【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第四课时【优质课件】

(共52张PPT)
1.等腰三角形
第4课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
等边三角形有哪些性质？
复
习
回
顾
情景导入
归 　纳
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别
为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
新课精讲
探索新知
1
知识点
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
探索新知
总 结
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
探索新知
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2．应用注意事项：
判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．
探索新知
如图，在等边三角形ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O，OB，OC 的垂直平分线分别交BC 于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF 是等边三角形．
例1
导引：
从题中条件看，利用三角
形的外角性质易求∠OEF
＝∠OFE＝60°，从而证
明△OEF 是等边三角形．
探索新知
∵E，F 分别是线段OB，OC 的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF 是等边三角形．
证明：
探索新知
总 结
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
典题精讲
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
C
典题精讲
2
如图，△ABC 是等边三角形，D，E，F 为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
典题精讲
下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ 　　　 B．①②④
C．①③ 　　　 　D．①②③④
D
典题精讲
4　如图，∠AOB＝120°，OP 平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，N 分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有(　　)
A．1个 　
B．2个
C．3个
D．3个以上
D
探索新知
2
知识点
含30°角的直角三角形的性质
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
探索新知
归 纳
定理　　
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
探索新知
已知：如图 (1)， △ABC 是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°求证： BC＝　 AB.
A
B
C
(1)
探索新知
证明：
如图(2)，延长BC 至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC，
∴△ABC ≌ △ADC ( SAS ).
∴AB＝AD (全等三角形的对应
边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
A
B
C
(2)
D
探索新知
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．
探索新知
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC， ∠B＝15°，CD 是腰AB 上的高.求证：CD＝　 AB
例2
A
B
C
D
探索新知
在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD 是腰AB 上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
证明：
探索新知
例3
如图，在等边三角形ABC 中，点D，E 分别在边BC，AC 上，DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F.
(1)求∠F 的度数；
(2)若CD＝2，求DF 的长．
导引：
(1)根据平行线的性质可得
∠EDC＝∠B＝60°，
根据三角形内角和定理
即可求解；
(2)易证△EDC 是等边三角形，再根据直角三角形
的性质即可求解．
探索新知
(1)∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC 是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
解：
探索新知
总 结
利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：
一是含30°的角；
二是直角三角形．
根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间
的关系．
典题精讲
1
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC 的高，且BD＝1，求AD 的长.
因为CD 是△ABC 的高，
所以∠BDC＝90°.
又因为∠B＝60°，
所以∠BCD＝30°. 所以BC＝2BD＝2.
在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
所以∠A＝30°. 所以AB＝2BC＝4.
所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.
解：
A
B
C
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)
A．6
B．
C．
D．12
A
典题精讲
3　如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
典题精讲
如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC 交BC 的延长线于点D，则AD 的长为(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
C
4
易错提醒
已知∠AOB＝30°，点P 在∠AOB 内部，P1与P 关于OB 对称，P2与P 关于OA 对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错
D
易错提醒
如图，连接PO.
∵点P1与P 关于OB 对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB )＝60°.
∴△OP1P2 为等边三角形．
易错提醒
本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．
学以致用
小试牛刀
1　 如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为(　　)
A．34 cm
B．32 cm
C．30 cm
D．28 cm
C
小试牛刀
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长是8 m，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是(　　)
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6
B
2
小试牛刀
已知等边三角形ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过D作DE⊥AC 于点E，过E 作EF⊥BC 于点F，过F 作FG⊥AB 于点G.当G 与D 重合时，AD 的长是(　　)
A．3 B．4
C．8 D．9
C
3
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D 为EC 的中点．
(1)求∠CAE 的度数；
(2)求证：△ADE 是等边三角形．
小试牛刀
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ ×(180°－120°)＝30°.
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
(1)解：
小试牛刀
∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，
∴AE＝ EC.
又∵D 为EC 的中点，
∴ED＝ EC.
∴AE＝ED.
又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
(2)证明：
小试牛刀
5 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 ，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
(1)线段DC＝________；
(2)求线段DB 的长度．
4
小试牛刀
(2)如图，过点D 作DE⊥BC 于E，
易得△ADC 是等边三角形，
∴∠ACD＝60°.
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°.∴∠DCB＝30°.
∴DE＝ CD＝2. ∴CE＝2
∵BC＝3 ∴BE＝
在Rt△BDE 中，DB＝
解：
小试牛刀
6 如图，△ABC 为等边三角形，AE＝CD，AD，BE 相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD 的长．
小试牛刀
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝CA，
∠BAE＝∠C＝60°.
又∵AE＝CD，
∴△ABE ≌ △CAD.
∴BE＝AD.
(1)证明：
小试牛刀
由(1)知△ABE ≌ △CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD
＝∠BAC＝60°.
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.
∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.
∴AD＝7.
(2)解：
小试牛刀
7 问题背景：
如图①，在正方形ABCD 的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌ △ABF ≌ △BCG ≌ △CDH，从而得到四边形EFGH 是正方形．
小试牛刀
类比探究
如图②，在正三角形ABC 的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF 两两相交于D，E，F 三点(D，E，F 三点不重合)
(1)△ABD，△BCE，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
(2)△DEF 是否为正三角形？请说明理由．
小试牛刀
(1)△ABD ≌ △BCE ≌ △CAF.
选择△ABD ≌ △BCE 进行证明(也可以选择△ABD ≌ △CAF 或△BCE ≌ △CAF 进行证明)．
∵△ABC 是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.
∵∠ABD＝∠ABC－∠2，
∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3，
∴∠ABD＝∠BCE.
解：
小试牛刀
在△ABD 和△BCE 中，
∠1＝∠2，
AB＝BC，
∠ABD＝∠BCE，
∴△ABD ≌ △BCE (ASA)．
(2)△DEF 是正三角形．理由如下：
∵△ABD ≌ △BCE ≌ △CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.
∴△DEF 是正三角形．
课堂小结
课堂小结
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
同学们，
下节课见！
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