【班海精品】北师大版（新）八年级下-4.3公式法 第三课时【优质课件】

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3.公式法
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1．如何找出多项式的公因式？
2．公式法的两种形式是什么？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
分组分解法
1.定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式 .
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解.而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
探索新知
(1)原式＝a (a－b)＋c (a－b)＝(a－b)(a＋c )．
(2)原式＝(x 3－x )＋(6x 2－6)＝x (x 2－1)＋6(x 2－1)
＝(x 2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；
(2)按系数特点分组，由系数特点知，第一、三项为一组，第二、四项为一组．
分解因式：
(1)a 2－ab＋ac－bc； (2)x 3＋6x 2－x－6.
例1
导引：
解：
探索新知
－x 2－2xy＋1－y 2
＝1－(x 2＋2xy＋y 2)
＝1－(x＋y )2
＝(1＋x＋y )(1－x－y )
按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
分解因式：－x 2－2xy＋1－y 2.
例2
导引：
解：
典题精讲
1　多项式x 2－4与x 2－4x＋4的公因式为(　　)
A．x＋4 B．x－4 C．x＋2 D．x－2
2　把多项式4x 2－2x－y 2－y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是(　　)
A．(4x 2－y )－(2x＋y 2) B．(4x 2－y 2)－(2x＋y )
C．4x 2－(2x＋y 2＋y ) D．(4x 2－2x )－( y 2＋y )
D
B
典题精讲
3 　将多项式a 2－9b 2＋2a－6b 分解因式为(　　)
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
D
4
分解因式x 2－2xy＋y 2＋x－y 的结果是(　　)
A．(x－y )(x－y＋1)
B．(x－y )(x－y－1)
C．(x＋y )(x－y＋1)
D．(x＋y )(x－y－1)
A
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x 2＋x； (2)xy 2－2xy＋2y－4；
(3)a 2－b 2＋2a＋1.
7
(1)原式＝(1＋x )＋(x 2＋x )
＝(1＋x )＋x (x＋1)
＝(1＋x )(1＋x )
＝(1＋x )2.
解：
典题精讲
(2)原式＝(xy 2－2xy )＋(2y－4)
＝xy ( y－2)＋2( y－2)
＝( y－2)(xy＋2)．
(3)原式＝(a 2＋2a＋1)－b 2
＝(a＋1)2－b 2
＝(a＋1＋b)(a＋1－b)
＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
探索新知
2
知识点
因式分解的方法
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
探索新知
例3
因式分解：
(1)x 2y 4－x 4y 2＝_________________________；
(2)2a 3－8a 2＋8a＝________________．
导引：
(1)首先提取公因式x 2y 2，再利用平方差公式进行分解即可．
(2)首先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行分解即可．
x 2y 2( y－x )( y＋x )　
2a (a－2)2
探索新知
一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
总 结
探索新知
例4
已知大正方形的周长比小正方形的周长长96 cm，
它们的面积差为960 cm2，求这两个正方形的边长．
设大正方形的边长为x cm，
小正方形的边长为y cm，
由题意建立方程组
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x 2－y 2＝(x＋y )(x－y )，再利用整体思想求
出x＋y 的值，从而转化为二元一次方程组求解．
导引：
探索新知
设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
由①得：x－y＝24，③
由②得：(x＋y )(x－y )＝960，④
把③代入④得：x＋y＝40，
由此可得方程组：
∴大正方形的边长为32 cm，小正方形的边长为8 cm.
解：
探索新知
有些题目在不能直接求解时，经常利用转化思想，把复杂的问题简单化，把未知转化为已知，从而使问题得到解决．
总 结
典题精讲
1 把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是(　　)
A．2(x 2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．
2 把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是(　　)
A．3x (x 2－4x＋4) B．3x (x－4)2
C．3x (x＋2)(x－2) D．3x (x－2)2
C
D
典题精讲
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是(　　)
A．a 2－1
B．a 2＋a
C．a 2＋a－2
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
3
C
学以致用
小试牛刀
1
分解因式：
(1) ac＋ad＋bc＋bd＝_________________；
(2) x 2－xy＋xz－yz＝_________________．
分解因式：
a 2－4ab＋4b 2－1＝________________________．
2
(a＋b)(c＋d )
(x－y )(x＋z )
(a－2b＋1)(a－2b－1)
小试牛刀
3　观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解：
甲：x 2－xy＋4x－4y＝(x 2－xy )＋(4x－4y )(分成两组)
＝x (x－y )＋4(x－y )(分别提公因式)
＝(x－y )(x＋4)．
乙：a 2－b 2－c 2＋2bc＝a 2－(b 2＋c 2－2bc )(分成两组)
＝a 2－(b－c )2(直接运用公式)
＝(a＋b－c )(a－b＋c )．
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m 3－2m 2－4m＋8；
(2)X 2－2xy＋y 2－9.
小试牛刀
(1) m 3－2m 2－4m＋8
＝m 2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m 2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x 2－2xy＋y 2－9
＝(x－y )2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
解：
小试牛刀
4 灵活运用各种方法对下列多项式因式分解．
小试牛刀
(1)原式
(2)原式
解：
小试牛刀
(3)设m 2－1＝a，则原式可化为a 2－6a＋9.
∵a 2－6a＋9＝(a－3)2，
∴原式＝(m 2－1－3)2
＝(m 2－4)2
＝(m＋2)2(m－2)2.
(4)原式
解：
小试牛刀
5 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x 2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x 2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x 2＋5x＋6＝x 2＋(2＋3)x＋2×3
＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x 2＋6x＋8＝(x＋___ )(x＋___ )；
(2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x－4＝0.
2
4
小试牛刀
(2)x 2－3x－4＝0，
(x－4)(x＋1)＝0，
x－4＝0或x＋1＝0，
x1＝4，x2＝－1.
解：
小试牛刀
6 先阅读下面的材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
小试牛刀
请你仿照以上方法，分解因式：
(1)x 2－6x－7；　　(2)a 2＋4ab－5b 2.
小试牛刀
解：
(1)
(2)
小试牛刀
7 下面是某同学对多项式(x 2－4x＋2)(x 2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x 2－4x＝y，则
原式＝( y＋2)( y＋6)＋4 (第一步)
＝y 2＋8y＋16 (第二步)
＝( y＋4)2 (第三步)
＝(x 2－4x＋4)2. (第四步)
小试牛刀
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)；
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：________．　
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m 2－2m)(m 2－2m＋2)＋1进行因式分解．
不彻底
(x－2)4
小试牛刀
(2)设m 2－2m＝y，则
原式＝y ( y＋2)＋1
＝y 2＋2y＋1
＝( y＋1)2
＝(m 2－2m＋1)2
＝(m－1)4.
解：
小试牛刀
8 阅读下面文字内容：对于形如x 2＋2ax＋a 2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x 2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x 2＋4x 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x 2＋4x－5＝(x 2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
小试牛刀
请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y )－2的值；
(2)求x 2＋8x＋7的最小值．
小试牛刀
(1)由x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，
得(x 2－8x＋16)＋(y 2＋12y＋36)＝0，
(x－4)2＋( y＋6)2＝0.
所以x－4＝0且y＋6＝0.解得x＝4，y＝－6.
所以(x＋y )－2＝[4＋(－6)]－2＝(－2)－2＝14.
(2)x 2＋8x＋7＝(x 2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.
因为(x＋4)2≥0，所以(x＋4)2－9≥－9.
所以x 2＋8x＋7的最小值是－9.
解：
课堂小结
课堂小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
同学们，
下节课见！
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