【班海精品】北师大版（新）七下-1.6完全平方公式 【优质课件】

(共50张PPT)
1.6完全平方公式
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们上一节学方差公式即(a+b)(a-b)=a 2-b 2，现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这节课要研究的新问题．
新课精讲
探索新知
1
知识点
完全平方公式的特征
探究
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = .
(2) (m+2)2 = .
(3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = .
(4) (m－2)2 = .
p 2+2p+1
m 2+4m+4
m 2 －4m+4
p 2－2p+1
探索新知
我们来计算下列(a+b)2，(a － b)2 .
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a 2+ab+ab+b 2
=a 2+2ab+b 2.
(a－b)2 = (a－b)(a－b)
=a 2 －ab －ab+b 2
= a 2 －2ab+b 2.
探索新知
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2 = a 2+2ab+b 2.
(a－b)2 = a 2－2ab+b 2.
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的
平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
探索新知
公式的特点：
4.公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项式.
(a+b)2= a 2 +2ab+b 2
(a-b)2= a 2 - 2ab+b 2
1.积为二次三项式；
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
归 纳
探索新知
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；(2) (4x+5y )2 ；(3) (mn－a )2 .
解： (1) (2x－3)2 = (2x )2－2·2x ·3+32
= 4x 2－12x + 9；
(2) (4x+5y )2 = (4x )2 +2·4x ·5y+ (5y )2
= 16x 2 +40xy+ 25y 2 ；
(3) (mn－a )2 = (mn)2－2·mn ·a+a 2
= m 2n 2－2amn+a 2.
探索新知
例2 利运用完全平方公式计算：
(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n )2；(3)
导引：先将算式利用(a－b )2＝(b－a )2，(－a－b )2
＝ (a＋b )2化为两数和或差的平方形式，再利
用完全平方公式计算．
解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x )2－2·2x ·5＋52
＝4x 2－20x＋25；
(2)原式＝(m＋2n )2＝m 2＋2·m ·2n＋(2n )2
＝m 2＋4mn＋4n 2；
(3)原式＝
探索新知
总 结
在应用公式 (a±b)2＝a 2±2ab＋b 2 时关键是弄清题目
中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，
同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的
完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两
数的平方相等．
典题精讲
1
若代数式x 2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝_____________．
若x 2＋6x＋k 是完全平方式，则k 等于(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．±3
2
10或－10
A
典题精讲
3
小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 2－10ab＋■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(　　)
A．5b B．5b 2
C．25b 2 D．100b 2
C
探索新知
2
知识点
完全平方公式
两数和的完全平方公式：
两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍
两数差的完全平方公式：
两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍
探索新知
b
b
a
a
(a+b)
a
b
ab
ab
+
+
两数和的完全平方公式：
探索新知
(a+b)
a
a
b
b
两数差的完全平方公式：
(a－b)
ab
ab
b 2
探索新知
例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；
(2)(a－b)2·(a＋b)2；
(3)(x＋y )(－x＋y )(x 2－y 2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(a－b )，(a＋b )分别看作一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式进行计算．
探索新知
(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1)
＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1
＝－5x 2－10x；
(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2
＝(a 2－b 2)2＝a 4－2a 2b 2＋b 4；
(3)原式＝－(x＋y )(x－y )(x 2－y 2)
＝－(x 2－y 2)2＝－(x 4－2x 2y 2＋y 4)
＝－x 4＋2x 2y 2－y 4.
解：
探索新知
例4 计算：
(1) (x+3)2－x 2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x 2= x 2+6x+9－x 2 =6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32 =a 2+2ab+b 2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x 2+10x+25－(x 2－5x+6)
= x 2+10x+25－x 2+5x－6
= 15x+19 .
探索新知
总 结
本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．
典题精讲
1
计算：
(1) ；(2) ；(3) (n+1)2－n 2 .
(3)(n＋1)2－n 2＝(n 2＋2n＋1)－n 2＝2n＋1.
