【班海精品】北师大版（新）八年级下-4.2提公因式法 第一课时【优质课件】

(共38张PPT)
2 提公因式法
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
温故知新
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 .
二、整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
新课精讲
探索新知
1
知识点
公因式的定义
多项式ab＋bc 各项都含有相同的因式吗？多项式3x 2＋x 呢？多项式mb 2＋nb－b 呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.
公因式的定义：
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 .
探索新知
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
探索新知
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a 2y－3ya＋6y； (2) xy 3－ x 3y 2；
(3)a (x－y )3＋b (x－y )2＋(x－y )3；
(4)－27a 2b 3＋36a 3b 2＋9a 2b.
例1
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y 的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数
解：
探索新知
是 ；两项都有x，y，且x 的最低次数是1，y 的
最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y 的最低次数是2，
所以公因式是(x－y )2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变
为－(27a 2b 3－36a 3b 2－9a 2b)．多项式27a 2b 3－36a 3b 2
－9a 2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，
且a 的最低次数是2，b 的最低次数是1，所以这个多
项式各项的公因式是－9a 2b.
探索新知
找准公因式要“五看”，即：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；
五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．
总 结
典题精讲
1　多项式8x 2y 2－14x 2y＋4xy 3各项的公因式是(　　)
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2　式子15a 3b 3(a－b)，5a 2b (b－a)的公因式是(　　)
A．5ab (b－a) B．5a 2b 2(b－a)
C．5a 2b (b－a) D．以上均不正确
B
C
典题精讲
3　下列各组式子中，没有公因式的是(　　)
A．4a 2bc 与8abc 2
B．a 3 b 2＋1与a 2b 3－1
C．B (a－2b)2与a (2b－a)2
D．x＋1与x 2－1
B
典题精讲
4
下列多项式的各项中，公因式是5a 2b 的是(　　)
A．15a 2b－20a 2b 2
B．30a 2b 3－15ab 4－10a 3b 2
C．10a 2b 2－20a 2b 3＋50a 4b 5
D．5a 2b 4－10a 3b 3＋15a 4b 2
A
探索新知
2
知识点
提公因式法分解因式
议一议
(1)多项式2x 2＋6x 3中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式2x 2＋6x 3因式分解吗？与同伴交流.
确定一个多项式的公因式时，要从____________和__________________分别进行考虑 .
数字系数
字母及其指数
探索新知
公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
　　公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
数字系数
字母及其指数
探索新知
(1)3x＋x 3＝x · 3＋x · x 2＝x (3＋x 2)；
(2)7x 3－21x 2＝7x 2·x－7x 2·3＝7x 2(x－3)；
(3)8a 3b 2－12ab 3c＋ab＝ab · 8a 2b－ab · 12b 2c＋ab · 1
＝ab (8a 2b－12b 2c＋1)；
例2
解：
把下列各式因式分解：
(1)3x＋x 3；
(2)7x 3－21x 2;
(3)8a 3b 2－12ab 3c＋ab；
(4)－24x 3＋12x 2－28x.
探索新知
(4)－24x 3＋12x 2－28x
＝－( 24x 3－12x 2＋28x )
＝－(4x · 6x 2－4x · 3x＋4x · 7)
＝ －4x (6x 2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
探索新知
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
探索新知
(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；
(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
例3
导引：
利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；
(2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x 4y 3－x 3y 4的值．
解：
(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x 4y 3－x 3y 4＝x 3y 3(2x－y )＝(xy )3(2x－y )．
当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝
探索新知
(2)题运用整体思想，利用提公因式法化简，得到与已知条件相关的因式，再整体代入求解．
总 结
典题精讲
1
把下列各式因式分解：
(1)ma＋mb； (2)5y 3＋20y 2；
(3)6x－9xy； (4)a 2b－5ab；
(5)4m 3－6m 2； (6)a 2b－5ab＋9b；
(7)－a 2＋ab－ac； (8)－2x 3＋4x 2－6x.
