【班海精品】北师大版（新）八年级下-4.3公式法 第二课时【优质课件】

(共46张PPT)
3.公式法
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回忆完全平方公式：
新课精讲
探索新知
1
知识点
完全平方式的特征
我们把以上两个式子叫做完全平方式 .
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍
探索新知
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
探索新知
(1)不是完全平方式；(2)不是完全平方式；
(3)不是完全平方式；(4)是完全平方式．
(1)中b 不是数b 与1的乘积的2倍；
(2)中ab 不是a，b 乘积的2倍；
(3)中1与2a 的乘积的2倍没有出现；
(4)中a 是a 与 乘积的2倍．
判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b 2＋b＋1； (2)a 2－ab＋b 2；
(3)1＋4a 2； (4)a 2－a＋ .
例1
导引：
解：
探索新知
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
总 结
探索新知
错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间项的符号是负的情况，产生漏解．
因为x 2＋(m－3)x＋4＝x 2＋(m－3)x＋22，
x 2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝2x · 2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
若x 2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m 的值．
例2
错解：
错解解析：
探索新知
正确解法：
因为x 2＋(m－3)x＋4＝x 2＋(m－3)x＋22，
x 2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝±2x · 2.
所以(m－3)x＝±4x.
因此m－3＝±4.
所以m＝7或m＝－1.
探索新知
在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形，否则容易产生漏解．
总 结
典题精讲
1
下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是
完全平方式的多项式因式分解：
(1) x 2－x＋ ； (2) 9a 2b 2－3ab＋1；
(3) M 2＋3mn＋9n 2； (4) x 6－10x 2－25．
(1)是，x 2－x＋ ＝
(2)不是．
(3)是， m 2＋3mn＋9n 2＝
(4)不是．
解：
典题精讲
2
下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x 2＋x＋1 B．x 2＋2x－1
C．x 2－1 D．x 2－6x＋9
D
3
已知x 2＋16x＋k 是完全平方式，则常数k 等于(　　)
A．64 B．48
C．32 D．16
A
典题精讲
4
已知4x 2＋mx＋36是完全平方式，则m 的值为(　　)
A．8 B．±8
C．24 D．±24
D
探索新知
2
知识点
用完全平方公式分解因式
都是有3项
从每一项看：
从符号看：
带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从项数看：
用公式法正确分解因式关键是什么？
熟知公式特征！
探索新知
例3
把下列完全平方式因式分解：
(1)x 2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(1)x 2＋14x＋49
＝ x 2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ [(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
解：
探索新知
例4
计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
(2)(a 2－2)2－2a 2(a 2－2)＋a 4.
对于(1)可将202×196化为2×202×98，利用完全平方公式分解因式即可计算；
对于(2)利用完全平方公式分解因式，便可达到化简的目的．
导引：
探索新知
(1)原式＝2022＋2×202×98＋982
＝(202＋98)2
＝3002＝90 000.
(2)原式＝(a 2－2)2－2a 2(a 2－2)＋(a 2)2
＝(a 2－2－a 2)2
＝(－2)2＝4.
解：
探索新知
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想不到的解题效果．
总 结
典题精讲
1
把下列各式因式分解：
(1)x 2－12xy＋36y 2；
(2)16a 4＋24a 2b 2＋9b 4；
(3)－2xy－x 2－y 2；
(4)4－12(x－y )＋9(x－y )2.
典题精讲
(1) x 2－12xy＋36y 2＝(x－6y )2.
(2) 16a 4＋24a 2b 2＋9b 4＝(4a 2＋3b 2)2.
(3) －2xy－x 2－y 2＝－(2xy＋x 2＋y 2)
＝－(x 2＋2xy＋y 2)＝－(x＋y )2.
(4) 4－12(x－y )＋9(x－y )2＝[3(x－y )－2]2
＝(3x－3y－2)2.
解：
典题精讲
下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x 2＋1 B．x 2＋2x－1
C．x 2＋x＋1 D．x 2＋4x＋4
2
D
3　把多项式(a＋b)2－4(a 2－b 2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
典题精讲
4　把多项式x 2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　)
A．(x－3)2 　　　　 　B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) 　　　D．(x＋9)(x－9)
5　把2xy－x 2－y 2因式分解，结果正确的是(　　)
A．(x－y )2 B．(－x－y )2
C．－(x－y )2 D．－(x＋y )2
A
C
典题精讲
6　如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a 2，ab，ab，b 2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　)
A．a 2＋b 2　　
B．a＋b　　
C．a－b　　
D．a 2－b 2
B
探索新知
3
知识点
先提取公因式再用完全平方公式分解因式
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
探索新知
例5
把下列各式因式分解：
(1)3ax 2＋6axy＋3ay 2； (2)－x 2－4y 2＋4xy.
