【班海精品】北师大版（新）八年级下-5.4分式方程 第二课时【优质课件】

(共58张PPT)
4.分式方程
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
解一元一次方程的一般步骤是什么？
复
习
回
顾
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
新课精讲
探索新知
什么是分式方程
回顾旧知
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
那这类方程该如何解呢？
这就是我们本节课要学习的内容.
探索新知
1
知识点
解分式方程
还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课
列出的分式方程 的解吗？
化成一元一次方程来求解.
探索新知
想一想：
解分式方程和解整式方程有什么区别？
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
探索新知
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程.
3、检验 .
4、写出原方程的根.
解分式方程的一般步骤：
探索新知
解方程
例1
解：
方程两边都乘x (x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代人原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边.
所以，x＝3是原方程的根.
探索新知
解分式方程：
(1)
(2)
例2
解分式方程的步骤：
①去分母，化分式方程为整式方程；
②解整式方程；
③检验，并写出原分式方程的根．
导引：
探索新知
(1)
方程两边都乘以最简公分母(x＋2)(x－2)．
得x＋2(x－2)＝x＋2，
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原分式方程的根．
解：
探索新知
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x (x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x 2＋2x－x 2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
解：
(2)
探索新知
(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母；
(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必不可少的步骤．
总 结
典题精讲
1
解方程：
方程两边都乘x (x－1)，得3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
解：
典题精讲
方程两边都乘2x－3，得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝1代入原方程，得左边＝4＝右边．
所以，x＝1是原方程的根．
解：
典题精讲
把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边
需同乘(　　)
A．x　　 B．2x　 　
C．x＋4　 　 D．x (x＋4)
2
D
典题精讲
解分式方程 ，去分母得(　　)
A．1－2(x－1)＝－3 　
B．1－2(x－1)＝3
C．1－2x－2＝－3 　
D．1－2x＋2＝3
3
A
典题精讲
4　已知分式方程　　　　　　　　 　下列说法错误的是(　　)
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程
2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
D
典题精讲
分式方程 的解为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．无解 D．x＝－2
5
C
探索新知
2
知识点
分式方程的根(解)
使分式方程两边相等的未知数的值是方程的解(根)，而分式方程的根要满足最简公分母不为0，否则，分母为零，则该方程无意义.
探索新知
分式方程无解有两种情形：
(1)分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，则原分式方程无解；
(2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
探索新知
已知关于x 的方程 的根是x＝1，求a 的值．
例3
根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a 的值．
导引：
把x＝1代入方程
解得a＝
经检验，a＝ 是分式方程 的解．
∴a 的值为
解：
探索新知
根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤不可缺少．
总 结
典题精讲
1
已知x＝3是分式方程 的解，那么实
数k 的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
D
2
关于x 的分式方程 有解，则字母a 的取值
范围是(　　)
A．a＝5或a＝0 B．a≠0
C．a≠5 D．a≠5且a≠0
D
典题精讲
3　若关于x 的分式方程 的解为非负数，则a 的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a＞1
C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
C
探索新知
3
知识点
分式方程的增根
议一议
在解方程 时，小亮的解法如下：
方程两边都乘 x－2，得
1－x＝－1－2(x－2 ).
解这个方程，得 x＝2.
你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流.
探索新知
在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我 们称它为原方程的增根.
归 纳
探索新知
增根产生的原因：
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
探索新知
解方程：
例4
方程两边都乘2x，得
960－600＝90x.
解这个方程，得 x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根.
解：
探索新知
已知关于x 的分式方程
(1)若此方程有增根1，求a 的值；
(2)若此方程有增根，求a 的值；
(3)若此方程无解，求a 的值．
例5
(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x (x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.
∴原分式方程的增根为1. ∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.
解：
探索新知
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，
则x (x－1)＝0，得x＝0或1.
把x＝0代入整式方程，a 的值不存在；
把x＝1代入整式方程，a＝1.
