【班海精品】北师大版（新）八年级下-6.2平行四边形的判定 第二课时【优质课件】

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2.平行四边形的判定
第2课时
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目录
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课堂小结
课前导入
情景导入
平行四边形的判定方法有哪些？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
由对角线互相平分判定平行四边形
前面我们已经得到了平行四边形的两个判定方法，你还
能找到其他的判定方法吗？
你同意他的想法吗？你能证明他的猜想吗？请你试一试.
如图，将两根木条AC，BD
的中点重叠，并用钉子固定，
四边形ABCD 看起来是平行四
边形. 于是我猜想：对角线互
相平分的四边形是平行四边形.
探索新知
定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归 纳
探索新知
例1
已知：如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
∵OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝∠COB.
∴△AOD ≌ △COB.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形).
证明：
探索新知
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：
如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
探索新知
例2
已知：如图(1)，E，F 是 ABCD 对角线AC 上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE 是平行四边形.
探索新知
证明：
如图(2)，连接BD，交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD (平行
四边形的对角线互相平分).
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的
四边形是平行四边形）.
典题精讲
如图，在 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，点E，F 分别是OA 和OC 的中点，四边形BFDE 是平行四边形吗？
请说明理由.
1
四边形BFDE 是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵E，F 分别是OA 和OC 的中点，
∴OE＝OF. ∴四边形BFDE 是平行四边形．
解：
B
C
D
典题精讲
如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件_______________________(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．
2
BO＝DO (答案不唯一)
典题精讲
如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是(　　)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
3
C
探索新知
2
知识点
平行四边形判定方法的综合应用
平行四边形的判定方法：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探索新知
例3
如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB.给出以下结论：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝∠2成立，并给出证明．
导引：
欲证明∠1＝∠2，只需证得
四边形EDFB 是平行四边形
或△ABF ≌ △CDE 即可．
探索新知
(1)补充条件①BE∥DF.
证明：∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA. ∴∠BEA＝∠DFC.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE 与△CDF 中，
∴△ABE ≌ △CDF (AAS)．
∴BE＝DF. ∴四边形BFDE 是平行四边形．
∴ED∥BF. ∴∠1＝∠2.
解：
探索新知
(2)补充条件③AE＝CF.
证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAF＝∠DCE.
在△ABF 与△CDE 中，
∴△ABF ≌ △CDE (SAS)．
∴∠1＝∠2.
典题精讲
如图，在 ABCD 中，∠ABC＝70°，∠ABC 的平分线交AD 于点E，过点D 作BE 的平行线交BC 于点F，求∠CDF 的度数.
1
A
B
C
D
E
F
典题精讲
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC.
∴ED∥BF. 又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴∠EBF＝∠FDE.
∵∠ABC＝70°，BE 平分∠ABC，
∴∠EBF＝ ∠ABC＝35°.∴∠FDE＝35°.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADC－∠FDE＝35°.
解：
典题精讲
2　下列说法错误的是(　　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
典题精讲
3　在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝OC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．
其中正确的说法是(　　)
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
C
典题精讲
4　在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列4组条件：
①AB∥CD，AD∥BC； ②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(　　)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
C
易错提醒
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F 是对角线AC 上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
易错点：混淆平行四边形的判定方法致判断错误
B
易错提醒
给出条件①OE＝OF，
由四边形ABCD 是平行四边形，可得OD＝OB.
又∵OE＝OF，∴四边形DEBF 为平行四边形．
故③正确．故①正确．故③正确．
给出条件③∠ADE＝∠CBF，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.
又∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE ≌ △CBF.
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB.
易错提醒
∴∠DEO＝∠BFO.∴DE∥BF.
∴四边形DEBF 为平行四边形．故③正确．
给出条件④∠ABE＝∠CDF，理由同③，亦可判定四边形DEBF 为平行四边形．故④正确．只有给出条件②无法判定四边形DEBF 为平行四边形．故选B.本题易错选A.将DE＝BF 作为条件判定三角形全等，从而推出四边形DEBF 为平行四边形．
学以致用
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 是对角线AC 上的两点，当点E，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形(　　)
A．OE＝OF
B．DF＝BE
C．AE＝CF
D．∠AEB＝∠CFD
1
B
小试牛刀
如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD 的面积为(　　)
A．6
B．12
C．20
D．24
2
D
小试牛刀
3 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E 是BC 的中点，AE 交DC 的延长线于点F. 试判断四边形ABFC 的形状，并说明理由．
小试牛刀
四边形ABFC 是平行四边形．理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE.
∵E 是BC 的中点，∴BE＝CE.
在△ABE 和△FCE 中，
∠BAE＝∠CFE，
∠AEB＝∠FEC，
BE＝CE，
∴△ABE ≌ △FCE (AAS)．∴AE＝FE.
又∵BE＝CE，∴四边形ABFC 是平行四边形．
解：
小试牛刀
4 如图，在 ABCD 中，点E，F 在对角线AC 上，且AE＝CF.求证：
(1)DE＝BF；
(2)四边形DEBF 是平行四边形．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB. ∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE 和△CBF 中，
AD＝CB，
∠DAE＝∠BCF，
AE＝CF，
∴△ADE ≌ △CBF.
∴DE＝BF.
证明：
小试牛刀
(2)如图，连接BD，交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∴四边形DEBF 是平行四边形．
小试牛刀
5 如图，将 ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′ 处，直线l 交CD 边于点E，连接BE.
(1)求证：四边形BCED ′是平行四边形；
(2)若BE 平分∠ABC，求证：AB 2＝AE 2＋BE 2.
小试牛刀
(1)由折叠性质知∠DAE＝∠D′AE，
∠D＝∠AD′E.
∴∠AD′E＝∠CBA.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠CBA.
∴ED ′∥CB.
∵EC∥D′B，
∴四边形BCED ′是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA.
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°.
∴∠AEB＝90°. ∴AB 2＝AE 2＋BE 2.
小试牛刀
6 如图，四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别在OA，OC 上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD；②∠1＝∠2；③OE＝OF. 请你从中选取两个条件证明△BEO ≌ △DFO；　
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
小试牛刀
(1)选取①②.
在△BEO 和△DFO 中
∠1＝∠2，
BO＝DO，
∠EOB＝∠FOD，
∴△BEO ≌ △DFO (ASA)．
证明：
(2)由(1)得△BEO ≌ △DFO，
∴EO＝FO.
∵AE＝CF，
∴AO＝CO.
又∵BO＝DO，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
课堂小结
课堂小结
平行四边形的判定方法：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）