【班海精品】北师大版（新）八年级下-2.5一元一次不等式与一次函数【优质课件】

(共47张PPT)
5 一元一次不等式与一次函数
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1．一次函数的基本形式是什么？
2．一次函数的性质有哪些？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
一元一次不等式与一次函数的关系
函数 y＝2x－5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
(1) x 取何值时，2x－5＝0？
(2) x 取哪些值时，2x－5＞0？
(3) x 取哪些值时，2x－5＜0？
(4) x 取哪些值时，2x－5＞1？
你是怎样思考的？与同伴交流.
探索新知
作出一次函数 y = 2x－5
的图象如右，
(2.5 , 0)
观察图象回答下列问题：
(1) x 取哪些值时, y =0
(2) x 取哪些值时, y >0
x > 2.5 时 , y > 0 ;
x = 2.5 时 , y = 0 ;
(3) x 取哪些值时, y <0
x < 2.5 时 , y < 0 ;
(4) x 取哪些值时, y >3
x > 4 时 , y > 3 ;
0
x
1
2
3
-1
4
1
-1
-2
3
-4
-3
2
-5
-6
y
探索新知
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
所以，将(1)～(4) 中的 y 换成 2x－5，则，原题“关于一次函数的值的问题”就变成了“关于一次不等式的问题”.
能否把“关于一次不等式的问题”变换成“关于一次函数的值的问题”？
探索新知
1．一次函数和一元一次不等式的联系：
任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b 为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数 y＝ax＋b (a≠0，a，b 为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x 的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b 在x 轴上方的部分或在x 轴下方的部分对应的自变量x 的取值范围．
探索新知
直线 y＝x－1在x 轴上方的点对应的x 应满足x－1>0，
∴x＞1. ∴选A.
导引：
对于直线 y＝x－1，在x 轴上方的点对应的x 的取值范围是(　　)
A．x＞1　　　　　　B．x ≥ 1　　　
C．x＜1　　　　　　D．x ≤ 1
例1
A
探索新知
总 结
本题的实质就是把函数问题转化为不等式的问题去解决．
探索新知
解这类题目的关键是要将比较函数值的大小的问题转化成解不等式的问题．
导引：
已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x 取何值时，
(1) y1＞y2？ (2) y1＝y2 (3) y1＜y2
例2
方法一：代数法．
(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2.
(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2.
(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
所以当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
解：
探索新知
方法二：图象法．
在同一直角坐标系内画出函数 y1＝2x－5和 y2＝3
－2x 的图象，如图所示．
由图象知，两直线的交点坐标为
(2，－1)．观察图象可知，
当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
探索新知
根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集其方法是：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集．
总 结
当y1＜y2，即－x＋3＜3x－4时，
解得x＞ .
所以当x＞ 时，y1＜y2.
典题精讲
1
已知 y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x 取哪些值时？y1＞y2？
你是怎样做的？与同伴交流.
解：
典题精讲
已知 y1＝－x＋5，y2＝5x－4.
(1)当x________时，y1＝y2；
(2)当x________时，y1>y2；
(3)当x________时，y12
典题精讲
已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过两点A (0，1)，B (2，0)，则当x________时，y ≤ 0.
直线 y＝kx＋3经过点A(2，1)，则不等式 kx＋3≥0 的解集是(　　)
A．x≤3 B．x≥3
C．x≥－3 D．x≤0
3
4
≥2
A
典题精讲
一次函数 y＝ax＋b 的图象如图所示，则不等式 ax＋b ≥ 0的解集是(　　)
A．x ≥2
B．x ≤2
C．x ≥4
D．x ≤4
5
B
探索新知
2
知识点
一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：
(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；
(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．
探索新知
函数 y＝3x 与y＝2x＋k 的图象的交点坐标就是
的解，这个方程组的解为
根据交点在第三象限，且第三象限的点的坐标
特征为x<0, y<0，得k<0，3k< 0，
∴ k<0.
例3
若正比例函数 y＝3x 和一次函数 y＝2x＋k 的图象的交点在第三象限，则k 的取值范围是______．
导引：
k<0
探索新知
本题中的等量关系为“所需费用＝购进A，B两种树苗的费用和”，列出函数关系式，进而利用函数的性质求解．
例4
为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．
(1)y 与x 的函数关系式为________；
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
导引：
探索新知
(1) y＝－20x＋1 890
(2)由题意，得x＜21－x，解得x＜10.5.又∵x ≥1，
∴1≤x＜10.5且x 为整数，
由一次函数的性质，得当x＝10时，y 有最小值，
为－20×10＋1 890＝1 690，
∴最省方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，
所需费用为1 690元．
解：
探索新知
例5
某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元. 经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
探索新知
设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则
y1＝200×0.75x，即y1＝150x；y2＝200×0.8(x－1)，即y2＝160x－160.
