余弦函数的单调性
一、选择题（共20小题）
1、下列函数，在上是增函数的是（ ）
A、y=cos2x B、y=cosx
C、y=sin2x D、y=sinx
2、下列函数中，在区间（0，）上是减函数的是（ ）
A、y=cosx B、y=sinx
C、y=x2 D、y=2x+1
3、函数f（x）=lg（sin2x﹣cos2x）的定义城是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、函数的一个单调递减区间是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、）
C、[] D、[]
5、若α、β都是第四象限角，且α＜β，以下正确的结论是（ ）
A、cosα＞cosβ B、cosα＜cosβ
C、cosα=cosβ D、cosα，cosβ的大小不能确定
6、设，，，则a，b，c的大小是（ ）
A、b＞c＞a B、a＞b＞c
C、c＞b＞a D、a＞c＞b21世纪教育网版权所有
7、下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（ ）
A、y=cos2x B、y=|sin2x|
C、y=|cosx| D、y=|sinx|
8、下列命题中真命题是（ ）
A、y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
B、终边在y轴上的角的集合是；
C、在同一坐标系中，y=sinx的图象和y=x的图象有三个公共点；
D、在[0，π]上是减函数
9、下列函数中，在区间上为增函数且以π为周期的函数是（ ）
A、 B、y=sinx
C、y=﹣tanx D、y=﹣cos2x
10、同时具有性质：“（1）最小正周期是π；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、满足函数y=sinx和y=cosx都是增函数的区间是（ ）21世纪教育网版权所有
A、，k∈Z
B、，k∈Z
C、，k∈Z
D、，k∈Z
12、使函数y=sinx递减且函数y=cosx递增的区间是（ ）
A、
B、
C、
D、
13、若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、cosx
C、sinx D、﹣cosx
15、函数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、非奇非偶函数
B、仅有最小值的奇函数
C、仅有最大值的偶函数
D、既有最大值又有最小值的偶函数
16、函数y=cos2x在下列哪个区间上是减函数（ ）
A、[﹣，] B、[，]
C、[0，] D、[，π]
17、函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A、（，） B、（π，2π）
C、（，） D、（2π，3π）
18、已知函数，下面结论错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、函数f（x）的最小正周期为π
B、函数f（x）是奇函数
C、函数f（x）的图象关于直线对称
D、函数f（x）在区间上是减函数
19、若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ）
A、{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}
B、{x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}
C、{x|kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z}
D、{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}
20、函数是（ ）
A、上是增函数
B、[0，π]上是减函数21世纪教育网版权所有
C、[﹣π，0]上是减函数
D、[﹣π，π]上是减函数
二、填空题（共5小题）
21、求f（x）=的定义域 _________
22、（1）已知的定义域为 _________ ．
（2）设f（2sinx﹣1）=cos2x，则f（x）的定义域为 _________ ．
23、函数y=lgsinx+的定义域为 _________ ．21世纪教育网版权所有
24、函数的定义域是 _________ ．
25、使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、求下列函数的定义域21世纪教育网版权所有
（1）；
（2）
27、（1）已知f（x）的定义域为[0，1），求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域．
28、求函数的值域．
29、已知函数y=2﹣sin2x+cosx，求函数的值域．并指出函数取得最大值时相应的x的值．
30、给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x﹣1，f2（x）=，f3（x）=2x﹣1，f4（x）=cosx．；21世纪教育网版权所有
（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列函数，在上是增函数的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=cos2x B、y=cosx
C、y=sin2x D、y=sinx
考点：函数单调性的判断与证明；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：由正弦函数，余弦函数的单调性，通过整体代换即可的y=sin2x，y=cos2x的单调区间．
解答：解：∵y=cosx在[0，2π]的增区间为[π，2π]，
∴y=cos2x中π≤2x≤2π，
解得：
∴函数y=cos2x的增区间为21世纪教育网版权所有
故选A
点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，同时考查了正余弦函数的单调性，是个基础题．
2、下列函数中，在区间（0，）上是减函数的是（ ）
A、y=cosx B、y=sinx
C、y=x2 D、y=2x+1
