命题：如果 a＝0，b＝0，那么ab＝0. 原命题假，逆命题真．
解：
典题精讲
2
下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
典题精讲
3
已知下列命题：
①若 >1，则a>b；
②若a＋b＝0，则|a |＝|b |；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
易错提醒
一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A．5 B.
C. D．5或
易错点：考虑问题不全面而漏解
D
易错提醒
因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为 .故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．
学以致用
小试牛刀
1
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
小试牛刀
2
如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D 的边长分别是3，5，2，3，则正方形E 的面积是(　　)
A．13
B．26
C．47
D．94
C
小试牛刀
3
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
有葛藤自点A 处缠绕而上，绕5周
后其末端恰好到达点B 处．则问
题中葛藤的最短长度是________．
25尺
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠B＞∠A，CD 是∠ACB 的平分线，CE 是AB边上的高．
(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE 的度数；
(2)试写出∠DCE 与∠A，∠B 之间的数量关系，并证明．
小试牛刀
(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.
∵CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝34°.
又∵CE⊥AB，∠B＝72°，
∴∠BCE＝18°.
∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.
解：
小试牛刀
(2)∠DCE＝ (∠B－∠A)．
证明：∠DCE＝90°－∠CDE
＝90°－(∠A＋∠ACD )
＝90°－∠A＋ ∠ACB
＝90°－[∠A＋ ×(180°－∠A－∠B )]
＝90°－[∠A＋90°－ ∠A－ ∠B ]
＝ (∠B－∠A )．
小试牛刀
5 如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB 边上一点．求证：
(1)△ACE ≌ △BCD；
(2)2CD 2＝AD 2＋DB 2.
小试牛刀
(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
且∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD.
∴∠ACE＝∠BCD.
在△ACE 和△BCD 中，
AC＝BC，
∠ACE＝∠BCD，
CE＝CD，
∴△ACE ≌ △BCD (SAS)．
证明：
小试牛刀
(2)∵△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵△ACE ≌ △BCD，
∴AE＝BD，∠CAE＝∠B＝45°.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD 2＋AE 2＝DE 2.
又∵AE＝DB，DE 2＝CD 2＋CE 2＝2CD 2，
∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.
小试牛刀
6 如图，在四边形ABCD 中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求：
(1)AB 的长；
(2)四边形ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)如图，延长AD，BC 交于点E，
在Rt△ABE 中，∠A＝60°，∠B＝90°，
∴∠E＝30°.
在Rt△CDE 中，CD＝4，
∴CE＝2CD＝8.
∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14.设AB＝x，
则有AE＝2x，根据勾股定理得x 2＋142＝(2x )2，
解得x＝ ，则AB＝
解：
小试牛刀
(2)在Rt△CDE 中，∠CDE＝90°，
∴DE＝
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE
＝ AB BE－ CD DE
小试牛刀
7 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P 是△ABC 内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC 的度数．
小试牛刀
如图，将△CPB 绕点C 顺时针旋转90°，
得△CP′A，则P′C＝PC＝2，
P′A＝PB＝1，∠AP′C＝∠BPC.
连接PP ′，∵∠PCP ′＝90°，
∴∠CP′P＝∠CPP′＝45°，PP ′2＝22＋22＝8.
又P′A＝1，PA＝3，
∴PP′ 2＋P′A2＝8＋1＝9，PA 2＝9.∴PP′ 2＋P′A2＝PA2.
∴∠AP′P＝90°.又∠CP′P＝45°，
∴∠BPC＝∠AP′C＝135°.
解：
课堂小结
课堂小结
直角三角形角的关系：
定理　直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
课堂小结
(2)勾股定理及其逆定理：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
(3)互逆命题、互逆定理：
同学们，
下节课见！
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