【班海精品】北师大版（新）八年级下-4.1因式分解【优质课件】

(共35张PPT)
1 因式分解
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
口答：
反过来
新课精讲
探索新知
1
知识点
因式分解的定义
993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
探索新知
小明是这样做的：
993－99
＝99×992－99×1
＝99(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的形式.
993－99还能被哪些正整数整除？
探索新知
议一议
你能尝试把a 3－a 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
探索新知
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
探索新知
归 纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)，am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
探索新知
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a 2＋1＝a (a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
C．a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x 2y＋xy 2＝xy (x＋y )
例1
D
探索新知
紧扣因式分解的定义进行判断．
因为 不是整式，所以a 2＋1＝a (a＋ )不是因式分解，
故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝x 2－1不是和差化积，因此不是因
式分解，而是整式乘法，B错误；
因为a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，
因此不是因式分解，C错误；
x 2y＋xy 2＝xy (x＋y )，符合因式分解的概念，
因此是因式分解，D正确．
导引：
典题精讲
1
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1) (a＋3)(a－3)＝a 2－9 ；
(2) m 2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3) a 2－b 2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
(4) 2mR＋2mr＝2m (R＋r ).
(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项式化成几个整式的积的形式．
解：
典题精讲
2
下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．a 2＋4a－21＝a (a＋4)－21
B．a 2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a 2＋4a－21
D．a 2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
典题精讲
3
下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是(　　)
A．a (m＋n)＝am＋an
B．a 2－b 2－c 2＝(a－b)(a＋b)－c 2
C．10x 2－5x＝5x (2x－1)
D．x 2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
探索新知
2
知识点
因式分解与整式乘法的关系
做一做
计算下列各式：
(1)3x (x－1)＝ (2)m (a＋b－1)＝
(3)(m＋4)(m－4)＝ (4)( y－3 )2＝
根据上面的算式进行因式分解:
(1)3x 2－3x＝( )( )； (2)ma＋mb－m＝( )( )
(3)m 2－16＝( )( )； (4)y 2－6y＋9＝( )( )
探索新知
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
x 2－1 (x＋1)(x－1)
因式分解
整式乘法
探索新知
把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与x 2－3xy 2对照，能够与x 2－3xy 2相等的选项必是正确答案．
例2
导引：
把x 2－3xy 2分解因式，结果正确的是( 　　)
A．(x＋3xy )(x－3xy ) B．x (x－3xy )
C．x 2(1－3xy 2) D．x (x－3y 2)
D
探索新知
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
总 结
探索新知
可将20162－2016化为2016×(2016－1)，
即2016×2015. 很明显此结果可以被6，2016，2015整除，而不能被2017整除．
例3
导引：
20162－2016不能被下列哪个数整除？(　　)
A．6　 B．2017
C．2016 D．2015
B
探索新知
本题考查整除性，将原式进行因式分解，使之化为积的形式，即可判断其整除性．
总 结
典题精讲
1
连一连：
x 2－y 2
9－25x 2
x 2＋6x＋9
xy－y 2
(x＋3)2
y (x－y )
(3－5x )(3＋5x )
(x＋y )(x－y )
典题精讲
(3a－y )(3a＋y )是下列哪一个多项式因式分解的结果(　　)
A．9a 2＋y 2 B．－9a 2＋y 2
C．9a 2－y 2 D．－9a 2－y 2
2
因为(a－2)2＝a 2－4a＋4，所以a 2－4a＋4可因式分解为____________．
3
(a－2)2
C
典题精讲
一个多项式分解因式的结果是(b 3＋2)(2－b 3)，那么这个多项式是(　　)
A．b 6－4 B．4－b 6
C．b 6＋4 D．－b 6－4
4
若x 2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m 的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5
B
B
学以致用
小试牛刀
下列因式分解正确的是(　　)
A．x 2＋2x＋1＝x (x＋2)＋1
B．(x 2－4)x＝x 3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x　　　
D．m 2－2mn＋n 2＝(m＋n)2
1
C
小试牛刀
把多项式x 2＋ax＋b 分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b 的值分别是(　　)
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
2
B
小试牛刀
3 计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝__________________；
(3)8y ( y＋1)＝______________；
(4)a (x＋y＋1)＝_______________．
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a；　　　　 (6)a 2－b 2；
(7)a 2＋2ab＋b 2; (8)8y 2＋8y.
a 2－b 2
a 2＋2ab＋b 2
8y 2＋8y
ax＋ay＋a
小试牛刀
(5)ax＋ay＋a＝a (x＋y＋1)．
(6)a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b)2.
(8)8y 2＋8y＝8y ( y＋1)．
解：
小试牛刀
4 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x 2－4x＋m 有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m 的值．
解：设另一个因式为x＋n，则
x 2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
即x 2－4x＋m＝x 2＋(n＋3)x＋3n，
小试牛刀
∴
故另一个因式为x－7，m 的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x 2＋3x－k 有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k 的值．
小试牛刀
设另一个因式为x＋a，则
2x 2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，
即2x 2＋3x－k＝2x 2＋(2a－5)x－5a，
∴
故另一个因式为x＋4，k 的值为20.
解：
课堂小结
课堂小结
1.因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形
叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 一个多项式
同学们，
下节课见！
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