3、函数f（x）=lg（sin2x﹣cos2x）的定义城是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
考点：对数函数的定义域；余弦函数的单调性。
分析：据对数的真数大于0，列出不等式；利用二倍角的余弦公式可得cos2x＜0，所以，+2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，从而得到x的范围．21世纪教育网版权所有
解答：解：由sin2x＞cos2x得cos2x﹣sin2x＜0，即cos2x＜0，所以，+2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，
∴kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，
故选D．
点评：本题考查二倍角的余弦公式的应用，以及余弦函数的图象性质．解答关键是利用二倍角公式化简不等关系式cos2x﹣sin2x＜0．
4、函数的一个单调递减区间是（ ）
A、 B、）
C、[] D、[]
考点：对数函数的单调性与特殊点；余弦函数的单调性。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：利用直接法求解．为了求函数的一个单调递减区间，必须考虑到1﹣2cos2x＞0并且使得内函数u=1﹣2cos2x是增函数才行，据此即可求得单调区间，从而选出答案．
解答：解：∵1﹣2cos2x＞0且使得函数u=1﹣2cos2x是增函数，
∴+2kπ＜2x≤π+2kπ （k∈Z）
取k=0，∴，
故选D．
点评：本题主要考查了对数函数的单调性与余弦函数的单调性，属于基础题．
5、若α、β都是第四象限角，且α＜β，以下正确的结论是（ ）
A、cosα＞cosβ B、cosα＜cosβ
C、cosα=cosβ D、cosα，cosβ的大小不能确定
考点：象限角、轴线角；余弦函数的单调性。
分析：利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，从而得到符合条件的选项．
解答：解：当 α=﹣，β=时，cosα=cosβ，由此排除A 和B．
当 α=﹣，β=2π﹣时，cosα＞cosβ，故排除C．
综上，cosα，cosβ的大小不能确定，
故选D．
点评：本题考查余弦函数的单调性，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法．21世纪教育网版权所有
6、设，，，则a，b，c的大小是（ ）
A、b＞c＞a B、a＞b＞c
C、c＞b＞a D、a＞c＞b
7、下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（ ）
A、y=cos2x B、y=|sin2x|
C、y=|cosx| D、y=|sinx|
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据题意，利用周期排除B，利用（0，）上的增函数，排除A、C，即可推出结果．
解答：解：π为周期的偶函数，y=|sin2x|的周期是，排除B；
y=cos2x在（0，）上是减函数，A不正确；
y=|cosx|在（0，）上是减函数，C不正确；
故选D．
点评：本题考查正弦函数的单调性，余弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
8、下列命题中真命题是（ ）
A、y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π； B、终边在y轴上的角的集合是；21世纪教育网版权所有
C、在同一坐标系中，y=sinx的图象和y=x的图象有三个公共点； D、在[0，π]上是减函数
考点：三角函数的周期性及其求法；象限角、轴线角；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：先进行因式分解，然后根据同角三角函数的基本关系整理，最后根据二倍角公式进行化简即可求出最小正周期．
解答：解：y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）
=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，
故最小正周期为T=π．
故选A．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用．考查三角函数的最小正周期的求法．
9、下列函数中，在区间上为增函数且以π为周期的函数是（ ）
A、 B、y=sinx
C、y=﹣tanx D、y=﹣cos2x
考点：三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性。21世纪教育网版权所有
专题：常规题型。
分析：求出选项中的每个函数在区间上为增函数且以π为周期的函数即可．
解答：解：在区间上为增函数且以4π为周期的函数，不合题意；
y=sinx在区间上为增函数且以2π为周期的函数，不合题意；
y=﹣tanx不满足在区间上为增函数且以π为周期的函数．21世纪教育网版权所有
y=﹣cos2x在区间上为增函数且以π为周期的函数，满足题意，正确．
故选D．
点评：本题是基础题，考查三角函数的周期，增区间的求法，考查计算能力，常考题目．
10、同时具有性质：“（1）最小正周期是π；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；余弦函数的单调性。
专题：探究型。21世纪教育网版权所有
分析：由周期公式判断A不对，利用余弦函数的对称轴判断B不对，由余弦函数的单调性判断D不对，利用正弦函数的性质判断C正确．
解答：解：A、由得，函数的周期为4π，故A不对；
B、的对称轴方程是：（k∈z），把代入解得：k=，故B不对；
C、由解析式知：函数的周期是π，且对称轴方程是（k∈z），
把代入解得：k=1，即此方程是函数的对称轴，
由﹣≤x≤0得，，即函数在区间上是增函数，故C正确；
D、由﹣≤x≤0得，，即函数在区间上是减函数，故D不对．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题考查了三角函数的性质应用，根据正弦（余弦）函数的周期、对称轴和单调性进行判断，对于选择题可以用代入法，考查了整体思想．
