【班海精品】北师大版（新）八年级下-6.3三角形的中位线【优质课件】

(共44张PPT)
3.三角形的中位线
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
温故知新
平行四边形的判定
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形中位线的性质
探究思考
请同学们按要求画图：
画任意△ABC 中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
D
E
定义：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
探索新知
观察猜想
在△ABC 中，中位线DE 和边BC 什么关系
DE 和边BC 关系
数量关系：
位置关系：
A
B
C
D
E
DE // BC
DE＝ BC
探索新知
例1
如图(2)，延长DE 到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE 和△CFE 中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE ≌ △CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
证明：
已知：如图(1)，DE 是 △ABC 的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝ BC.
探索新知
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，
∴CF＝BD.
∴四边形DBCF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC (平行四边形的定义)，
DF＝BC (平行四边形的对边相等).
∴DE∥BC，DE＝ BC.
探索新知
利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等.
总 结
探索新知
例2
如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于点O，连接OF.
求证：AB＝2OF.
导引：
点O 是平行四边形两条对角线的
交点，所以点O 是线段AC 的中点，
要证明AB＝2OF，我们只需证明
点F 是线段BC 的中点，即证明OF
是△ABC 的中位线．
探索新知
证明：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，
且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC 是平行四边形．
∴点F 是BC 的中点．
又∵点O 是AC 的中点，∴OF 是△ABC 的中位线．
∴AB＝2OF.
探索新知
证明线段倍分关系的方法：
由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理．
总 结
典题精讲
1
已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm，
求以各边中点为顶点的三角形的周长.
解：
以各边中点为顶点的三角形的周长为
(8＋10＋12)＝15(cm)．
典题精讲
2
如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估
测出了A，B 间的距离：先在AB 外选一点C，然后步测
出AC，BC 的中点M，N，并步测出MN
的长，由此他就知道了A，B 间
的距离. 你能说说其中的道理吗？
解：
由题意可知，MN 是△ABC 的中位线，
所以AB＝2MN.
所以测出MN 的长，就可知道A，B 间的距离．
A
典题精讲
3
如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m
B．48 m
C．45 m
D．35 m
B
典题精讲
4
如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是(　　)
A．5
B．7
C．9
D．11
B
探索新知
2
知识点
三角形中位线在四边形中的应用
议一议
如图，任意画一个四边形，以
四边的中点为顶点组成一个新
四边形，这个新四边形的形状
有什么特征？请证明你的结论，
并与同伴交流.
探索新知
中点四边形的定义：
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．
拓展：
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形．
探索新知
例3
如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是平行四边形．
探索新知
如图，连接BD.
∵点E，H 分别是边AB，
DA 的中点，
∴EH 为△ABD 的中位线．
∴EH∥BD，EH＝ BD.
同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH 是平行四边形．
证明：
探索新知
此题主要考查了平行四边形的判定及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
总 结
典题精讲
1
如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH 的周长为(　　)
A．10 cm
B．11 cm
C．12 cm
D．22 cm
D
典题精讲
2
如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC 上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF 的长逐渐增大
B．线段EF 的长逐渐减小
C．线段EF 的长不改变
D．线段EF 的长先增大后减小
C
典题精讲
3
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，OE＝5 cm，则AD 的长为______cm.
10
典题精讲
4
如图，四边形ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，
MN 的中点，则EF 长度
的最大值为________．
3
易错提醒
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB 的周长是18 cm，则EF＝________cm.
易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长
3
易错提醒
∵AC＋BD＝24 cm，
∴OA＋OB＝12 cm，
又∵△OAB 的周长是18 cm，
∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.
又∵点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，
∴EF＝ AB＝3 cm.
此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA，OB的长度和，从而导致求不出中位线长．
学以致用
小试牛刀
1
如图，△ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则△AFG 的面积是(　　)
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
A
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC 为斜边作 Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE 平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝ CD
C
小试牛刀
3 如图，在四边形ABCD 中，AB＝DC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点．
(1)若AB＝6，求PM 的长；
(2)若∠PMN＝20°，求∠MPN 的度数．
小试牛刀
(1)∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6.
∵点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，
∴PM 是△ADC 的中位线．
∴PM＝ DC＝ ×6＝3.
解：
小试牛刀
(2)∵点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，
∴PN 是△ABC 的中位线．
∴PN＝ AB.
∵AB＝DC，∴PM＝PN.
∴∠PNM＝∠PMN＝20°.
∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝140°.
小试牛刀
4 如图，E 为 ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 与OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
小试牛刀
AB∥OF，OF＝ AB，
理由：如图，连接BE，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE，
又∵CE＝DC，∴AB＝CE.
∴四边形ABEC 是平行四边形．
∴BF＝CF.
∴OF 是△ABC 的中位线．
∴AB∥OF，OF＝ AB.
解：
小试牛刀
5 如图，四边形ABCD 中，AB＝CD，G，H 分别是BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的延长线于点E，F. 求证：∠AEH＝∠F.
小试牛刀
如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.
∵H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，
∴HM 是△ADC 的中位线．
∴HM∥CD，HM＝ CD.
∴∠MHG＝∠F.
同理，GM∥AB，GM＝ AB.
∴∠MGH＝∠AEH.
又∵AB＝CD，∴GM＝HM.
∴∠MGH＝∠MHG.∴∠AEH＝∠F.
证明：
小试牛刀
当几个中点不是一个三角形的各边中点时，可设法再取一个中点，使它与已知中点能构成三角形的中位线．此题中H，G 分别是四边形ABCD 两条对边的中点，这时需连接对角线，将四边形转化为两个三角形，再取对角线中点，与已知中点相连，就会产生三角形的中位线，问题便迎刃而解．
小试牛刀
6 已知：如图，在 ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G. 求证：GF＝GC.
小试牛刀
如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.
∵F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，
∴FH 是△ABE 的中位线．
∴FH∥AB 且FH＝ AB.
在 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC.
又∵点E 是DC 的中点，
∴EC＝ DC＝ AB，∴FH＝EC.
又∵AB∥DC，FH∥AB，∴FH∥EC，
∴四边形EFHC 是平行四边形．∴GF＝GC.
证明：
课堂小结
课堂小结
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
几何语言(如图)：
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC．DE= BC．
A
B
C
D
E
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）