【班海精品】北师大版（新）八年级下-6.4多边形的内角和与外角和 第一课时【优质课件】

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4.多边形的内角和与外角和
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
三角形的内角和是多少？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
多边形的内角和
思考
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
探索新知
任意四边形的内角和等于多少度？
你是怎样得到的？
A
B
C
D
探索新知
A
B
C
D
2×180
=360
4×180 －360
=360
四边形的内角和是360
3×180 －180
=360
A
B
C
D
A
B
C
D
E
P
探索新知
多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
(n－2)×180
4× 180
2× 180
3× 180
1× 180
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
探索新知
一般地，从n 边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)
条对角线，它们将n 边形分为（n － 2)个三角形，n 边形
的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角
形，还有其他分法吗？由新
的分法，能得出多边形内角
和公式吗？
探索新知
例1
∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D )
＝360°－280°
＝80°.
导引：
在四边形ABCD 中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B 的度数是(　　)
A．80° B．90° C．170° D．20°
A
探索新知
已知边数求内角和，可直接代入内角和公式：
n 边形内角和等于(n－2)×180°求解．
总 结
探索新知
例2
如图，在四边形ABCD 中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D 有怎样的关系？
解：
∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D
＝360°－(∠A＋∠C )
＝360°－180°
＝180°.
探索新知
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
总 结
典题精讲
1
内角和为540°的多边形是(　　)　　　
C
典题精讲
2
如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(　　)
A．①② B．①③ C．②④ D．③④　　　
B
典题精讲
3
将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是(　　)
A．360° B．540°
C．720° D．900°
D
4
将一个n 边形变成(n＋1)边形，则内角和将(　　)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．增加360°
C
探索新知
2
知识点
正多边形的内角和
想一想
正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
议一议
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？
这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
探索新知
例3
正n 边形的每个内角的度数为
若一个多边形的内角和是1 260°，则这
个多边形的边数是________．
设这个多边形的边数为n，由题意知，
(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
导引：
9
探索新知
(1)已知多边形的内角和求边数n 的方法：
根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程求出n，即得多边形的边数；
(2)已知正多边形每个内角的度数k 求边数n 的方法：
根据多边形内角和公式列方程：
(n－2)×180°＝kn，解方程求出n，即得多边形的边数．
总 结
探索新知
例4
如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数．
要求不规则图形的各个角的度数和，
就是想办法在不规则图形中找规则
图形，然后把不规则图形的角通过
已学的相关知识(本例中三角形外角
的性质)转移到规则的图形中去，即
把所求的六个角的和转移到四边形
BEFG 中去．
导引：
探索新知
在四边形BEFG 中，
∵∠EBG＝∠C＋∠D，
∠BGF＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°.
解：
探索新知
(1)化不规则为规则是转化思想中一种常见的方法，它主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步将不规则图形的角转化到规则图形中；关键是找规则图形．这类题一般有不同的解法，如本例还可以将四边形DEFH 作为基础四边形，请读者自己完成其解法．
(2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线构造规则图形．
总 结
典题精讲
1
小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
不正确．
理由：假设是正n 边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°，
解得n＝ ，不是整数，所以不正确．
解：
典题精讲
2
若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6 B．12
C．16 D．18
B
3
若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正n 边形的所有对角线的条数是(　　)
A．7 B．10
C．35 D．70
C
学以致用
小试牛刀
1
一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是(　　)
A．27 B．35
C．44 D．54
C
2
一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是(　　)
A．10　　　 B．11　　　
C．12　　 D．以上都有可能
D
小试牛刀
3 已知n 边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ 能取360°，而乙同学说，θ 也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n 边形变为(n＋x )边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
小试牛刀
(1)甲对，乙不对．
∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.
∵θ＝630°，
∴(n－2)×180°＝630°，解得n＝
∵n 为整数，∴θ 不能取630°.
(2)依题意，得
(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.
解得x＝2.
解：
小试牛刀
4 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数．
小试牛刀
如图，连接BE.
因为∠COD＝∠BOE，　
所以∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D.
所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠FED＋∠F
＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F
＝360°.
解：
课堂小结
课堂小结
(1)正n 边形的每个内角都相等，都等于
(2)n 边形的内角和与边数有关，每增加一条边，内角
和就增加180°.
(3)利用公式，已知n 边形的边数可求内角和，同样已
知内角和也可求边数．
同学们，
下节课见！
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