11、满足函数y=sinx和y=cosx都是增函数的区间是（ ）
A、，k∈Z B、，k∈Z
C、，k∈Z D、，k∈Z
考点：正弦函数的单调性；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用y=sinx的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，y=cosx的增区间为[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，求出[2kπ﹣，2kπ+]∩[2kπ﹣π，2kπ]的结果即为所求．
解答：解：函数y=sinx的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，y=cosx的增区间为[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，
由[2kπ﹣，2kπ+]∩[2kπ﹣π，2kπ]=，
可得满足函数y=sinx和y=cosx都是增函数的区间是，
故选D．
点评：本题考查正弦函数、余弦函数的单调增区间，得到正弦函数、余弦函数的单调增区间 是解题的关键．21世纪教育网版权所有
12、使函数y=sinx递减且函数y=cosx递增的区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
13、若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正弦函数的单调性；余弦函数的单调性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．
解答：解：y=cos2x在区间上是减函数，
y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．21世纪教育网
y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．
y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．
在区间上也是减函数，
故选D．
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．属基础题．
14、若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（ ）
A、1 B、cosx
C、sinx D、﹣cosx
考点：正弦函数的单调性；余弦函数的单调性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：A、C在[﹣，]内单调递增是不正确的；对于B，y=sinx+cosx，化简判断单调性即可判断正误；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．
解答：解：由题意可知A、C显然不满足题意，排除；对于By=sinx+cosx=sin（x﹣），在[﹣，]内不是单调递增，所以不正确；
对于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，满足题意，所以f（x）可以是﹣cosx．
故选D
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．
15、函数是（ ）21世纪教育网
A、非奇非偶函数 B、仅有最小值的奇函数
C、仅有最大值的偶函数 D、既有最大值又有最小值的偶函数
考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用诱导公式化简解析式，根据奇（偶）的定义判断函数的奇偶性，由倍角公式和配方法整理解析式，根据余弦函数的值域求出函数的最值．
解答：解：=cos2x+cosx，21世纪教育网
∴f（﹣x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x）=cos2x+cosx=f（x），
∴此函数是偶函数，
∵f（x）=cos2x+cosx=cos2x+cosx+=（cosx+1）2﹣，
∵cosx∈[﹣1，1]，∴f（x）最大值是，最小值是﹣．21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查了余弦函数的奇偶性和单调性，利用了诱导公式、倍角公式和配方法整理解析式，最后转化为二次函数求最值，考查了转化思想和知识运用能力．
16、函数y=cos2x在下列哪个区间上是减函数（ ）
A、[﹣，] B、[，]
C、[0，] D、[，π]
考点：余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：将2x看做一个整体，令kπ≤x≤+kπ（k∈Z）解出x的范围后，对选项逐一验证即可．
解答：解：∵y=cos2x∴2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z）
∴kπ≤x≤+kπ（k∈Z）
当k=0时，0≤x≤函数y=cos2x单调递减
故选C．
点评：本题主要考查余弦函数的单调问题，一般把wx+ρ看做一个整体，确定满足的不等式后解x的范围．
17、函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A、（，） B、（π，2π）
C、（，） D、（2π，3π）
考点：余弦函数的单调性；函数单调性的判断与证明；正弦函数的单调性。
分析：分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．
解答：解：y'=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx
欲使导数为正，只需x与sinx符号总相反，21世纪教育网
分析四个选项知，B选项符合条件，
故应选B．
点评：考查判断函数单调性的方法．一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性是比较简捷的方法．
18、已知函数，下面结论错误的是（ ）
A、函数f（x）的最小正周期为π B、函数f（x）是奇函数