综合①②得：a＝－2或1.
探索新知
分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：
①把分式方程化为整式方程；
②令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；
③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值．
分式方程无解必须具备：最简公分母等于0或去分母后的整式方程无解．
总 结
典题精讲
1　下列关于分式方程增根的说法正确的是(　　)
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使分子的值为0的解就是增根
D．使最简公分母的值为0的解是增根
D
典题精讲
2
关于x 的分式方程 有增根，则m 的值为(　　)
A．1 B．3
C．4 D．5
C
3
若关于x 的分式方程 有增根，则它的
增根是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．1和－1
B
典题精讲
3　关于x 的方程 无解，则m 的值为(　　)
A．－5 B．－8
C．－2 D．5
A
易错提醒
1．解方程：
易错点：解分式方程后，忽略根的检验，未舍去增根
解：
易错提醒
解：
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根，有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
易错提醒
2．
易错点：讨论分式方程的解时，不考虑增根
易错提醒
解：
方程两边都乘(x－2)(x＋3)，整理得5x＝k－3，解得x＝
因为x＜0，所以 ＜0.解得k＜3.
又因为x≠2且x≠－3，即 ≠2且 ≠－3，所以k≠13且k≠－12.
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的解为负数．
易错提醒
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等于0.
学以致用
小试牛刀
1　关于x 的分式方程 下列说法正确的是(　　)
A．方程的解是x＝a－3
B．当a＞3时，方程的解是正数
C．当a＜3时，方程的解是负数
D．以上答案都正确
B
小试牛刀
2
若数a 使关于x 的分式方程
的解为正数，且使关于y 的不等式组
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a 的和为(　　)
A．10 B．12
C．14 D．16
A
小试牛刀
3
小试牛刀
解：
小试牛刀
技巧1 数形结合法
4 点A，B 在数轴上，它们表示的数分别是
且A，B 两点关于原点对称，求x 的值．
解：
由题意得
即
经检验，x＝ 是原方程的根，则分式方程的解为
x＝ .所以x 的值为
小试牛刀
技巧2 化分式为整数部分与分式部分的和
5 解方程：
解：
小试牛刀
去分母，得2(x＋1)(x＋3)＝2(x＋5)(x＋7)．
解得x＝－4.
经检验，x＝－4是原方程的根，
所以原方程的根是x＝－4.
小试牛刀
技巧3 换元法
6 解方程：
解：
令x－1＝m，
小试牛刀
小试牛刀
7
解：
方程两边同时乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)．
整理，得(1－a)x＝10.
若方程产生增根，则增根为x＝2或x＝－2，
且增根一定是整式方程(1－a)x＝10的解．
所以将x＝2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝－4，
将x＝－2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝6.
所以当a＝－4或a＝6时，原方程会产生增根．
小试牛刀
8 已知关于x 的分式方程
(1)若方程的增根为x＝1，求a 的值；
(2)若方程有增根，求a 的值；
(3)若方程无解，求a 的值．
小试牛刀
解：
(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
因为x＝1是原方程的增根，
所以(a＋2)×1＝3.解得a＝1.
(2)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
因为原分式方程有增根，所以x (x－1)＝0.
解得x＝0或x＝1.
因为x＝0不可能是整式方程(a＋2)x＝3的根，
所以原分式方程的增根为x＝1.
所以(a＋2)×1＝3.解得a＝1.
小试牛刀
(3)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解．此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原方程无解，则x (x－1)＝0.
解得x＝0或x＝1.
把x＝0代入整式方程，a 的值不存在；
把x＝1代入整式方程，得a＝1.
综合①②，得a＝－2或1.
课堂小结
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母：方程两边都乘以各分母的最简公分母，约去分母，化为整式方程；
(2)解这个整式方程，得到整式方程的根；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等于零的根不是原分式方程的根；
(4)写出分式方程的根．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）