(1)3ax 2＋6axy＋3ay 2
＝ 3a (x 2＋2xy＋y 2)
＝3a (x＋y )2；
(2)－x 2－4y 2＋4xy
＝ －(x 2＋4y 2－4xy )
＝ －(x 2－4xy＋4y 2)
＝－[x 2－2·x · 2y＋(2y )2]
＝ －(x－2y )2.
解：
典题精讲
把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是(　　)
A．2a (4a 2－4a＋1) B．8a 2(a－1)
C．2a (2a－1)2 D．2a (2a＋1)2
1
C
若一个长方形的面积是x 3＋2x 2＋x (x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
2
x 2＋x
典题精讲
下列因式分解正确的是(　　)
A．a 4b－6a 3b＋9a 2b＝a 2b(a 2－6a＋9)
B．x 2－x＋ ＝
C．x 2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )
3
B
典题精讲
设681×2 019－681×2 018＝a，2 015×2 016－2 013×2 018＝b， ＝c，则a，b，c 的大小关系是(　　)
A．bC．b4
A
易错提醒
有下列式子：①－x 2－xy－y 2；② a 2－ab＋ b 2；③－4ab 2－a 2＋4b 4；④4x 2＋9y 2－12xy；⑤3x 2＋6xy ＋3y 2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有(　　)个．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
易错点：对完全平方式的特征理解不透导致出错
易错提醒
②④⑤能用完全平方公式分解因式．本题容易忽视②⑤，注意②提出 ，⑤提出3以后就能利用完全平方公式分解因式．
学以致用
小试牛刀
1
给多项式 x 8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是_____________________(写出一个即可)．
填空：x 2＋10x＋______＝(x＋______)2.
若代数式x 2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________.
2
3
4x 4(答案不唯一)
25
5
±10
小试牛刀
4 把下列各式分解因式：
(1)9x 2－6x＋1；
(2)(x＋y )2＋4(x＋y )＋4.
(1)原式＝(3x－1)2.
(2)原式＝(x＋y )2＋4(x＋y )＋22
＝(x＋y＋2)2.
解：
小试牛刀
5 把下列各式分解因式：
(1)(a 2－4)2＋6(a 2－4)＋9；
(2) (x 2＋16y 2)2－64x 2y 2；
(3)a 3－a＋2b－2a 2b；
(4)x 2－2xy＋y 2＋2x－2y＋1.
小试牛刀
(1)原式＝(a 2－4＋3)2＝(a 2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
(2)原式＝(x 2＋16y 2)2－(8xy )2
＝(x 2＋16y 2＋8xy )(x 2＋16y 2－8xy )
＝(x＋4y )2(x－4y )2.
(3)原式＝a (a 2－1)＋2b (1－a 2)＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)原式＝(x－y )2＋2(x－y)＋1＝(x－y＋1)2.
解：
小试牛刀
对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
小试牛刀
6 若ab＝ ，a＋b＝ ，求多项式a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．
解：
小试牛刀
7 已知x 2－y 2＝20，求[(x－y )2＋4xy ][(x＋y )2－4xy ]的值．
解：
小试牛刀
8 已知a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足(a＋b＋c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，试确定△ABC 的形状．
解：
小试牛刀
9 (1)实验与观察：(用“＞”“＝”或“＜”填空)
当x＝－5时，式子x 2－2x＋2________1；
当x＝1时，式子x 2－2x＋2________1.
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的．
(3)拓展与应用：求式子a 2＋b 2－6a－8b＋30的最小值．
＞
＝
小试牛刀
(2)发现x 2－2x＋2≥1.
证明：∵x 2－2x＋2＝x 2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1，
x 为任何实数时，(x－1)2≥0，
∴(x－1)2＋1≥1，即x 2－2x＋2≥1.
(3)a 2＋b 2－6a－8b＋30＝(a－3)2＋(b－4)2＋5.
∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋5≥5，
∴式子a 2＋b 2－6a－8b＋30的最小值是5.
解：
课堂小结
课堂小结
完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方．
即：a 2±2ab＋b 2＝(a±b)2.
同学们，
下节课见！
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