C、函数f（x）的图象关于直线对称 D、函数f（x）在区间上是减函数
考点：余弦函数的单调性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：利用诱导公式把函数的解析式化为﹣sin2x，由此函数的图象特征及性质可得，选项D不正确．
解答：解：函数=﹣sin2x，故函数是周期为π的奇函数函数，关于直线x=对称，故A、B、C正确，
函数在[0，]上是减函数，在[，]上是增函数，故D不正确．
故选D．
点评：本题考查诱导公式，正弦函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，把函数的解析式化为﹣sin2x，是解题的关键．
19、若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ）
A、{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z} B、{x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}
C、{x|kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z} D、{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}
考点：余弦函数的单调性。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：利用二倍角的余弦公式可得cos2x＜0，所以，+2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，从而得到x的范围．
解答：解：由sin2x＞cos2x得cos2x﹣sin2x＜0，即cos2x＜0，所以，+2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，
∴kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，
故选D．
点评：本题考查二倍角的余弦公式的应用，以及余弦函数的图象性质．
20、函数是（ ）
A、上是增函数 B、[0，π]上是减函数
C、[﹣π，0]上是减函数 D、[﹣π，π]上是减函数
考点：余弦函数的单调性；诱导公式的作用。
分析：根据x的范围，确定x+的范围，然后根据正弦函数的单调性确定在相应的区间上的增减性．
解答：解：A.在先增后减；
B．当x∈[0，π]时，x+，为减函数，正确．
C．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．
D．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．21世纪教育网
故选B．
点评：本题考查了三角函数的单调性，属于基础题型，应该熟练掌握．
二、填空题（共5小题）
21、求f（x）=的定义域
22、（1）已知的定义域为 （2kπ﹣，2kπ﹣）∪（2kπ+＜x＜2kπ+），（k∈Z） ．
（2）设f（2sinx﹣1）=cos2x，则f（x）的定义域为 [﹣3，1] ．
考点：函数的定义域及其求法；余弦函数的单调性。
分析：（1）由的表达式要想有意义必须满足，解三角不等式即可得到复合函数的定义域．
（2）由f（2sinx﹣1）=cos2x我们不难求出自变量位置上2sinx﹣1的取值范围，不难给出f（x）的定义域．
解答：解：（1）∵，
∴要使f（cosx）的解析式有意义，须满足
即2kπ﹣＜x＜2kπ﹣，或2kπ+＜x＜2kπ+，（k∈Z）
故f（cosx）的定义域为：（2kπ﹣，2kπ﹣）∪（2kπ+＜x＜2kπ+），（k∈Z）
（2）∵﹣3≤2sinx﹣1≤1
故f（x）的定义域为[﹣3，1]
故答案为：（2kπ﹣，2kπ﹣）∪（2kπ+＜x＜2kπ+），（k∈Z），[﹣3，1]
点评：求复合函数的定义域的关键是“以不变应万变”，即不管函数括号里的式子形式怎么变化，括号里式子的取值范围始终不发生变化．即：若f[g（x）]中若内函数的值域为A，则求f[u（x）]的定义域等价于解不等式u（x）∈A．
23、函数y=lgsinx+的定义域为 {x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z} ．
考点：函数的定义域及其求法；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：因为定义域是让整个函数有意义的自变量的取值集合，故须真数大于0且根式内大于等于0，即是求解sinx＞0以及cosx﹣≥0对应的自变量，再求它们的交集即可．
解答：解：（1）要使函数有意义必须有，
即，
解得（k∈Z），
∴2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z}．21世纪教育网
故答案为：{x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z}
点评：本题主要考查求函数定义域问题．当函数的解析式中有开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．并且注意定义域的形式一定是集合或区间．
24、函数的定义域是 ．
考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：根据函数关系式和对数的真数大于零，偶次被开方数大于等于零，列出不等式组，再由正弦（余弦）函数的性质进行求解，最后要写成区间的形式．
解答：解：要使函数有意义，则，即，
∴＜x≤，（k∈z），21世纪教育网
∴函数的定义域是，
故答案为：．
点评：本题考查了函数定义域的求法以及正弦（余弦）函数的性质，即利用对数的真数大于零，偶次被开方数大于等于零、分母不为零等等进行求解，注意最后要用集合或区间的形式表示，这是易错的地方．
25、使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为 ．
题．
三、解答题（共5小题）
26、求下列函数的定义域21世纪教育网
（1）；
（2）
考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：根据使表达式有意义，列出相关的不等式式组即可．
