【班海精品】北师大版（新）八年级下-3.3中心对称 第一课时【优质课件】

(共48张PPT)
3.中心对称
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转——中心对称及其性质.
新课精讲
探索新知
1
知识点
中心对称的定义
(1)如图，把其中一个图案绕点O 旋转180°，你有什么发现？
两个图案能够完全重合在一起．
问 题（一）
探索新知
（2）如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=
OD．把 △OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？
两个图案能够完全重合在一起．
A
B
D
C
O
探索新知
你能说说上述两个旋转的共同点吗？
（1）图形中旋转中心是哪一点？
（2）旋转的角度是多少？
（3）两个图形的关系？
（1）点 O
（2）180°
（3）重合
问 题（二）
探索新知
例1 如图所示的图形中成中心对称的有________组．
导引：利用中心对称的定义解答．
3
探索新知
总 结
根据中心对称的定义，看左边的图形能否绕一点旋转180°后与右边的图形重合，能就成中心对称，否则就不成，本例中第四组不成．
典题精讲
下列说法正确的是(　　)
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
1
D
典题精讲
下列4组图形中，右边的图形与左边的图形成中心对称的是(　　)
2
A
探索新知
2
知识点
中心对称的性质
探 究
如图，旋转三角板，画关于点O 对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O 为中心，把三角板旋转 180°，
画出△A′B ′C ′；
第三步，移开三角板.
探索新知
　　这样画出的△ABC 与△A′B ′C ′关于点O 对称，分别连接对称点AA′，BB ′，CC ′.点O 在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？ △ABC 与△A′B ′C ′有什么关系？
C
A
B
C
A
B
A′
B′
O
C′
探索新知
我们可以发现：
(1)点O 是线段AA′ 的中点.
(2)△ABC ≌ △A′B ′C ′.
C
A
B
C′
A′
B′
O
探索新知
你能说明△ABC ≌ △A′B ′C ′吗？
点A′是点A 绕点O 旋转180°得到的，所以点O 在线段AA′上，且OA=OA′，同样地，点O 也是线段BB ′和CC ′的中点.
在△AOB 与△A′OB ′中，OA=OA′，OB=OB ′，∠AOB=∠A′OB ′，
∴△AOB ≌ △ A′OB ′.
∴AB=A′B ′.
同理 BC=B ′C ′，AC=A′C ′.
∴ △ABC ≌ △A′B ′C ′.
C
A
B
C′
A′
B′
O
探索新知
如图，△A′B′C ′与△ABC 关于点O 成中心对称，你能从图中找出哪些相等的线段、相等的角、全等的三角形以及有特殊位置关系的线段？
例2
探索新知
根据中心对称的性质可知：如果两个图形关于某点
成中心对称，那么对应点所连线段都经过对称中心
而且被对称中心平分，而且这两个图形是全等图形,
对应边平行(或在同一直线上)且相等．
可以找到：OA＝OA′，OB＝OB ′，OC＝OC ′，
△ABC ≌ △A′B′C ′，AB A′B ′，AC A′C ′，
BC B′C ′，∠BAC＝∠B′A′C ′，
∠ABC＝∠A′B′C ′，∠ACB＝∠A′C′B ′等．
导引：
解：
典题精讲
如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC 与△A1B1C1关于E 点成中心对称， 则对称中心E 点的坐标是__________．
1
(3，－1)
典题精讲
如图，直线a，b 垂直相交于点O，曲线C 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB⊥a 于点B，A′D⊥b 于点D，若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为________．
2
6
典题精讲
如图，将△ABC 以点O 为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C ′，ED＝ BC，线段ED 经旋转后变为线段E′D ′. 已知BC＝4，则线段E′D ′的长度为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．1.5
3
A
探索新知
3
知识点
中心对称的作图
我们已经掌握了中心对称定义和中心对称的性质.下面我们要用所学的知识进行中心对称的作图.
探索新知
根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的图形的关键是作出某些特殊点的对称点．
作图步骤：
(1)连接原图形上的特殊点和对称中心；
(2)再将以上各线段延长找对称点，使得特殊点与对
称中心的距离和其对称点与对称中心的距离相等；
(3)将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出原
图形关于某点中心对称的图形．
探索新知
如图，点O 是线段AE 的中点， 以点O 为对称中心，画出与五边形ABCDE 成中心对称的图形.
例3
A
O
·
B
C
D
E
C
D
探索新知
如图，连接BO 并延长至B ′，使 得OB ′ =OB ;
连接CO 并延长至C '，使得OC ′ =OC ;
连接DO 并延长至D ′，使得OD ′ =OD ;
顺次连接E，B ′, C ′, D ′, A.
