6.3正方形的性质与判定 第3课时 正方形的性质与判定的综合应用 同步练习（含答案）

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第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第3课时 正方形的性质与判定的综合应用
基础闯关
知识点一：在正方形中解决问题的一般思路
思路1：寻找相等的边，利用等腰三角形的性质解决问题
1.如图，以正方形ABCD的对角线AC为边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G,则∠FGC=( )
A.67.5° B.45° C.60° D.75°
2.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE,AC与BE交于点F,则∠AFE= .
思路2：先确定或构造正方形中的垂直关系，再解决问题
3.如图，正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF 的中点,连接GH,则GH的长为( )
4.如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接EG并延长交BD于点N，交AD于点M,则线段MN的长是 .
知识点二：正方形性质的综合应用
应用1：利用正方形的性质证明线段相等
5.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为点M,AM 与BD相交于点F.求证:OE=OF.
应用2：利用正方形的性质判定线段的数量与位置关系
6.如图，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE 交CD于点F.猜测PC和PE的数量及位置关系，并给出证明.
能力提升
素养提升
【构造法在正方形中的应用】
方法1：构造直角三角形斜边上的中线
7.如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上,DE=2,作EF∥BC,分别交AC,AB于点G,F,M,N分别是AG,BE的中点,则MN的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
方法2：构造三角形的中位线
8.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为4的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB,CK=1.线段KG的中点为M,DH 的中点为N,则线段MN的长为( )
【辅助线在正方形中的应用】
方法1：连接法
9.如图，把正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H.求证:HG=HB.
方法2：作垂线法
10.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上,点F在边CD上(点F与点C,D不重合),BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证:四边形ABCD是正方形.
方法3：已知线段的和，用延长法
11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,EF,AF,若DF+BE=EF,求∠EAF的度数.
方法4：求证线段的和，用截取法
12.如图,正方形ABCD中,点F在CD的延长线上,点E在BC的延长线上,∠EAF=45°.求证:BE=EF+DF.
培优创新
【模型观念——正方形中的“对角互补”模型】
13.(1)如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.有下列结论：
①△COE≌△DOF;②CF=BE;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的④OF +OE =EF .
其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.③④
(2)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，直角∠MON的两边分别交AD,CD于点M,N.
①若AM=5,CN=2,则正方形ABCD的面积为 .
②若四边形MOND的面积是1，则AB的长为 .
(3)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点 分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )
A.n B.n-1
(4)如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F 分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为 .
参考答案
1.A 2.120° 3.B
[解析]∵BD和EG分别为正方形ABCD和CEFG的对角线,
∴∠DGN=∠CGE=∠NDG=45°,∴∠DNG=90°,即DN⊥MG.
又∵BD平分∠ADC,∴N为MG的中点.
∵CD=4,CG=2,∴DG=2,∴DM=2,∴MG=
5.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO,
∴△BOE≌△AOF(AAS),∴OE=OF.
6.解:PC=PE,PC⊥PE.证明:由正方形的轴对称性质可得∠PAD=∠PCD,PA=PC.
∵点P位于AE的垂直平分线上,∴PA=PE,∴PC=PE.
∵PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴∠PCD=∠E.∵∠PFC=∠DFE,∴∠CPF=∠FDE.
∵∠ADC=90°,∴∠FDE=90°,∴∠CPF=90°,∴PC⊥PE.
7.B [解析]如图,连接FM,FC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°.
∵EF∥BC,∴∠BFE+∠ABC=180°,∴∠BFE=90°,∴四边形BCEF为矩形.
∵N是BE的中点,四边形BCEF为矩形,∴点N为FC 的中点,BE=FC.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°.
又∵∠AFG=90°,∴△AFG为等腰直角三角形.
∵M 是AG的中点,∴AM=MG,∴FM⊥AG,∴△FMC为直角三角形.
∵点N为FC的中点，
∵四边形ABCD是边长为8的正方形,DE=2,∴BC=CD=8,CE =6.
在Rt△BCE中,由勾股定理得BE=10,∴FC=10,
8.D [解析]如图，连接GN并延长，交CD的延长线于点P,连接KP.
∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形,EF∥AB,∴∠C=90°,EF∥GH∥CD∥AB,
∴∠HGN =∠DPN,且DN=NH,∠DNP=∠GNH,∴△DNP≌△HNG(AAS),
∴DP=GH=1,PN=GN,∴CP=5.∴在Rt△CPK中,
证明:如图,连接AH.由题意知∠B=∠G=90°,AG=AB.
在Rt△AGH和Rt△ABH中, ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),∴HG=HB.
10.证明:如图,作EM⊥BC于点M.∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴EM∥AB,∴∠ABE=∠BEM,∠BAC=∠CEM.∵∠ABE+∠CEF=45°,∴∠BEM+∠CEF=45°.∵BE⊥EF,∴∠CEM=45°=∠BAC,∴∠BAC=∠ACB=45°,∴AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.
11.解:如图,延长CB到点G,使BG=DF.
∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABE=90°,∴∠ABG=∠D=90°.
在△ADF与△ABG中, ∴△ADF≌△ABG(SAS),∴AG=AF,∠GAB=∠DAF.
∵DF+BE=EF,EG=BG+BE=DF+BE,∴EG=EF.
在△AGE与△AFE中, ∴△AGE≌△AFE(SSS),
∴∠GAE=∠EAF,∴∠GAE =∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠EAF.
∵∠BAD=90°,∴∠EAF=45°.
12.证明:如图,在BE上取一点G,使BG=DF.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠B=∠ADC=∠ADF=90°.
在△ADF和△ABG中 ≌△ABG(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∵∠BAG+∠DAG=90°,∴∠DAF+∠DAG=90°,即∠FAG=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,∴∠GAE=∠FAE.
在△AFE和△AGE 中,
∴EF=EG,∴EF+DF=EG+BG=BE,∴BE=EF+DF.
13.(1)A (2)①49 ②2 (3)B
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