解：
典题精讲
在下列计算中，正确的是(　　)
A．m 3＋m 2＝m 5
B．m 5÷m 2＝m 3
C．(2m)3＝6m 3
D．(m＋1)2＝m 2＋1
2
B
典题精讲
3
C
计算(－a－b)2等于(　　)
A．a 2＋b 2
B．a 2－b 2
C．a 2＋2ab＋b 2
D．a 2－2ab＋b 2
探索新知
3
知识点
完全平方公式的应用
例5 已知a 2＋b 2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a 2＋b 2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a 2＋b 2－2ab＝13－2×6＝1.
探索新知
总 结
在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公
式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a 2＋b 2；(2)(a－b)2
＋2ab＝a 2＋b 2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a 2＋b 2)；
(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的
计算问题，培养综合运用知识的能力．
典题精讲
利用整式乘法公式计算：
(1)962；(2)(a－b－3) (a－b＋3)．
1
(1)962＝(100－4)2
＝1002－2×100×4＋42
＝9 216.
(2)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－32
＝a 2－2ab＋b 2－9.
解：
典题精讲
2
若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A 为(　　)
A．2ab B．－2ab
C．4ab D．－4ab
若(x＋3)2＝x 2＋ax＋9，则a 的值为(　　)
A．3 B．±3
C．6 D．±6
3
C
C
典题精讲
4
已知x－y＝7，xy＝2，则x 2＋y 2的值为(　　)
A．53 B．45
C．47 D．51
若a＋b＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．－1
5
A
B
典题精讲
6
若a－b＝1，ab＝6，则a＋b 等于(　　)
A．5 B．－5
C．± D．±5
已知a＋ ＝4，则a 2＋ 的值是(　　)
A．4 B．16
C．14 D．15
7
D
C
典题精讲
8
若x 2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值为(　　)
A．－6 B．6
C．18 D．30
B
若x＋y＝10，xy＝1，则x 3y＋xy 3的值是________．
9
98
典题精讲
如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(　　)
A．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2
B．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2
C．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
D
10
典题精讲
利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y )2－4(x＋y )(x－y )＋4(x－y )2；
11
(1)原式＝x 2＋2xy＋y 2－4(x 2－y 2)＋4(x 2－2xy＋y 2)
＝x 2－6xy＋9y 2.
解：
典题精讲
(2)
(3)2 0162－4 032×2 015＋2 0152.
(3)原式＝2 0162－2×2 016×2 015＋2 0152
＝(2 016－2 015)2＝1.
解：
易错提醒
已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b 等于(　　)
A．1　 B．－1　
C．1或－1　 D．以上都不正确
易错点：对完全平方公式的特征理解不透导致漏解
C
学以致用
小试牛刀
下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c )2＝b 2－16c 2；
②(a－2bc )2＝a 2＋4abc＋4b 2c 2；
③(x＋y )2＝x 2＋xy＋y 2；
④(4m－n)2＝16m 2－8mn＋n 2.
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
A
1
小试牛刀
下列计算正确的是(　　)
A．(a＋2)(a－2)＝a 2－2
B．(a＋1)(a－2)＝a 2＋a－2
C．(a＋b)2＝a 2＋b 2
D．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2
D
2
小试牛刀
3
(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y )＋4＝12.
因为x＋y＝3，
所以xy＋2×3＋4＝12.
所以xy＝2.
(2)因为x＋y＝3，xy＝2，
所以x 2＋y 2＝(x＋y )2－2xy＝9－4＝5.
所以x 2＋3xy＋y 2＝5＋3×2＝11.
解：
小试牛刀
4
小试牛刀
小试牛刀
(1)原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，
所以x＝－2，y＝4.
所以
(2)
小试牛刀
(3)
小试牛刀
(4)
小试牛刀
5
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数
学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如
图所示的三角形解释二项和(a＋b)n 的展开式的各项系数，此
三角形称为“杨辉三角”．
小试牛刀
(a＋b)0………………　①
(a＋b)1……………　①　①
(a＋b)2…………　①　②　①
(a＋b)3………　①　③　③　①
(a＋b)4……　①　④　⑥　④　①
(a＋b)5…　①　⑤　⑩　⑩　⑤　①
……　　　　　　　……
小试牛刀
根据“杨辉三角”请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为(　　)
A．2 017　　 　B．2 016　　　
C．191　 　　D．190　
D
课堂小结
课堂小结
1. 完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右
边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项
的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，
可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”．
2．完全平方公式常见的变形公式有：
(1) a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab .
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）