【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第二课时【优质课件】

(共51张PPT)
1.等腰三角形
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
等腰三角形有哪些性质？
复
习
回
顾
1．等腰三角形的性质：等边对等角.
2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
探索新知
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 和CE 是△ABC的角平分线.
求证：BD = CE.
A
B
C
D
E
1
2
探索新知
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∠ ACB＝∠ ABC，BC=CB，∠1＝∠2，
∴△BDC ≌ △CEB (ASA).
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等）.
证明：
探索新知
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
导引：
先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明．
探索新知
解：
如图，在△ABC 中，AB＝AC，CE 和BD 分别是AB
和AC 上的中线，
求证：CE＝BD.
∵AB＝AC，CE 和BD 分别是AB
和AC 上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.
又∵BC＝CB，∴△BEC ≌ △CDB.
∴CE＝BD.
证明：
典题精讲
在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．BC 边上的高线和中线互相重合
B．AB 和AC 边上的中线相等
C．顶点B 处的角平分线和顶点C 处的角平分线相等
D．AB，BC 边上的高线相等
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE 的是(　　)
A．BD，CE 为AC，AB 边上的高
B．BD，CE 都为△ABC 的角平分线
C．∠ABD＝ ∠ABC，
∠ACE＝ ∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
D
典题精讲
若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，
则顶角的度数为(　　)
A．50° B．80°
C．100° D．130°
B
探索新知
2
知识点
等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？
2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形
的内角有什么特征呢
探索新知
归 纳
定理　　等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
探索新知
已知：如图, 在△ABC 中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
在△ABC 中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明：
A
B
C
探索新知
A
B
C
等边三角形的定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
探索新知
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形？
满足什么条件的三角形是等腰三角形？
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
探索新知
如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF 各个内角的度数．
例3
导引：
要计算出△DEF 各个内角的度
数，有两个途径，即证△DEF
为等边三角形或直接求各个角
的度数，由垂直的定义及等边
三角形的性质，显然直接求各
个角的度数较易．
探索新知
因为△ABC 是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF 各个内角的度数都是60°.
解：
探索新知
总 结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．
探索新知
如图，已知△ABC，△BDE 都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
例4
导引：
要证AE＝CD，可通过证AE，
CD 所在的两个三角形全等来
实现，即证△ABE ≌ △CBD，
条件可从等边三角形中去寻
找．
探索新知
∵△ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE 与△CBD 中，
∴△ABE ≌ △CBD (SAS)．
∴AE＝CD.
证明：
探索新知
总 结
运用等边三角形性质证明线段相等的方法：
把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．
典题精讲
1
求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解：
如图，在等边三角形ABC 中，CE，BF 分别是AB，AC 边上的中线，且CE 与BF 相交于点O，
则CE 垂直平分AB，BF 垂直平分AC，
在Rt△ABF 中，∵∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°.
在Rt△BEO 中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，
即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
典题精讲
2
如图，在△ABC 中，D，E 是BC 的三等分点，且△ADE 是等边三角形，求∠BAC 的度数.
解：
由题意易知，
BD＝DE＝AD，
∴∠DBA＝∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE
＝30°＋60°＋30°＝120°.
A
B
D
E
C
典题精讲
3
下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是(　　)
A．三条边相等
B．三个内角相等
C．有三条对称轴
D．是轴对称图形
D
典题精讲
4
下面关于等边三角形的说法正确的有(　　)
①三个角都相等；
②三条边都相等；
③是一种特殊的等腰三角形；
④是一种特殊的直角三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
典题精讲
5
已知AD 是等边三角形ABC 的高，且BD＝1 cm，那么BC 的长是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
B
6
已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为(　　)
A.　　 B.
C.　　 D．不能确定
B
典题精讲
7
如图，在等边三角形ABC 中，BD，CE 是两条中线，则∠1的度数为(　　)
A．90°
B．30°
C．120°
D．150°
C
易错提醒
已知△ABC 是等边三角形，设AB，BC，AC 边上的中线交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点I，AB，BC，AC 边上的高交于点H，则下列结论：①点G 与点I 一定重合；②点G 与点H一定重合；③点I 与点H 一定重合；④点G，点I 与点H 一定重合．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点：忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错
D
易错提醒
因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点G，点I 与点H 一定重合．
学以致用
小试牛刀
1
如图，等边三角形OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(　　)
A．(1，1)　
B．( ，1)　
C．( ， )　
D．(1， )
D
小试牛刀
如图，△ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，△ADE 是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
A
2
如图，l∥m，等边三角形ABC 的顶点B 在直线m上，边BC 与直线m 所夹角为20°，则∠α 的度数为(　　)
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
C
3
小试牛刀
小试牛刀
如图，在等边三角形ABC 中，BD＝CE，AD 与BE 相交于点P，则∠APE 的度数是(　　)
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
C
4
小试牛刀
如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．
(1)求证：△ABE ≌ △DCE；
(2)求∠AED 的度数．
小试牛刀
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△EBC 是等边三角形，
∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.
∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE 和△DCE 中，
AB＝CD，
∠EBA＝∠ECD，
EB＝EC.
∴△ABE ≌ △DCE.
(1)证明：
小试牛刀
由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°.
∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
(2)解：
小试牛刀
6 如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 到D，延长BA 到E，并且使AE＝BD，连接EC，ED.
求证：EC＝ED.
小试牛刀
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，AB＝BC.
如图，以BE 为边，∠B 为内角作等边三角形BEF.
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∴BE－AB＝BF－BC，即AE＝CF.
又∵AE＝BD，
∴BD＝CF.
∴BD－CD＝CF－CD，即BC＝DF.
证明：
小试牛刀
在△ECB 和△EDF 中，
EB＝EF，
∠B＝∠F＝60°，
BC＝FD，
∴△ECB ≌ △EDF (SAS)．
∴EC＝ED.
小试牛刀
7【操作发现】
(1)如图①，△ABC 为等边三角形，先将三角尺中的60°角与∠ACB 重合，再将三角尺绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)．旋转后三角尺的一直角边与AB 交于点D .在三角尺斜边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB 上取一点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.
①求∠EAF 的度数；
②DE 与EF 相等吗？请说明理由．
小试牛刀
【类比探究】
(2)如图②，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角尺的90°角与∠ACB 重合，再将三角尺绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)．旋转后三角尺的一直角边与AB 交于点D .在三角尺另一直角边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB 上取一点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果：
①∠EAF 的度数；
②线段AE，ED，DB 之
间的数量关系．
小试牛刀
(1)①由旋转的性质可知∠FCA＝∠DCB.
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝60°.
在△CFA 和△CDB 中，
AC＝CB，∠FCA＝∠DCB，CF＝CD，
∴△CFA ≌ △CDB.
∴∠FAC＝∠B＝60°.
∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝60°＋60°＝120°.
解：
小试牛刀
②DE＝EF .理由如下：
∵∠DCE＝30°，∠FCD＝60°，
∴∠FCE＝∠DCE＝30°.
在△FCE 和△DCE 中，
CF＝DC，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE，
∴△FCE ≌ △DCE.
∴DE＝EF.
(2)①∠EAF＝90°.
②DB 2＋AE 2＝ED 2.
课堂小结
课堂小结
1．等腰三角形的特殊性质：
(1)等腰三角形两底角的平分线相等；
(2)等腰三角形两腰上的高相等；
(3)等腰三角形两腰上的中线相等；
课堂小结
2．等边三角形的性质：
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分
别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长
度相等．
同学们，
下节课见！
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