【班海精品】北师大版（新）八年级下-6.4多边形的内角和与外角和 第二课时【优质课件】

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4.多边形的内角和与外角和
第2课时
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学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
三角形的外角和是多少
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时， 跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多、少？
探索新知
1
知识点
多边形的外角和
小刚是这样思考的：如图，
跑步方向改变的角分别是∠l，
∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，
∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
探索新知
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
你的思路与小刚一样吗？与同伴交流.
探索新知
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？
探索新知
1.定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组
成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个
多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
2.定理：多边形的外角和都等于360°.
探索新知
例1
由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．
导引：
已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
设四边形的最小外角为x °，则其他三个外角分别为2x °，
3x °，4x °. 根据四边形外角和等于360°，
得x °＋2x °＋3x °＋4x °＝360°.
所以 x °＝36°，2x °＝72°，
3x °＝108°，4x °＝144°.
所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
解：
探索新知
(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再说明它们等于360°，即可求出；
(2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决．
总 结
典题精讲
1
五边形的外角和等于(　　)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边
形是(　　)
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
2
B
B
典题精讲
3
如图，小华从点A 出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A 时，一共走的路程是(　　)
A．140 m
B．150 m
C．160 m
D．240 m
B
典题精讲
4
设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的大小关系是(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．b＝a＋180°
B
探索新知
2
知识点
多边形内角和与外角和的关系
多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
探索新知
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
例2
设这个多边形是n 边形，
则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°.
解得n＝8.
所以，这个多边形是八边形.
解：
探索新知
如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A 点时，他一共走了________．
例3
由题意知，当小亮第一次回
到出发地A 点时，所走过的
路线构成一个边长为10 m，
每个外角都是30°的正多边
形．由多边形的外角和定理
知这个多边形的边数是
360°÷30°＝12，
所以小亮一共走了120 m.
导引：
120 m
探索新知
本题运用了建模思想，从“转弯”的实际问题中抽象出正多边形的数学问题是解题的关键，然后利用多边形外角和定理进行解答．
总 结
典题精讲
1
一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
设它是n 边形，根据题意，
得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6，
所以它是六边形.360°×2÷6＝120°，
所以如果这个多边形的每个内角都相等，
那么每个内角等于120°.
解：
典题精讲
2
已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B
3
一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
C
学以致用
小试牛刀
1
如果正n 边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n 的值是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
C
2
一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
C
小试牛刀
3 如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长是多少？
小试牛刀
如图，分别作AB，CD，EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G，P，H.
∵六边形ABCDEF 的六个内角都相等，
∴六个内角都是120°.
∴六边形ABCDEF 的每一个外角的都是60°.
∴△AHF，△BGC，△DPE，△GHP 都是等边三角形．
解：
小试牛刀
∴GB＝GC＝BC＝3，DP＝DE＝PE＝2，
AH＝HF＝AF.
∴GH＝HP＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8，
∴HF＝FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4.
∴EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2.
∴六边形的周长为1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
小试牛刀
4 (1)如图①②，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
(2)请你用文字描述上述的关系；
(3)用你发现的结论解决下面的问题：
如图③，AE，DE 分别是四边形ABCD 的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E 的度数．
小试牛刀
(1)设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，
∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
解：
小试牛刀
(2)在四边形中，任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE 分别是∠NAD，∠MDA 的平分线，
∴∠ADE＝ ∠MDA，∠DAE＝ ∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝ (∠MDA＋∠NAD )＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE )＝60°.
课堂小结
课堂小结
1.多边形的外角和为360°.
2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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