【班海精品】北师大版（新）七下-1.5平方差公式【优质课件】

(共49张PPT)
1.5平方差公式
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)( m + n )
=am
+an
+bm
+bn
新课精讲
探索新知
1
知识点
平方差公式的特征
计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)；(2) (1+3a ) (1－3a )；
(3) (x+5y ) (x－5y )；(4)(2y+z ) (2y－z ) .
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
再举两例验证你的发现.
探索新知
平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= =_________.
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 .
(3)符号语言：(a+b)(a-b)= .
a 2-ab+ab -b 2
a 2-b 2
平方差
a 2-b 2
归 纳
探索新知
如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b 的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
例1
探索新知
导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a 2－b 2，
再计算图②中阴影部分面积为S2＝ (2b＋2a )
(a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．
解：(1) S1＝a 2－b 2，
S2＝ (2b＋2a )(a－b ) ＝(a＋b )(a－b )．
(2) (a＋b )(a－b )＝ a 2－b 2.
探索新知
总 结
图形面积相等是证明平方差公式的常用方法之一．
典题精讲
1
平方差公式(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2中的a，b (　　)
A．是数或单个字母
B．是单项式
C．是多项式
D．是单项式或多项式
D
典题精讲
下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n )(－m－n )
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a 2－b 2c )(bc 2＋5a 2)
D. ( m 2－ n 3)(－ m 2－ n 3)
2
D
探索新知
2
知识点
平方差公式
平方差公式：
(a+b)(a b)=
a 2 b 2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形：
1、(a – b ) ( a + b) = a 2－b 2
2、(b + a )(－b + a ) = a 2－b 2
探索新知
(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2
相同为a
相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个
多项式等等．
适当交换
合理加括号
探索新知
例2 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x )(5－6x )；(2) (x－2y )(x+2y )；
(3) (－m+n )(－m－n ) .
解：(1) (5+6x )(5－6x )= 52－(6x )2=25－36x 2；
(2) (x－2y )(x+2y )= x 2－(2y )2= x 2－4y 2 ；
(3) (－m+n )(－m－n ) = (－m )2－n 2 = m 2－n 2 .
探索新知
例3 利用平方差公式计算：
(1) ；(2) (ab+8)(ab－8) .
解：
(2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a 2b 2－64.
典题精讲
1
计算：
(1) (a+2) (a－2)； (2) (3a+2b ) (3a－2b )；
(3) (－x －1) (1－x ) ； (4) (－4k+3) (－4k－3).
(1)(a＋2)(a－2)＝a 2－22＝a 2－4.
(2)(3a＋2b )(3a－2b )＝(3a)2－(2b)2＝9a 2－4b 2.
(3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1)
＝(－x )2－12＝x 2－1.
(4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k )2－32＝16k 2－9.
解：
典题精讲
2
已知a＋b＝3，a－b＝1，则a 2－b 2的值为________．
下列运算正确的是(　　)
A．x 3＋x 5＝x 8
B．x 3＋x 5＝x 15
C．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
D．(2x )5＝2x 5
3
3
C
典题精讲
4
下列运算正确的是(　　)
A．3x＋2y＝5xy
B．(m 2)3＝m 5
C．(a＋1)(a－1)＝a 2－1
D. ＝2
C
典题精讲
5
下列计算正确的是(　　)
A．b 3·b 3＝2b 3
B．(a＋2)(a－2)＝a 2－4
C．(ab 2)3＝ab 6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
B
典题精讲
6
若(2x＋3y )(mx－ny )＝9y 2－4x 2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 　　　
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 　　
D．m＝－2，n＝3
B
典题精讲
7
若x，y 满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x 2－y 2的值为(　　)
A．14 B．－14
C．45 D．－45
D
典题精讲
8
如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(　　)
A．a 2＋b 2＝(a＋b)(a－b)
B．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2
D．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2
B
探索新知
3
知识点
利用平方差公式简便计算
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
7×9=
8×8=
11×13=
12×12=
79×81=
80×80=
探索新知
例4 用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
解：(1)103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；
(2)118×122
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .
探索新知
例5 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
(3) 40 ×39 .