图形EB ′C′D′A 就是以点
O 为对称中心、与五边
形ABCDE 成中心对称
的图形.
解：
探索新知
总 结
根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的图形的关键是作出某些特殊点的对应点．
作图步骤：
(1)连接原图形上的特殊点和对称中心；
(2)再将以上各线段延长找对应点，使得特殊点与对称中心的距离和其对应点与对称中心的距离相等；
(3)将对应点按原图形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对称的图形．
典题精讲
如图，已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点O 是△ABC 外一点．
(1)画△A′B′C ′，使△A′B′C ′与△ABC 关于点M 成中心对称；
(2)画△A″B″C ″，使△A″B″C ″
与△ABC 关于点O 成中心对称．
1
典题精讲
(1)如图，①连接AM 并延长至A′，使A′M＝AM；②点B 关于点M的对称点B′ 即为点C，点C 关于点M 的对称点C ′即为点B；③连接A′B ′，A′C ′，△A′B′C ′即为所求．
(2)如图，①连接AO，BO，CO，并分别延长至A″，B ″，C ″，使A″O＝AO，B″O＝BO，
C″O＝CO；
②连接A″B ″，A″C ″，B″C ″，
则△A″B″C ″即为所求．
解：
易错提醒
如图所示的4组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的是___________(填序号)．
易错点：混淆平移、轴对称、中心对称的定义导致判断失误
①②③
易错提醒
①②③④
判断两个图形是否成中心对称不能凭直观感觉，应根据中心对称的定义进行判断．
错解：
诊断：
学以致用
小试牛刀
下列各组图形中，△A′B ′C ′与△ABC 成中心对称的是(　　)
1
A
小试牛刀
如图所示的5组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(　　)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2
B
小试牛刀
3 如图，正方形ABCD 与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
小试牛刀
(1)根据对称中心的定义，可得
对称中心的坐标是D1D 的中点的坐标，
∵点D1，D 的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
解：
小试牛刀
(2)∵点A，D 的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD 与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C 的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，　
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，
∴点A1的坐标是(0，1)．
∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．
综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是
(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
小试牛刀
4 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，5)，B (－2，1)，C (－1，3)．
小试牛刀
(1)若△ABC 经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；
(2)若△ABC 和△A2B2C2关于原点O 成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
(3)将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
小试牛刀
(1)因为点C (－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，所以△ABC 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)．
(2)因为△ABC 和△A2B2C2关于原点O 成中心对称，所以A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)．
(3)A3(5，3)，B3(1，2)，C3(3，1)．
解：
小试牛刀
5 如图，在△ABC 中，∠A＝90°，点D 为BC 的中点，DE⊥DF，DE 交AB 于点E，DF 交AC 于点F，试探究线段BE，EF，FC 之间的数量关系．
小试牛刀
∵点D 为BC 的中点，∴BD＝CD. 作△BDE 关于点D 成中心对称的△CDM，如图所示．
由中心对称的性质可得CM＝BE，
MD＝ED，∠DCM＝∠B.
又∵∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠DCM＋∠ACB＝90°，即∠FCM＝90°.
连接FM. 在△FME 中，MD＝ED，FD⊥ME，
∴FM＝FE.
又∵在Rt△FCM 中，FC 2＋CM 2＝FM 2，
∴FC 2＋BE 2＝EF 2.
解：
小试牛刀
6 如图，△ABM 与△ACM 关于直线AF 成轴对称，△ABE 与△DCE 关于点E 成中心对称，点E，D，M 都在线段AF上，BM 的延长线交CF 于点P.
(1)求证：AC＝CD；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
小试牛刀
∵△ABM 与△ACM 关于直线AF 成轴对称，∴AB＝AC.
又∵△ABE 与△DCE 关于点E 成中心对称，
∴AB＝CD. ∴AC＝CD.
(1)证明：
小试牛刀
∠F＝∠MCD.
理由：由题意可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，
∠CMA＝∠BMA.
∵∠BAC＝2∠MPC，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α.
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM－∠PMF＝α－β，
∠MCD＝∠CDE－∠DMC＝α－β.
∴∠F＝∠MCD.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
中心对称的概念：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
课堂小结
中心对称的性质：
① 关于中心对称的两个图形是全等形.
② 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对
称中心，并且被对称中心平分.
③ 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者
在同一直线上）且相等.
同学们，
下节课见！
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