【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.4角平分线 第一课时【优质课件】

(共50张PPT)
4.角平分线
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
新课精讲
探索新知
1
知识点
角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
A
B
O
P
C
D
E
探索新知
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB 的平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你
得到什么结论？在OC 上再取
几个点试一试.
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
探索新知
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP 平分∠AOB，
PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E，∴PD＝PE.
探索新知
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
探索新知
归 纳
定理　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
探索新知
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC上，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
例1
O
D
A
C
E
P
1
2
探索新知
∵PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2，OP＝OP
∴△PDO ≌ △PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
证明：
探索新知
例2
如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，点D 在BC 上， AD＝10，DE 丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE 的长.
A
B
C
E
F
D
探索新知
解：
∵DE丄AB，DF丄AC，垂足分分别为E，F，
且DE＝DF，
∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
典题精讲
1
如图，AD，AE 分别是△ABC 中∠A 的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：AD⊥AE.
C
D
B
A
E
F
典题精讲
2
如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C，D 分别在角的两边OA，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌ △POD 的选项是(　　)
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PD
D
典题精讲
如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO 平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB 垂直平分OP
D
典题精讲
4
如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P 到边OA 的距离是(　　)
A．2
B．3
C.
D．4
A
典题精讲
5
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB 交BC 于D，DE⊥AB 于E，若AB＝6 cm，则△DBE 的周长是(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
探索新知
2
知识点
角平分线的判定
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
O
D
E
P
P 到OA 的距离
P 到OB 的距离
角平分线上的点
A
C
B
探索新知
如图，由 于点 D ，
于点E，PD = PE ，可
以得到什么结论 ？
OB
PE
⊥
PD
⊥
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上.
探索新知
证明过程：
已知：如图，点P 为∠AOB 内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP 平分∠AOB.
O
D
A
C
E
P
1
2
B
探索新知
∵PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP 平分∠AOB.
证明：
探索新知
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴点P 在∠AOB 的平分线上(或∠AOC＝∠BOC )．
探索新知
如图，已知BE＝CF，DF⊥AC 于点F，DE⊥AB 于点E，BF 和CE 相交于点D.
求证：AD 平分∠BAC.
例3
导引：
要证AD 平分∠BAC，已知条件
中有两个垂直，即有点到角的
两边的距离，再证这两个距离
相等即可证明结论，证这两条
垂线段相等，可通过证明
△BDE 和△CDF 全等来完成．
探索新知
∵DF⊥AC 于点F，DE⊥AB 于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE 和△CDF 中，
∴△BDE ≌ △CDF (AAS)．
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC 于点F，DE⊥AB 于点E，
∴AD 平分∠BAC.
证明：
探索新知
总 结
判定角平分线有两步：
(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；
(2)证明两条垂线段相等．
典题精讲
1
如图，一目标在A 区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1：20 000).
如图，设公路、铁路的交点为O. 在A 区内作角的平分线OB，在OB上截取OC＝2.5 cm，则点C即为所求．
解：
典题精讲
2
如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P 是(　　)
A．线段CD 的中点
B．CD 与过点O 作CD 的垂线的交点
C．CD 与∠AOB 的平分线的交点
D．以上均不对
C
典题精讲
3
如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD 与BC 相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法确定
A
典题精讲
4
如图，在△ABC 中，与∠ABC，∠ACB 相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF 平分BC
B．AF 平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
易错提醒
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，BC 边上有一点E，连接DE，则AD 与DE 的数量关系为(　　)
A．AD>DE
B．AD＝DE
C．ADD．不确定
易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误
D
学以致用
小试牛刀
1
如图，AB∥CD，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点P，且与AB 垂直．若AD＝8，则点P 到BC 的距离是(　　)
A．8
B．6
C．4
D．2
C
小试牛刀
2
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC 于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD 的面积是(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
B
小试牛刀
3
如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC上一点，连接AD，E 为AD 上一点，EM⊥AB 于点M，EN⊥AC 于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN；④若EM＝EN，则∠AEM＝∠AEN. 其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
小试牛刀
4 如图，AD 平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AD＝2 ，∠DAC＝30°，求AC 的长．
小试牛刀
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
又∵BD＝CD，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL)．
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
(1)证明：
小试牛刀
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC 中，∵∠DAC＝30°，
∴DC＝ AC.
由AD 2＋DC 2＝AC 2，得(2 )2＋ AC 2＝AC 2，∴AC＝4.
(2)解：
小试牛刀
5 如图，DE⊥AB 交AB 的延长线于E，DF⊥AC 于F，若BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD 平分∠BAC；
(2)直接写出AB＋AC 与AE 之间的等量关系．
小试牛刀
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
BD＝CD，
BE＝CF，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL)．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴D 在∠BAC 的平分线上．
∴AD 平分∠BAC.
AB＋AC＝2AE.
(1)证明：
(2)解：
小试牛刀
6 (1)如图①，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE⊥AB 于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为_________________．
(2)若将(1)中的条件“在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“在△ABC 中，∠C＝2∠B ”，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想．
AB＝AC＋CD
小试牛刀
(2)(1)中的结论仍然成立．
证明如下：∵AD 是∠CAB 的平分线，
∴将△CAD 沿AD 折叠，点C 恰好落在AB 边上(设为点C ′)．
∴△ACD ≌ △AC′D.
∴AC＝AC ′，CD＝C′D，
∠AC′D＝∠C＝2∠B.
又∵∠AC′D＝∠C′DB＋∠B，
∴∠C′DB＝∠B.
∴C′D＝C′B.
∴AB＝AC ′＋C′B＝AC＋C′D，即AB＝AC＋CD.
解：
小试牛刀
7 如图，在四边形ABDC 中，∠D＝∠B＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC. 求证：
(1)CO 平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
小试牛刀
(1)如图，过点O 作OE⊥AC 于点E，
∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵点O 为BD 的中点，
∴OB＝OD.
∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO 平分∠ACD.
证明：
小试牛刀
(2)在Rt△ABO 和Rt△AEO 中，
AO＝AO，
OE＝OB，
∴Rt△ABO ≌ Rt△AEO (HL)．
∴∠AOB＝∠AOE＝ ∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝ ∠DOE.
∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，
∴∠AOC＝ ∠BOE＋ ∠DOE＝ ×180°＝90°.
∴OA⊥OC.
小试牛刀
(3)∵Rt△ABO ≌ Rt△AEO，
∴AB＝AE.
同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，
∴AB＋CD＝AC.
课堂小结
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
同学们，
下节课见！
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