导引：在(1)中，2 014与2 016都与2 015相差1，即
2 014＝2 015－1，2 016＝2 015＋1；在(2)中1.03与
0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；
在(3)中40 与39 都与40相差 ，即40 ＝40＋ ，
39 ＝40－ ，因此可运用平方差公式进行计算．
探索新知
解：(1)原式 ＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152
＝2 0152－1－2 0152＝－1；
(2)原式 ＝(1＋0.03)(1－0.03) ＝12－0.032
＝1－0.000 9＝0.999 1；
(3)原式
探索新知
总 结
本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解．
探索新知
例6 计算：
(1) a 2(a+b)(a-b) +a 2b 2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
解：(1) a 2(a+b)(a-b) +a 2b 2；
=a 2(a 2-b 2) +a 2b 2
=a 4-a 2b 2 +a 2b 2
=a 4 ；
(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x )2-25-(4x 2 -6x )
= 4x 2-25-4x 2 +6x
= 6x-25
典题精讲
1
(1)704×696＝(700＋4)(700－4)＝7002－42＝489 984.
(2)(x＋2y )(x－2y )＋(x＋1)(x－1)＝x 2－4y 2＋x 2－1
＝2x 2－4y 2－1.
(3)x (x－1)－ ＝x 2－x－
＝x 2－x－x 2＋ ＝－x＋ .
解：
(1) 704×696 ；(2) (x+2y ) (x－2y )+(x+1)(x－1)；
(3) x (x－1)－(x－ )(x+ ) .
典题精讲
2
计算2 0162－2 015×2 017的结果是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．－2
A
3
(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12
＝250 000－1＝249 999.
(2)60 ×59 ＝ ×(60－ )＝602－
＝3 600－ ＝3 599 .
解：
计算：
(1)499×501；(2)60 ×59 ；
典题精讲
(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001
＝(1002－1)×10 001
＝9 999×10 001
＝(10 000－1)×(10 000＋1)
＝10 0002－1
＝99 999 999.
解：
(3)99×101×10 001.
易错提醒
下列运算正确的是(　　)
易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错
D
学以致用
小试牛刀
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b )(－2a＋b )
B．(a＋2)(2＋a )
C．(－a＋b )(a－b )
D．(a＋b 2)(a 2－b )
A
1
小试牛刀
如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)
A．a 2＋4　　　　　　　
B．2a 2＋4a
C．3a 2－4a－4
D．4a 2－a－2
C
2
小试牛刀
3
先化简，再求值：
(2＋x )(2－x )＋(x－1)(x＋5)，其中x＝
原式＝4－x 2＋x 2＋4x－5＝4x－1.
当x＝ 时，原式＝6－1＝5.
解：
小试牛刀
4
把b－c＝2，a＋c＝14相加得a＋b＝16，
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
解：
小试牛刀
5
已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：
小试牛刀
6
探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是___________ (写成两数平方差的形式)；
(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是________________ (写成多项式乘法的形式)；
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式____________________________．
a 2－b 2
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2
小试牛刀
7
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
(1)
(2)
解：
小试牛刀
8
先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1.
问题：计算
(1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(364＋1)－ ；
(2)
小试牛刀
(1)原式
解：
小试牛刀
(2)原式
小试牛刀
9 (1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a 2－b 2；
(a－b)(a 2＋ab＋b 2)＝a 3－b 3；
(a－b)(a 3＋a 2b＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4；
…
可得到(a－b)(a 2 016＋a 2 015 b＋…＋ab 2 015＋b 2 016)＝_________________.
(2)猜想：
(a－b)(a n－1＋a n－2 b＋…＋ab n－2 ＋b n－1 )＝________(其中n 为正整数，
且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
a 2 017－b 2 017
a n－b n
小试牛刀
(3) 29－28＋27－…＋23－22＋2
＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]
＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1
＝ (210－1)＋1
＝342.
解：
课堂小结
课堂小结
1. 平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并
且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相
反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反
数的项的平方．
2. 公式(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2中的字母a，b 可以是单
项式，也可以是多项式．
3. 平方差公式可以逆用：a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)．
同学们，
下节课见！
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