（1）函数有意义，根号下非负，对数式的真数大于0；
（2）先根据真数大于0转化为绝对值不等式，再分类讨论解绝对值不等式，
解答：解：（1）欲使其有意义，只须解得
故得x∈[﹣5，）∪（）∪（，5]
（2）欲使其有意义，只须2|cosx|﹣sinx﹣cosx＞0 （*）
当cosx＞0时，（*）可变为cosx﹣sinx＞0即cos（x+）＞0，又0≤x＜π，所以＜x+＜故x∈[0，）21世纪教育网
当cosx＜0时，（*）可变为﹣3cosx﹣sinx＞0，即cosx+sinx＜0，可转化为sin（x+）＜0
又0≤x＜π，所以π＜x+＜，故x∈（，π）
故其定义域为x∈[0，）∪（，π）
答：的定义域是[﹣5，）∪（）∪（，5]
的定义域是[0，）∪（，π）
点评：考查函数定义域的求法，其理论依据是使得函数有意义．
27、（1）已知f（x）的定义域为[0，1），求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域．
考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：（1）这里的cosx以它的值充当角，求函数的定义域只要使0≤cosx＜1，利用三角函数线解三角不等式即可；21世纪教育网
（2）这里的cosx以它的值充当角，要使sin（cosx）＞0转化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范围．
解答：解：（1）0≤cosx＜1?2kπ﹣≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）．
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ﹣，2kπ+]且x≠2kπ，k∈Z}．
（2）由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．
又∵﹣1≤cosx≤1，
∴0＜cosx≤1；21世纪教育网
故所求定义域为{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}
点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线．
28、求函数的值域．
考点：函数的值域；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用三角公式把函数表达式化简，并进行常数分离，换元构造一个新函数，注意新函数自变量的范围，利用新函数的单调性求出函数的值域．
解答：解：y===﹣cosx+1﹣
=﹣（cosx﹣2）+﹣1=（2﹣cosx ）+﹣1，
又 1≤2﹣cosx≤3，∴≤≤1，
令2﹣cosx=t，则 y=t+﹣1，且 1≤t≤3
∵函数 y=t+﹣1，在区间 （1，3）上是单调增函数，
∴t=1 时，函数 y=t+﹣1 有最小值1，
t=3时，函数 y=t+﹣1 有最大值．21世纪教育网
点评：本题考查余弦函数的单调性，体现换元的数学思想，换元中，注意新变量的范围．
29、已知函数y=2﹣sin2x+cosx，求函数的值域．并指出函数取得最大值时相应的x的值．
考点：函数的值域；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：先利用同角三角函数关系将函数化成关于cosx的二次函数形式，再利用换元法令t=cosx∈[﹣1，1]，转化成关于t的二次函数再闭区间上求值域即可．
解答：解：y=2﹣sin2x+cosx=2﹣（1﹣cos2x）+cosx=cos2x+cosx+121世纪教育网
令t=cosx∈[﹣1，1]，∴y=（t+）2+，t∈[﹣1，1]
所以函数的值域为：
当t=1，即cosx=1，即x=2kπ，k∈Z时，ymax=3
点评：本题主要考查了函数的值域，以及余弦函数的单调性等有关知识，属于基础题．
30、给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x﹣1，f2（x）=，f3（x）=2x﹣1，f4（x）=cosx．；
（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．
考点：函数单调性的判断与证明；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；余弦函数的单调性。
专题：新定义。
分析：（1）若定义域D1=（0，1），则f1（）=0?D，故f（x）在D1上不封闭；f2（x）∈（0，1）?f2（x）在D1上封闭；f3（x）∈（0，1）?f3（x）在D1上封闭；4（x）∈（cos1，1）?（0，1）?f4（x）在D1上封闭；
（2）由f（x）=5﹣，假设f（x）在D2上封闭，可分a+10＞0，a+10=0，a+10＜0，三种情况讨论f（x）在D2上封闭时a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（1）∵f1（）=0?（0，1），
∴f（x）在D1上不封闭；
∵f2（x）=﹣（x+）2+在（0，1）上是减函数，
∴0＜f2（1）＜f2（x）＜f2（0）=1，
∴f2（x）∈（0，1）?f2（x）在D1上封闭；
∵f3（x）=2x﹣1在（0，1）上是增函数，∴0=f3（0）＜f3（x）＜f3（1）=1，
∴f3（x）∈（0，1）?f3（x）在D1上封闭；
∵f4（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f4（1）＜f4（x）＜f4（0）=1，
∴f4（x）∈（cos1，1）?（0，1）?f4（x）在D1上封闭；
（2）f（x）=5﹣，假设f（x）在D2上封闭，对a+10讨论如下：
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有?a=2
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有，无解，
综上可得，a=2时f（x）在D2上封闭．
点评：本题考查的知识点是函数单调的判断与证明，二次函数的性质，指数函数的单调性，余弦函数的单调性，其中正确理解新定义函数y=f（x）在D上封闭是解答本题的关键．
