【班海精品】北师大版（新）八年级下-1.2直角三角形 第二课时【优质课件】

(共47张PPT)
2.直角三角形
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边
问题　任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C ′，使∠C ′=90°，B′C ′=BC，A′B ′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C ′剪下来放到Rt△ABC 上，你发现了什么？
探索新知
A
B
C
(1)画∠MC′N =90°；
(2)在射线C′M上取B′C ′=BC；
(3)以B ′为圆心，AB 为半径画弧，
交射线C′ N 于点A′；
(4)连接A′B ′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
A′
N
M
C′
B′
探索新知
由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、 直角边”或“HL”).
归 纳
探索新知
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在 △ABC 与△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，
求证： △ABC ≌ △A′B′C′
A
B
C
A’
B’
C’
探索新知
在△ABC 中，
∵∠C＝ 90°,
∴BC 2＝ AB 2－AC 2 (勾股定理).
同理， B′C′ 2＝A′B′ 2－A′C′ 2.
∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′．
∴ △ABC ≌ △A′B′C′ (SSS).
证明：
探索新知
1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简
写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2．(1)书写格式：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B ′C ′中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B ′C ′.
(2)注意点：书写时必须强调直
角三角形．
探索新知
如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
例1
探索新知
根据题意，可知
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△BAC ≌ Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°
解：
探索新知
如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE＝CF.
求证： Rt△ABE ≌ Rt△CBF.
导引：
根据AB＝CB，∠ABE＝
∠CBF＝90°，AE＝CF，
可利用“HL”证明
Rt△ABE ≌ Rt△CBF.
例2
探索新知
证明：
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE ≌ Rt△CBF (HL)．
探索新知
应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，
两个三角形符号前要加上“Rt”．
总 结
典题精讲
1
如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
两个木桩离旗杆底部的距离相等．
理由如下：在Rt△ABO 和Rt△ACO 中，
所以Rt△ABO ≌ Rt△ACO (HL)．
所以BO＝CO.
故两个木桩离旗杆底部的距离相等．
解：
典题精讲
2
如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是(　　)
A．AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
A
典题精讲
3
下列可使两个直角三角形全等的条件是(　　)
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两条边对应相等
D
典题精讲
4
如图，OD⊥AB 于D，OP⊥AC 于P，且OD＝OP，则△AOD 与△AOP 全等的理由是(　　)
A．SSS　　　
B．ASA
C．SSA　　　
D．HL
D
探索新知
2
知识点
直角三角形全等的综合判定
直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS” “ASA”和“AAS”， 有可以用 “HL”.
探索新知
如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD ≌ △ACE (不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是_________________________________
_________________________．
导引：
本题给出∠B＝∠C，再加上公共角
∠A，有两个条件满足全等，根据全
等三角形的判定方法，有两个角全等
的判定方法有AAS，ASA，只要添加
其中任意一个角的对边相等即可，即AB＝AC 或AD＝
AE 或BD＝CE；如果从已知给定的全等条件中，通过添
加另外一个条件能够得到AB＝AC 或AD＝AE 或BD＝CE 中任意一个条件也可以，即BE＝CD.
例3
AB＝AC 或AD＝AE 或BD＝CE 或
BE＝CD (写出一个即可)
探索新知
证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：
总 结
(4)已知一边及其对角，只能找任意一角．
典题精讲
1
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相
等的两个直角三角形全等.
典题精讲
(1)假．理由：如图，
在Rt△ABC 和Rt△AB′C ′中，
∠A＝∠A，∠AB′C ′＝∠ABC，
但Rt△ABC 与Rt△AB′C ′不全等．
(2)真．理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件．
(3)真．理由：因为该命题满足“SAS”公理的条件．
(4)真．先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半
相等，也即该直角边相等，再根据“SAS”公理可
判定两个三角形全等．
解：
典题精讲
下列条件中，利用基本尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是(　　)
A．已知斜边和一锐角
B．已知一锐角和它所对的直角边
C．已知斜边和一直角边
D．已知两个锐角
D
2
典题精讲
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为BC 的中点，以下结论：①△ABD ≌ △ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD 是△ABC的角平分线．其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
3
典题精讲
如图，P，Q 分别是BC，AC上的点，过点P 作PR⊥AB 于R 点，作PS⊥AC 于S 点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP ≌ △CSP. 正确的是(　　)
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
C
4
易错提醒
如图，AD，BC 相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
(1)求证：△ACB ≌ △BDA；
(2)若∠ABC＝35°，
则∠CAO＝________.
易错点：用“斜边、直角边”证明全等时不指出是直角三角形导致出错
20°
易错提醒
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB 和△BDA 都是直角三角形．
在Rt△ACB 和Rt△BDA 中，
BC＝AD，
AB＝BA，
∴Rt△ACB ≌ Rt△BDA.
(1)证明：
学以致用
小试牛刀
1
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，ED⊥AB 于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE 等于(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
C
小试牛刀
2
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC 全等的是(　　)
A
小试牛刀
3 如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE ≌ Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF 的度数．
小试牛刀
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE ≌ Rt△CBF (HL)．
(1)证明：
小试牛刀
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE ≌ Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E.
求证：DE＝AD＋BE.
小试牛刀
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°.
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
∴∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠BCE＝∠CAD.
在△ADC 和△CEB 中，
∵∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝CB，
∴△ADC ≌ △CEB (AAS)．
∴AD＝CE，DC＝EB.
又∵DE＝CE＋DC，∴DE＝AD＋BE.
证明：
小试牛刀
5 如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD.
求证：F 是CD 的中点．
小试牛刀
如图，连接AC，AD.在△ABC 和△AED 中，
AB＝AE，
∠B＝∠E，
BC＝ED，
∴△ABC ≌ △AED (SAS)．
∴AC＝AD.
又∵AF⊥CD，
∴CF＝DF.
即F 为CD 的中点．
证明：
小试牛刀
6 感知：如图①，AD 平分∠BAC. ∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC.
探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.
应用：如图③，在四边形ABDC 中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a 的代数式表示)
小试牛刀
如图，过点D 作DE⊥AB 于E，
DF⊥AC 交AC 的延长线于F.
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DAC＝∠DAB，∠F＝∠AED＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AFD ≌ △AED.
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
证明：
小试牛刀
在△DFC 和△DEB 中，
∠F＝∠DEB＝90°，
∠FCD＝∠B，
DF＝DE，
∴△DFC ≌ △DEB.
∴DC＝DB.
课堂小结
课堂小结
1．直角三角形的判定方法：
边边边、边角边、角边角、角角边、
斜边、直角边.
课堂小结
2. 判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，
用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）