【班海精品】北师大版（新）八年级下-4.3公式法 第一课时【优质课件】

(共41张PPT)
3.公式法
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
1、什么叫把多项式分解因式？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法？
提公因式法
新课精讲
探索新知
1
知识点
直接用平方差公式分解因式
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a 2－b 2
整式乘法
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法.
a 2－b 2= (a+b)(a－b)
探索新知
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b 2
a 2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b 2
a 2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
探索新知
把下列各式因式分解:
(1)25－16x 2； (2)9a 2－ b 2.
例1
(1) 25－16x 2
＝ 52－(4x )2
＝(5＋4x )(5－4x )；
解：
(2)9a 2－ b 2
＝ (3a)2－( b)2
＝(3a＋ b)(3a－ b)
探索新知
利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
1. 找出公式中的a、b；
2. 转化成a 2－b 2的形式；
3. 根据公式a 2－b 2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
总 结
典题精讲
1
判断正误：
(1) x 2＋y 2＝( x＋y )( x＋y )； ( )
(2) x 2－y 2＝( x＋y )( x－y )； ( )
(3) －x 2＋y 2＝(－x＋y )(－x－y )； ( )
(4) －x 2－y 2＝－(x＋y )(x－y )； ( )
×
√
×
×
典题精讲
2
把下列各式因式分解：
(1) a 2b 2－m 2；
(2) (m－a)2－(n＋b)2；
(3) x 2－(a＋b－c )2；
(4) －16x 4＋81y 4.
(1)a 2b 2－m 2＝(ab＋m)(ab－m)．
(2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a)
－(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
解：
典题精讲
(3)x 2－(a＋b－c )2＝[x＋(a＋b－c )][x－(a＋b－c )]
＝(x＋a＋b－c )(x－a－b＋c )．
(4)方法一：－16x 4＋81y 4＝－(16x 4－81y 4)
＝－(4x 2＋9y 2)(4x 2－9y 2)
＝－(4x 2＋9y 2)(2x＋3y )(2x－3y )．
方法二：－16x 4＋81y 4＝81y 4－16x 4＝(9y 2＋4x 2)
(9y 2－4x 2)＝(9y 2＋4x 2)(3y＋2x )(3y－2x )．
典题精讲
3
如图，在一块边长为a cm的正方形
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm
的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？
剩余部分的面积为a 2－4b 2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a 2－4b 2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
＝5.2×2＝10.4(cm2)．
解：
典题精讲
4　下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－x 2＋y 2 B．x 2－(－y ) 2
C．－m 2－n 2 D．4m 2－ n 2
5　下列各式中，可用平方差公式分解因式的有(　　)
①－a 2－b 2；②16x 2－9y 2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m 2＋225n 2；⑤(6x )2－9(2y )2.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
C
B
典题精讲
6　 分解因式：16－x 2＝(　　)
A．(4＋x )(4－x ) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x )(8－x ) D．(4－x )2
7　 下列因式分解正确的是(　　)
A．x 2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x 2＋2x＋1＝x (x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m (x－6y )
D．2x＋4＝2(x＋2)
A
D
典题精讲
8
将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．a (a－1) B．a (a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
9　已知a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2
＝a 4－b 4，则△ABC 的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D
典题精讲
如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
10
a＋6
探索新知
2
知识点
先提取公因式再用平方差公式分解因式
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
探索新知
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2
＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)；
(2)2x 3－8x＝2x (x 2－4)
＝ 2x (x 2－22)
＝2x (x＋2)(x－2)
例2
解：
把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x 3－8x.
典题精讲
1
把x 3－9x 分解因式，结果正确的是(　　)
A．x (x 2－9) B．x (x－3)2
C．x (x＋3)2 D．x (x＋3)(x－3)
D
2
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x 3－x＝x (x 2－1)
B．x 2y－y 3＝y (x＋y )(x－y )
C．－m 2＋4n 2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p 2－27q 2＝3( p＋3q )( p－3q )
A
典题精讲
3
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x 2－y 2，a 2－b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x 2－y 2)a 2－(x 2－y 2)b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
C
典题精讲
4
n 是整数，式子 [1－(－1)n](n 2－1)计算的结果(　　)
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
C
易错提醒
1. 分解因式：(a＋b)2－4a 2.
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
(a＋b)2－4a 2＝(a＋b)2－(2a)2
＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．
解：
易错提醒
2. 分解因式： a 4－1.
易错点：分解不彻底导致出错
a 4－1
＝(a 2＋1)(a 2－1)
＝(a 2＋1)(a＋1)(a－1)．
解：
学以致用
小试牛刀
已知|x－y＋2|＋ ＝0，
则x 2－y 2的值为________．
若x 2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a 2－b 2的值是________．
1
2
3
－4
3
15
小试牛刀
4 把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
(2)x 4－81y 4；
(3)a 4－9a 2b 2;
(4)m 2x 4－16m 2y 4；
(5)2x 4－
(6)3(m＋n)2－27n 2.
小试牛刀
(1)原式＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
(2)原式＝(x 2＋9y 2)(x 2－9y 2)
＝(x 2＋9y 2)(x＋3y )(x－3y )．
(3)原式＝a 2(a 2－9b 2)
＝a 2(a＋3b)(a－3b)．
解：
小试牛刀
(4)原式＝m 2(x 4－16y 4)
＝m 2(x 2＋4y 2)(x 2－4y 2)
＝m 2(x 2＋4y 2)(x＋2y )(x－2y )．
(5)原式
(6)原式＝3[(m＋n)2－9n 2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n)
＝3(m＋4n)(m－2n)．
小试牛刀
5 计算：
(1)
(2)1 997 2－1 998 2＋1 999 2－2 000 2＋…＋2 017 2－2 018 2.
(1)原式
解：
小试牛刀
(2)原式＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋
2 000)×(1 999－2 000)＋…＋(2 017＋2 018)×
(2 017－2 018)
＝－(1 997＋1 998)－(1 999＋2 000)－…－
(2 017＋2 018)
＝－(1 997＋1 998＋1 999＋…＋2 017＋2 018)
＝－44 165.
小试牛刀
6 已知a，b，c 为△ABC 的三条边的长，求证：(a－c )2－b 2是负数．
∵a，b，c 为△ABC 的三条边的长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c )2－b 2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0，
∴(a－c )2－b 2是负数．
证明：
小试牛刀
7 (1)利用因式分解求证：25 7－512 能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
∵257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2
＝(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62 500
＝(57＋56)×2502，
∴257－512能被250整除．
(1)证明：
小试牛刀
233－2
＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数分别是17，15.
(2)解：
小试牛刀
8 (1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x 2－4y 2的值．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a 2－b 2的值．
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n 的值．
小试牛刀
(1)由2x＋4y＝5，得x＋2y ＝
∴x 2－4y 2＝(x＋2y )(x－2y )＝ ×3＝
(2)∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)∵(m＋2)2－(n＋2)2＝4，
∴(m＋2＋n＋2)(m＋2－n－2)＝4，
即(m＋n＋4)(m－n)＝4，
又∵m＋n＝0，∴m－n＝1，
∴m＝ ，n＝－
解：
小试牛刀
9 李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，….
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
小试牛刀
(1) 答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2) 任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3) 设m，n 为整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n) (m＋n＋1)．①当m，n 同是奇数或偶数时，m－n 一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n 是一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
解：
证明：
课堂小结
课堂小结
应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．
同学们，
下节课见！
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