专项训练 在不同几何背景下探索矩形成立的条件（含答案）

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专项训练
在不同几何背景下探索矩形成立的条件
背景一：在三角形中判定矩形
1.如图,在△ABC中,点O是边AC 上的一个动点，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.
(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形 请说明理由.
背景二：在平行四边形中判定矩形
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB,OD的中点,延长AE至点G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形 请说明理由.
背景三：在菱形中判定矩形
3.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠DAB=30°,E是AD的中点,点M 是AB边上的一个动点(不与点A重合)，连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD,AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形 请说明理由.
背景四：在一般四边形中判定矩形
4.如图,在四边形ABCD中,H是BC的中点,作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.
(1)请添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是 ,并证明.
(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形 请说明理由.
参考答案
1.解:(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交外角∠ACD的平分线于点F,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.
∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°.
在Rt△ECF中,由勾股定理得EF=
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.理由：如图,连接AE,AF,当O为AC的中点时,AO=CO.
∵EO =FO,∴四边形AECF是平行四边形.∵∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形.
2.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB ∥CD,OB=OD,OA=OC,∴∠ABE=∠CDF.∵点E,F 分别为OB,OD的中点,
∴BE=DF.在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由:∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA.
∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,∴∠OEG=90°.
同理,CF⊥OD,∴AG∥CF,∴EG∥CF.
∵EG=AE,OA=OC,∴OE是△AGC的中位线,∴OE∥CG,即EF∥CG,∴四边形EGCF是平行四边形.∵∠OEG=90°,∴四边形EGCF是矩形.
3.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,即ND∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
∵E是AD 的中点,∴DE=AE.
在△NDE和△MAE中, MA,
∴四边形AMDN是平行四边形.
(2)解:当AM= 时，四边形AMDN是矩形.
理由：∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4.
∵四边形AMDN是矩形,∴∠AMD=90°.
在Rt△AMD中,∵∠DAB=30°,∴MD=
4.解:(1)示例:EH=FH.
证明:∵点H是BC的中点,∴BH = CH.
在△BEH和△CFH中,
(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形.
理由:连接CE,BF.
∵BH=CH,EH=FH,∴四边形BFCE是平行四边形.
∵BH=CH,EH=FH,BH=EH,∴BC=EF,∴四边形BFCE是矩形.
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