由y1＝y2，得 150x＝160x－160，解得x＝16；
由y1＞y2，得150x＞160x－160，解得x＜16；
由y1＜y2，得150x＜160x－160，解得x＞16.
因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当x＝ 16时，
甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择
甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时， 选择乙旅行社费用较少.
解：
探索新知
　　在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题.
总 结
典题精讲
如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y (元)与销售量x (件)之间的函数关系图象．下列说法：①买2件时，甲、乙两家销售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3
件时，买甲家的合算；④买乙家
的1件销售价约为3元．其中正确
的说法是(　　)
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
1
D
典题精讲
某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是(　　)
A．当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司收取的租赁费用相同
B．当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司多
D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
2
D
易错提醒
若一次函数 y＝ax＋b (a>0)的图象与x 轴的交点坐标是(m，0)，则关于x 的一元一次不等式ax＋b ≤0的解集应为(　　)
A．x ≤m B．x ≤－m
C．x ≥m D．x ≥－m
易错点：忽略一次函数的增减性，导致错误地求得不等式的解集
A
易错提醒
画出草图如图所示，观察图象可知，解集应为x ≤m. 故选A.
易错提醒
一次函数 y＝kx＋b 中系数k 的符号决定了函数值y 随x 的变化规律，当k >0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小．因此当 y ≤0 时，x ≥－ 还是x≤－ (－ 是一次函数 y＝kx＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标)要看k 的符号，或者画出一次函数的草图后根据图象得出结论．本题容易误选C.
易错总结：
学以致用
小试牛刀
如图，若一次函数 y＝－2x＋b 的图象交 y 轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为(　　)
A．x＞
B．x >3
C．x <
D．x＜3
1
C
小试牛刀
如图，函数 y1＝－2x 与 y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x 的不等式－2x >ax＋3的解集是(　　)
A．x >2
B．x <2
C．x >－1
D．x <－1
2
D
小试牛刀
一次函数 y1＝kx＋b 与 y2＝x＋a 的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x＝3时，y1＝y2；④不等式 kx＋b＞x＋a 的解集是x＜3. 其中正确的结论个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
3
D
小试牛刀
4 如图，已知直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n 相交于点P (1，2)．
(1)求m，n 的值；
(2)请结合图象直接写出不等式mx＋n＞x＋n－2的解集．
小试牛刀
(1)把P (1，2)的坐标代入y＝x＋n－2
得1＋n－2＝2，解得n＝3.
把P (1，2)的坐标代入y＝mx＋3
得m＋3＝2，解得m＝－1.
(2)不等式mx＋n＞x＋n－2的解集为x＜1.
解：
小试牛刀
5 如图，已知直线 y1＝－ x＋1与x 轴交于点A，与直线y2＝－ x 交于点B.求：
(1)△AOB 的面积；
(2)y1＞y2时x 的取值范围．
小试牛刀
(1)由 y1＝－ x＋1，
可知当 y1＝0时，x＝2.
∴点A 的坐标是(2，0)．
∴AO＝2.
∵y1＝－ x＋1与直线 y2＝－ x 交于点B，
∴B 点的坐标是(－1，1.5)．
∴△AOB 的面积＝ ×2×1.5＝1.5.
(2)由(1)可知交点B 的坐标是(－1，1.5)，由函数图象可知 y1＞y2时x＞－1.　
解：
小试牛刀
6 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x 相交于点B (m，4)．
(1)求直线l1的表达式；
(2)过动点P (n，0)且垂于x 轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C 位于点D上方时，写出n 的取值范围．
小试牛刀
(1)∵点B (m，4)在直线 l2上，∴4＝2m.
∴m＝2，即点B 的坐标为(2，4)．
设直线l1的表达式为 y＝kx＋b，
由题意得
解得
∴直线l1的表达式为y＝ x＋3.
(2)由图象可知n＜2.
解：
小试牛刀
7 学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费分别为y1元，y2元，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：
小试牛刀
(1)当参加老师的人数为多少人时，两家旅行社收费相同？
(2)当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
(3)如果有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
小试牛刀
(1)当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人．
(2)由图象知，当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算．
(3)由图象知，当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算．
解：
课堂小结
课堂小结
一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集 直线 y＝ax＋b (a≠0)位于x 轴的上方或下方的部分对应的x 的取值范围．
课堂小结
2. 一次函数、一元一次不等式与一元一次方程这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题．解题时一般情况下分以下步骤解答：
(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；
(2)分三种情况进行比较，解每种情况对应的x 或y 值；
(3)利用方程的解或不等式的解集对实际情况作相应的决策．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）