6.3正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
基础闯关
知识点一：正方形的定义与对称性
1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
2.如图，在正方形ABCD 中，以点A为顶点作等边三角形AEF，交BC 边于点E，交DC边于点F，若△AEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 .
知识点二：正方形边的性质
3.如图,在正方形ABCD中,A,B,C 三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是( )
A.( -6,2) B.( 0,2) C.( 2,0) D.(2,2)
4.如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图②放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图②中阴影部分的面积为 .
知识点三：正方形角的性质
5.(1)如图①,在正方形ABCD的外侧作等边△ABE,则∠BED=( )
A.15° B.35° C.45° D.55°
(2)如图②，在正方形ABCD的内部作等边△DCE,则∠BAE的度数是 .
(3)以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE,则∠BEC的度数是 .
6.如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点,CF与BD交于点E.若∠BCF=25°,则∠AED的度数为 .
7.如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形CDE，连接AE并延长与对角线BD相交于点F,则∠AFB= °.
能力提升
【遇中点，构造中位线】
8.如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点,GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连接EF,设M,N分别是AB,BG的中点,若EF=5,则MN的长为 .
9.如图，已知点E在正方形ABCD 的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .
【正方形与最短路径】
10.(1)如图①,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB 上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF+PE的最小值为 .
(2)如图②,正方形ABCD的面积是2,E,F,P分别是AB,BC,AC上的动点,PE+PF的最小值等于 .
11.在正方形ABCD中,对角线BD 所在的直线上有两点E，F，满足BE=DF，连接AE,AF,CE,CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
培优创新
12.如图,矩形DEFG中,DE=10,EF=11,在矩形DEFG的内部作Rt△ABC,并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI，LM和点K，J都恰好在矩形DEFG的边上时,△ABC的面积为( )
A.6
参考答案
1.C 2.1 3.B 5.(1)C (2)15° (3)30°或150°
6.70° 7.120 8.2.5
[解析]过点P作MN∥AD,交AB于点M，交CD于点N，如图所示.
∵四边形ABCD为正方形,∴MN⊥AB,∴PM≤PE(当PE⊥AB时取等号),PN≤PF(当PF⊥BC时取等号),∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF.
∵正方形ABCD的面积是2,∴AD= 的最小值为
11.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠ABE=∠ADF.
在△ABE和△ADF中, (SAS).
(2)解:四边形AECF是菱形.理由:如图,连接AC交EF于点O.
∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,∴OB+BE=OD+DF,即OE =OF.
∵OA=OC,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
12.A [解析]如图,延长CA交GF于点R,延长CB交EF于点Q.
∵四边形ACML,ABJK是正方形,∴AC=CM,CM⊥GD,AB=BJ,∠ABJ=90°.
∵四边形DEFG是矩形,∴GD∥EF,∴MC⊥EF,即MQ⊥EF,∴∠BQJ=∠ACB=90°=∠ABJ,
∴∠ABC+∠BAC=90°=∠ABC+∠QBJ,∴∠BAC=∠QBJ.
在△ABC和△BJQ中, (AAS),∴AC=BQ.
同理可证:AR=BC.∵AC+CH+AR=11,MC+BC+BQ=10,∴AC+2BC=11,2AC+
3×4=6.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)