【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第一课时【优质课件】

(共52张PPT)
1.等腰三角形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
活动：实践观察，认识三角形
D
A
C
B
得到这个△ABC 中 AB 和AC 有什么关系？
新课精讲
探索新知
1
知识点
全等三角形的性质和判定
问 题
全等三角形的定义是什么？
探索新知
1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
2.全等三角形的判定方法：
（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.
（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
探索新知
利用全等三角形的判定方法，当∠D ＝∠B 时，
两个三角形符合“边角边”，△ADF ≌ △CBE．
导引：
例1 如图，点E，F 在AC 上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF ≌ △CBE，还需要添加的一个条件是( )
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
B
探索新知
总 结
此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
典题精讲
如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：________________________________________________，使得△ABC ≌ △DEC.
1
DE＝AB 或∠ACB＝∠DCE 或∠ACD＝∠BCE
典题精讲
如图，点B，F，C，E 在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌ △DEF 的是(　　)
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝EC
2
C
典题精讲
如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则△ABE 的面积为(　　)
A. B.
C. D.
3
D
探索新知
2
知识点
等腰三角形的边、角性质
1．等腰三角形的相关概念回顾：
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
探索新知
2．议一议
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
探索新知
归 纳
定理 等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
探索新知
例2 已知：如图1-1，在△ABC 中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
分析：我们曾经利用折叠的方法说明
了这两个底角相等(如图1-2).实际
上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等三角形.这启发我们，可以
作一条辅助线，把原三角形分成
两个全等的三角形，从而证明这
两个底角相等.
图1-2
A
B
C
图1-1
探索新知
证明：如图1-3，取BC 的中点D，连接 AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD ≌ △ACD ( SSS ).
∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等）.
A
B
C
图1-3
D
性质：等腰三角形的两底角相等
(简写成“等边对等角”)．
探索新知
例3 (1)在△ABC 中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三
角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质
求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两
种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
探索新知
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角
为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角
为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 若底角为
90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形
内角和定理．因此顶角为90°.
探索新知
总 结
1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理．
2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．
典题精讲
1
在△ABC 中，AB＝AC .
(1)若∠A＝50°，则∠C 等于多少度？
(1)在△ABC 中，因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为∠A＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以2∠C＝180°－∠A＝140°.
所以∠C＝70°.
解：
典题精讲
(2)若∠B＝72°，则∠A 等于多少度？
(2)因为∠B＝72°，
所以由(1)可知：
∠A＝180°－2∠B
＝180°－2×72°
＝36°.
解：
典题精讲
2
如图，在△ABD 中，AC⊥BD ，垂足为C，AC＝BC＝CD.
(1)求证：△ABD 是等腰三角形；
(1)在△ACB 和△ACD 中，
所以△ACB ≌ △ACD (SAS)．
所以AB＝AD (全等三角形的对应边相等)．
所以△ABD 是等腰三角形．
证明：
A
B
C
D
典题精讲
(2)求∠BAD 的度数.
因为AC＝BC，
所以∠B＝∠BAC.
因为∠ACB＝90°，
所以∠BAC＝45°.
同理∠DAC＝45°，
所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC
＝45°＋45°＝90°.
解：
典题精讲
3
如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D，E 分别在边BC 和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是(　　)
A．∠ADB＝∠ACB＋∠CAD
B．∠ADE＝∠AED
C．∠CDE＝ ∠BAD
D．∠AED＝2∠ECD
D
探索新知
3
知识点
等腰三角形的“三线合一”
想一想
在图1 -3中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论
A
B
C
图1-3
D
探索新知
归 纳
推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
探索新知
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，∠ABC的平分线BG 交AC 于点G，交AD 于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C 的度数；
(2)求证：EF＝ED.
∵AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠BAC )
＝ (180°－50°)＝65°.
例4
(1)解：
探索新知
(2)求证：EF ＝ ED.
　证明：∵AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG 平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
典题精讲
1
如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
典题精讲
2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 边的中点，点E 在AD 上，那么下列结论不一定正确的是(　　)
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
D
典题精讲
3
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有(　　)
①DA 平分∠EDF；②△EBD ≌ △FCD；
③BD＝CD；④AD⊥BC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
易错提醒
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三角形的一个底角的度数为(　　)
A．40°　 　 B．55°
C．70°　　 D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
D
易错提醒
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解．
学以致用
小试牛刀
1
如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D，E 在BC 上，连接AD，AE，若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(　　)
A．BD＝CE　
B．AD＝AE
C．DA＝DE　
D．BE＝CD
C
小试牛刀
2
如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC
D．∠EBC＝∠ABE
C
小试牛刀
3 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.
(1)求证：△AEC ≌ △BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．
小试牛刀
∵AE 和BD 相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.
∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.
∴∠AEC＝∠BED.
在△AEC 和△BED 中，
∠A＝∠B，
AE＝BE，
∠AEC＝∠BED，
∴△AEC ≌ △BED (ASA)．
(1)证明：
小试牛刀
∵△AEC ≌ △BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC 中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°.
∴∠BDE＝∠C＝69°.
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF ≌ △CEB；
(2)AF ＝ 2CD.
小试牛刀
∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠EAF＝∠ECB.
在△AEF 和△CEB 中，
∠AEF＝∠CEB，
AE＝CE，
∠EAF＝∠ECB，
∴△AEF ≌△CEB (ASA)．
(1)证明：
小试牛刀
∵△AEF ≌ △CEB，
∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD.
∴BC＝2CD.∴AF＝2CD.
(2)解：
小试牛刀
如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A，D，E 在同一直线上，连接BE. 若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠AEB 的度数．
小试牛刀
∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.
∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC.
在△ACD 和△BCE 中，
AC＝BC，
∠ACD＝∠BCE，
DC＝EC，
∴△ACD ≌ △BCE(SAS)．∴AD＝BE.
(1)证明：
小试牛刀
∵△ACD ≌ △BCE，
∴∠ADC＝∠BEC.
∵点A，D，E 在同一直线上，
且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°.
∴∠BEC＝130°.
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.
(2)解：
小试牛刀
6 如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，点D，E 分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由．
(2)求证：过点A，F 的直线垂直平分线段BC.
小试牛刀
∠ABE＝∠ACD.
理由如下：
∵AB＝AC，∠BAE＝∠DAC，AD＝AE，
∴△ABE ≌ △ACD.
∴∠ABE＝∠ACD.
（1）解：
小试牛刀
连接AF，并延长交BC 于G.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB.
∴FB＝FC.
又∵∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABF ≌ △ACF (SAS)．
∴∠BAG＝∠CAG.
∴过点A，F 的直线垂直平分线段BC.
(2)证明：
课堂小结
课堂小结
1．知识方面：
（1）等腰三角形的性质：等边对等角.
（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线
互相重合.
2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是
证明角相等、边相等的重要方法.
同学们，
下节课见！
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