典题精讲
解：
(1) ma＋mb＝m (a＋b)．
(2) 5y 3＋20y 2＝5y 2(y＋4)．
(3) 6x－9xy＝3x (2－3y )．
(4) a 2b－5ab＝ab (a－5)．
(5) 4m 3－6m 2＝2m 2(2m－3)．
(6) a 2b－5ab＋9b＝b (a 2－5a＋9)．
(7) －a 2＋ab－ac＝－a (a－b＋c )．
(8) －2x 3＋4x 2－6x＝－2x (x 2－2x＋3)．
典题精讲
2　 将3a (x－y )－b (x－y )用提公因式法分解因式，
应提出的公因式是(　　)
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b
C
3
多项式x 2＋x 6提取公因式后，剩下的因式是(　　)
A．x 4 B．x 3＋1
C．x 4＋1 D．x 3－1
C
典题精讲
4
把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是(　　)
A．a (a－4) B．(a＋2)(a－2)
C．a (a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
A
5　已知x 2－2x－3＝0，则2x 2－4x 的值为(　　)　
A．－6 B．6
C．－2或6 D．－2或30
B
典题精讲
6　下列多项式因式分解正确的是(　　)
A．8abx－12a 2x 2＝4abx (2－3ax )
B．－6x 3＋6x 2－12x＝－6x (x 2－x＋2)
C．4x 2－6xy＋2x＝2x (2x－3y )
D．－3a 2y＋9ay－6y＝－3y(a 2＋3a－2)
B
典题精讲
7
如果多项式－ ab c＋ ab 2－a 2bc 的一个因式是－ ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
A
易错提醒
因式分解：－14x 3－21x 2＋28x.
易错点：首项符号为“－”时，在利用提公因式法分解因式的过程中出现符号错误
－14x 3－21x 2＋28x＝－7x (2x 2＋3x－4)．
解：
易错提醒
一个多项式中第一项含有“－”时，一般要将“－”一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号．本题易出现－14x 3－21x 2＋28x＝－7x (2x 2－3x＋4)的错误．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
1 因式分解：x 2－2x＋(x－2)＝ __________________.　
2　 已知x 2＋3x－2＝0，则2x 3＋6x 2－4x＝________.
3　若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a 2b－ab 2的值等于________．
(x＋1)(x－2)
0
－2
小试牛刀
4 用提公因式法分解因式：
(1)9x 2－6xy＋3x； (2)(a－b)3－(a－b)2；
(3)3m (x－y )－n ( y－x )； (4)－3a n＋2＋2a n＋1－5a n.
(1)原式＝3x 3x－3x 2y＋3x 1＝3x (3x－2y＋1)．
(2)原式＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)原式＝3m (x－y )＋n (x－y )＝(x－y )(3m＋n)．
(4)原式＝－a n 3a 2－a n (－2a)－a n 5＝－a n (3a 2－2a＋5)．
解：
小试牛刀
5 利用简便方法计算：
(1)3.2×200.9＋4.7×200.9＋2.1×200.9；
(2)
(1)原式＝200.9×(3.2＋4.7＋2.1)
＝200.9×10＝2 009.
(2)原式＝
解：
小试牛刀
6 △ABC 的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
△ABC 是等腰三角形．理由如下：
∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴(a－c )＋2b (a－c )＝0.
∴(a－c )(1＋2b )＝0，
故a＝c 或1＋2b＝0.
显然b≠－ ，∴a＝c，∴△ABC 为等腰三角形．
解：
小试牛刀
7 阅读下面分解因式的过程：
把多项式am＋an＋bm＋bn 分解因式．
解：方法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a (m＋n)＋b (m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
方法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝
m (a＋b)＋n (a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
根据你的发现，选择一种方法把下面的多项式分解因式：
(1)mx－my＋nx－ny；
(2)2a＋4b－3ma－6mb.
小试牛刀
(1)mx－my＋nx－ny
＝(mx－my )＋(nx－ny )
＝m (x－y )＋n (x－y )
＝(x－y )(m＋n)．
(2)2a＋4b－3ma－6mb
＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)
＝a (2－3m)＋2b (2－3m)
＝(2－3m)(a＋2b)．
解：
课堂小结
课堂小结
1、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
3、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉1；
（3）提出负号时，要注意变号.
同学们，
下节课见！
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