【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第三课时【优质课件】

(共53张PPT)
1.等腰三角形
第3课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成
“等边对等角”) .
2、等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
既是性质又是判定
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形的判定
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探索新知
如图，在△ABC 中，∠B=∠C.
作△ABC 的角平分线AD.
在△BAD 和△CAD 中，
∠1 = ∠2，
∠B = ∠C ，
AD = AD，
∴△BAD ≌ △CAD (AAS).
∴ AB=AC.
A
B
D
C
1
2
探索新知
归 纳
由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”).
探索新知
1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角
形．(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC 中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即： ．
探索新知
例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD 与CA 相交于点E. 求证：△AED 是等腰三角形.
A
D
C
B
E
探索新知
∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD ≌ △DCA ( SSS ).
∴ ∠ADB＝DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE＝DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
证明：
探索新知
如图 ，在△ABC 中， P 是BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由．
导引：
要说明△ABC 为等腰三角形，由图
可知即要说明∠B＝∠C，而∠B，
∠C 分别在两个直角三角形中，因
此只要说明∠B，∠C 的余角
∠BQP，∠R 相等即可．
例2
探索新知
解：
△ABC 是等腰三角形．理由如下：
∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.
又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.
∵PR 是BC 的垂线，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.
在Rt△QPB 和Rt△RPC 中，∠B＋∠BQP＝90°，
∠C＋∠R＝90°，
∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.
探索新知
总 结
本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用．
典题精讲
1
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，过点D 作BC 的平分线，交AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由.
解：
△BDE 为等腰三角形．
理由如下：因为BD 平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC.
因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.
所以∠EBD＝∠EDB. 所以EB＝ED.
故△BDE 为等腰三角形．
A
E
D
C
B
典题精讲
2
在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
典题精讲
3
如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
D
典题精讲
4
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED 的周长为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
C
典题精讲
5
如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的高，CE 是AB 边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC 外一定是等腰三角形的是(　　)
A．△ABD　
B．△ACE
C．△OBC　
D．△OCD
C
典题精讲
6
已知△ABC 的三边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　)
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
B
探索新知
2
知识点
反证法
想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
探索新知
小明是这样想的：
如图，在△ABC 中，已 知∠B≠∠C，此时AB 与AC 要么相等，要么不相等.
假设AB＝AC 那么根据“等边对等
角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条
件∠B≠∠C 相矛盾，因此 AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗？　
A
B
C
探索新知
归 纳
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
探索新知
1．定义
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
2．利用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
探索新知
3．适宜用反证法证明的命题
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见
类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
探索新知
用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为__________________________________
_______．
导引：
反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就
是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结
论和命题结论的反面，问题即可解决．
例3
假设等腰三角形的两底角是直角
或钝角
探索新知
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C 中不能有两个角是直角.
例4
证明：
假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设
∠A 和∠B 是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是
直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
典题精讲
1
已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
解：
假设这五个数均小于 ，
不妨设
则有
即
这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于
典题精讲
2　用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(　　)
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
A
典题精讲
3
下列命题中，宜用反证法证明的是(　 　)
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
C
易错提醒
如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的高，求证：∠DAB 是一个锐角．
易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错
易错提醒
假设∠DAB 是一个直角或钝角，则∠DAB ≥90°，
∵AB＝AC，AD 是BC 边上的高，
∴∠DAC＝∠DAB ≥ 90°.
则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC ≥ 90°＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＋∠BAC >180°.
这与三角形内角和为180°矛盾，
∴∠DAB 是一个直角或钝角的假设不成立．
∴∠DAB 是一个锐角．
证明：
学以致用
小试牛刀
1
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30 n mile到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是(　　)
A．15 n mile
B．30 n mile
C．45 n mile
D．30 n mile
B
小试牛刀
2
在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　　)
B
小试牛刀
3
在平面直角坐标系中，已知A (2，2)，B (4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( 　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
B
小试牛刀
如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 是高，BD 与CE 相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC 的度数．
小试牛刀
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE 是△ABC 的两条高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
即∠DBC＋∠DCB＝∠ECB＋∠CBE＝90°.
∴∠DBC＝∠ECB.
∴OB＝OC.
（1）证明：
小试牛刀
∵∠CEB＝90°，∠ABC＝50°，
∴∠BCE＝180°－90°－50°＝40°.
∴∠DBC＝40°.
∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°.
（2）解：
小试牛刀
5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 边的中点，F 为CA 的延长线上一点，过点F 作FG⊥BC 于G 点，并交AB 于E 点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD∥FG；
(2)△AEF 为等腰三角形．
小试牛刀
(1)∵AB＝AC，D 是BC 的中点，∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC，∴AD∥FG.
(2)∵AB＝AC，D 是BC 的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.
∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE，即△AEF 为等腰三角形．
解：
小试牛刀
6 如图，在△ABC 中，AB＝AC，EF 交AB 于点E，交AC的延长线于点F，交BC 于点D，且BE＝CF.
求证：DE＝DF.
小试牛刀
如图，过点E 作EG∥AC 交BC 于点G，
∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B (等边对等角)．
∴∠B＝∠EGB.
∴BE＝EG (等角对等边)．
∵BE＝CF，∴EG＝CF.
证明：
小试牛刀
在△EGD 和△FCD 中，
∠EDG＝∠FDC，
∠DEG＝∠F，
EG＝FC，
∴△EGD ≌ △FCD (AAS)．
∴DE＝DF.
小试牛刀
7 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BE 平分∠ABC 交AC 于点E.
(1)若∠A＝100°，求证：BC＝BE＋AE.
(2)探究：若∠A＝108°，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
小试牛刀
在BC 上截取BD＝BE，连接DE (如图)．
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝20°.
又∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.
又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，
∴∠CED＝40°＝∠C. ∴DE＝DC.
（1）证明：
小试牛刀
过点E 分别作EM⊥BA 交BA 的延长线于点M，EN⊥BC 于点N.
∴∠BME＝∠BNE＝90°.
又∵∠MBE＝∠NBE，BE＝BE，
∴△BME ≌ △BNE.
∴EM＝EN.
∵∠BAC＝100°，
∴∠CAM＝180°－100°＝80°.
小试牛刀
在Rt△EMA 和Rt△END 中，
∠EAM＝∠EDN＝80°，
∠AME＝∠DNE＝90°，
EM＝EN，
∴Rt△EMA ≌ Rt△END (AAS)．
∴EA＝ED.
又∵DE＝DC，∴EA＝DC.
∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.
小试牛刀
BC＝CE＋AB.
理由如下：在CB上截取CP＝CE，连接PE (如图)．
∵AB＝AC，∠A＝108°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠BPE＝180°－72°＝108°.
∴∠BPE＝∠A.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠PBE.
（2）解：
小试牛刀
在△ABE 和△PBE 中，
∠A＝∠BPE，
∠ABE＝∠PBE，
BE＝BE，
∴△ABE ≌ △PBE (AAS)．
∴AB＝PB.
∴BC＝CP＋PB＝CE＋AB.
课堂小结
课堂小结
1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前
提是在同一个三角形内．
2．利用反证法解题的一般步骤：
(1)假设；
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定
理、公理等相矛盾的结果；
(3)结论：肯定命题结论正确.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）