【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.3线段的垂直平分线 第一课时【优质课件】

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3.线段的垂直平分线
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
线段垂直平分线的性质
探究
如图，直线l 垂直平分线段
AB，P1， P2 ，P3，……是l 上的点，请你猜想点P1，P2 ， P3， …到点
A 与点B 的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
探索新知
可以发现，点 P1，P2，P3…到点A 的距离与它们到点B 的距离分别相等.如果把线段AB 沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A 与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
探索新知
归 纳
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.
探索新知
如图，直线l ⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P 在l 上.求 证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
∠PCA=∠PCB.
又 AC=CB，PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
A
B
P
C
l
探索新知
归 纳
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
探索新知
已知：如图，直线MN⊥AB 垂足为C，且AC＝BC，P是MN 上的任意一点.
求证：PA＝PB
∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
证明：
A
B
P
M
N
探索新知
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等；
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P 在l 上，则
AP＝BP.
2．作用：可用来证明两线段相等．
探索新知
如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　　　　　　　　　
B．AC 平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC ≌ △DEC
例1
C
探索新知
导引：
根据线段垂直平分线的性质得出AB 与AD 的关系，
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC 垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD.
又∵AC＝AC，
∴△ABC ≌ △ADC.
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
又∵BC＝DC，CE＝CE，
∴△BEC ≌ △DEC.
∴选项A，B，D正确．
探索新知
总　结
平面几何图形问题的解决方法：
分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定，然后再根据具体图形的性质作出判定即可．
探索新知
如图，在△ABC 中，AC＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB，AC 于点E，D.
(1)若△BCD 的周长为8，求BC 的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD 的周长．
导引：
由DE 是AB 的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD 与CD 的长度和等于AC 的长，所以由△BCD 的周长可求BC 的长，同样由BC 的长也可求△BCD 的周长．
例2
探索新知
解：
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD 的周长为8，
∴BC＝△BCD 的周长－(BD＋CD )＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD 的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
探索新知
总 结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD 的长转化成AD 的长，从而把未知的BD 与CD 的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC 的长、BC 的长及△BCD 的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
探索新知
如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC 的垂直平分线MN与AB 交于点D，与AC 交于点E，则∠BCD＝________．
导引：
例3
在△ABC 中，∵∠B＝90°，
∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°.
∵MN 是线段AC 的垂直平分线，
∴DC＝DA.
∴∠DCE＝∠A＝40°.
∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA
＝50°－40°＝10°.
10°
探索新知
总 结
利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再利用等边对等角确定∠DCA 的度数，根据角度差解决问题．
典题精讲
1
已知：如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，E，F 是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：
因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
在△ECF 和△EDF 中，
所以△ECF ≌ △EDF (SSS)．
所以∠ECF＝∠EDF.
A
B
E
D
C
典题精讲
2
如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E 在同一直线上，则AB＋BD 与DE 的关系是(　　)
A．AB＋DB＞DE
B．AB＋DB＜DE
C．AB＋DB＝DE
D．不能确定
C
典题精讲
3
如图，在四边形ABDC 中，∠A＝110°，若点D 在AB，AC的垂直平分线上，则∠BDC 为(　　)
A．90°　
B．110°
C．120°　
D．140°
D
典题精讲
4
如图，已知△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE 是AC的垂直平分线，DE 交AB 于点D，连接CD，则CD 等于(　　)
A．3
B．4
C．4.8
D．5
D
探索新知
2
知识点
线段垂直平分线的判定
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是，请你加以证明.
探索新知
归 纳
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上
探索新知
1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上．
2．条件：点到线段两端点距离相等；
3．结论：点在线段垂直平分线上．
4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P 在线段AB 的垂
直平分线上．
5．作用：
①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
探索新知
已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC 是△ABC 内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO 垂直平分线段BC.
例4
A
B
C
O
探索新知
证明：
∵ AB＝AC，
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.
∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
典题精讲
1
如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB 垂直平分CD
B．CD 垂直平分AB
C．AB 与CD 互相垂直平分
D．以上都不正确
A
典题精讲
2
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)
A．三条高的交点　　
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点　
D．三条边的垂直平分线的交点
D
典题精讲
3
如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC＝BD＋AD，则点D 在线段(　　)的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
B
易错提醒
在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
易错点：运用线段垂直平分线的性质解题时，考虑问题不全面
70°或20°
易错提醒
分情况讨论：如果△ABC 是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC 是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.
学以致用
小试牛刀
1
如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D，则∠CBD 的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．50°
D．75°
B
小试牛刀
2
如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则△ACE 的周长为(　　)
A．16
B．15
C．14
D．13
A
小试牛刀
3
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD 相交于点O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③∠DAC＝∠CBD；④点O 在线段AB 的垂直平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③　
B．②③④
C．①③④　
D．①②③④
D
小试牛刀
4 如图，已知△ABE 中，AB，AE 边上的垂直平分线m1，m2分别交BE 于点C，D，且BC＝CD＝DE.
(1)求证：△ACD 是等边三角形；
(2)求∠BAE 的度数．
小试牛刀
∵直线m1，m2分别是AB，AE 的垂直平分线，
∴BC＝AC，ED＝AD.
又∵BC＝CD＝DE，
∴AC＝CD＝AD.
∴△ACD 是等边三角形．
(1)证明：
小试牛刀
∵△ACD 是等边三角形，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°.
又∵∠ACD＝∠B＋∠BAC＝60°，BC＝AC，
∴∠B＝∠BAC＝30°.
同理∠EAD＝30°.　
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＋∠EAD
＝30°＋60°＋30°＝120°.
(2)解：
小试牛刀
5 如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.
(1)八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD 的对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；
(2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，
b 的式子表示四边形ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)同意．理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上．
∵CB＝CD，
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上．
∴AC 为线段BD 的垂直平分线，
即BE＝ED，AC⊥BD.
解：
小试牛刀
(2)由(1)得AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝S△CBD＋S△ABD
＝ BD CE＋ BD AE
＝ BD (CE＋AE )
＝ BD AC
＝ ab.
小试牛刀
6 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F.
(1)求证：CF＝AD；
(2)若AD＝2，AB＝8，当BC 的长为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上？为什么？
小试牛刀
∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE.
∵E 为CD 的中点，∴CE＝DE.
在△FEC 与△AED 中，
∠FEC＝∠AED，
CE＝DE，
∠ECF＝∠EDA，
∴△FEC ≌ △AED (ASA)．
∴CF＝AD.
(1)证明：
小试牛刀
当BC＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上．理由：
∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，
∴AB＝BC＋AD.
又∵CF＝AD，BC＋CF＝BF，
∴AB＝BF.
∴点B 在线段AF 的垂直平分线上．
(2)解：
小试牛刀
7 如图①，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于点N，交BC 的延长线于点M，∠A＝40°.
(1)求∠BMN 的度数．
(2)若∠A＝70°，如图②，其余条件不变，求∠BMN 的度数．
(3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律．
(4)若∠A为钝角，如图③，其余条件不变，你发现的规律是否需要修改(不需说明理由)？
小试牛刀
(1)连接AM.
在△ABC 中，∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°.
∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴BM＝AM，∠BMN＝ ∠BMA.
∴∠BAM＝∠B＝70°.
∴∠BMN＝ ×(180°－∠B－∠BAM )
＝ ×(180°－70°－70°)
＝20°.
解：
小试牛刀
(2)∠BMN＝35°.(解法同(1))
(3)∠BMN＝ ∠BAC.
证明：连接AM.
在△ABC 中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝ (180°－∠BAC )．
∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴BM＝AM，∠BMN＝ ∠BMA.
∴∠B＝∠BAM＝∠ACB.∴∠BMA＝∠BAC.
∴∠BMN＝ ∠BMA＝ ∠BAC.
(4)不需要修改．
课堂小结
课堂小结
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点
距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的
垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离
相等的所有点的集合.
同学们，
下节课见！
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