余弦函数的定义域和值域
一、填空题（共5小题）
1、已知集合，则集合A的所有真子集的个数为 _________ ．
2、已知x∈[0，2π）且，则A∩B= _________ ．
3、定义一种运算“?”为a?，那么函数y=sinx?cosx（x∈R）的值域为 _________ ．
4、已知函数，若f（x）+a≥0在上恒成立，则实数a的取值范围是 _________ ．
5、已知函数，则f（x）的值域是 _________ ．
二、选择题（共20小题）
6、A={sinα，cosα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，且A=B，则sin2009α+cos2009α=（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、±1
7、函数y=2cosx的定义域为A，值域为B，则A∩B等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、A B、B
C、[﹣1，1] D、A∪B
8、函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（ ）
A、2 B、0
C、 D、6
9、已知函数f（x）=sinx+cosx﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（ ）
A、[﹣2，2] B、
C、 D、
10、若关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A、[﹣1，+∞） B、[0，8]
C、[﹣1，8] D、[0，5] 21世纪教育网版权所有
11、如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
12、若，则下列不等式中成立的是（ ）
A、sinθ＞cosθ＞tanθ B、cosθ＞tanθ＞sinθ
C、tanθ＞sinθ＞cosθ D、tanθ＞cosθ＞sinθ
13、如果x∈[0，2π]，则函数的定义域为（ ）21世纪教育网版权所有
A、[0，π] B、
C、 D、
14、函数y=sin（cosx）的值域为（ ）
A、[﹣1，1] B、[sin1，1]
C、[0，sin1] D、[﹣sin1，sin1]
15、若，则点P（1，sinθ﹣cosθ）在平面直角坐标系内位于（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
16、函数的值域是（ ）21世纪教育网版权所有
A、[0，1] B、[﹣1，1]
C、[0，] D、[，1]
17、设x∈z，则f（x）=cos的值域是（ ）
A、{﹣1，} B、{﹣1，﹣，，1}v21世纪教育网版权所有
C、{﹣1，﹣，0，，1} D、{，1}
18、函数的值域是（ ）
A、[﹣1，1] B、
C、 D、
19、不等式，x∈[0，2π]的解集为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
20、设A是△ABC的最小角，且，则实数m的取值范围是（ ）
A、m≥3 B、m＞﹣1
C、﹣1＜m≤3 D、m＞0
21、已知函数f（x）=﹣3cosx+1，则f（x）的取值范围是（ ）
A、[﹣1，2] B、[1，2]
C、[﹣2，4] D、[2，4]
22、函数f（x）=|sinx﹣cosx|+（sinx+cosx）的值域为（ ）
A、 B、
C、 D、[﹣2，2]
23、函数的值域为（ ）
A、[﹣2，] B、（﹣2，]21世纪教育网版权所有
C、[﹣2，0] D、（﹣2，0]
24、已知函数，则函数f（x）的值域为（ ）
A、[1，2] B、
C、 D、
25、在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时f（x）＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）当时，f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0对所有的θ均成立，求实数m的取值范围．
27、设关于x的函数y=2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
28、阅读流程图，若记y=f（x）．
（Ⅰ） 写出y=f（x）的解析式，并求函数的值域；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）若x0满足f（x0）＜0 且f（f（x0））=1，求x0．
29、求下列函数的值域
（1）y=（2cos2x+1）（2sin2x+1）；
（2）．
30、求下列函数的值域
（1）y=1+sinx+cosx+sin2x x∈[﹣π，π]；21世纪教育网版权所有
（2）y=﹣cos3xcosx．
答案与评分标准
一、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
1、已知集合，则集合A的所有真子集的个数为 7 ．
考点：子集与真子集；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：先由三角函数知识求出集合A，再由集合A中所含元素的个数判断集合A所含真子集的个数．
解答：解：∵集合={1，0，﹣1}，
∴集合A的所有真子集的个数为23﹣1=8﹣1=7．
故答案为：7．
点评：本题考查子集和真子集的概念，若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1真子集．
2、已知x∈[0，2π）且，则A∩B= ．
3、定义一种运算“?”为a?，那么函数y=sinx?cosx（x∈R）的值域为 ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题；新定义。
分析：由定义式获取y=sinx?cosx（x∈R）的分段函数式，求出每部分函数的值域，最后求其并集
解答：解：y=sinx?cosx=，
由图象可得值域为．21世纪教育网版权所有
故答案为
点评：本题考查分段函数的值域求法，注意分段函数的值域是各部分函数值域的并集
4、已知函数，若f（x）+a≥0在上恒成立，则实数a的取值范围是 a≥﹣1 ．
考点：函数恒成立问题；余弦函数的定义域和值域。
专题：综合题。
分析：由函数=，知f（x）+a=+a．由x∈时，，能求出f（x）+a=+a在上恒成立时实数a的取值范围．
解答：解：∵函数
=
=，
∴f（x）+a=+a，
∵当x∈时，
，
∴由f（x）+a=+a在上恒成立，
知a≥﹣1．
故答案为：a≥﹣1．
点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．
5、已知函数，则f（x）的值域是 ．
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：讨论sinx与cosx的大小，把函数化简可得f（x）=，结合函数的图象可求函数的值域．
解答：解：
=
画图可得f（x）的值域是21世纪教育网版权所有
故答案为：
点评：本题主要考查了三角函数的值域，求解的关键是要熟悉正弦函数及余弦函数的图象，结合函数的图象能对已知函数的表达式进行化简．属于基本知识的运用．21世纪教育网版权所有
二、选择题（共20小题）
6、A={sinα，cosα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，且A=B，则sin2009α+cos2009α=（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、±1
考点：集合的相等；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据两个集合的相等关系得到：①若sinα=0，则cosα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={0，﹣1，0}，符合题意，②若cosα=0，则sinα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={1，﹣1，0}，符合题意，综上所述，sin2009α+cos2009α=﹣1．
解答：解：∵A={sinα，cosα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，且A=B，
①若sinα=0，则cosα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={0，﹣1，0}，符合题意，
则sin2009α+cos2009α=0+（﹣1）=﹣1；
②若cosα=0，则sinα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={1，﹣1，0}，符合题意，
则sin2009α+cos2009α=（﹣1）+0=﹣1；
综上所述，sin2009α+cos2009α=﹣1，
故选C．
点评：本小题主要考查集合的相等、正弦函数的定义域和值域、余弦函数的定义域和值域等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
7、函数y=2cosx的定义域为A，值域为B，则A∩B等于（ ）
A、A B、B
C、[﹣1，1] D、A∪B
．
8、函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（ ）
A、2 B、0
C、 D、6
考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．
解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣
∵﹣1≤cosx≤1
∴当cosx=1时ymin=0，21世纪教育网版权所有
故选B
点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．
9、已知函数f（x）=sinx+cosx﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（ ）
A、[﹣2，2] B、
C、 D、
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．
解答：解：由题=，
当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣2，]
当 x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣2，]
故可求得其值域为
故选择C．
点评：本小题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域．
10、若关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A、[﹣1，+∞） B、[0，8]
C、[﹣1，8] D、[0，5] 21世纪教育网版权所有
考点：二次函数在闭区间上的最值；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：方程变形为函数，利用配方法，以及二次函数闭区间上的最值，求出m的范围即可．
解答：解：关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0，化为m=cos2x﹣4cosx+3=（cosx﹣2）2﹣1，因为cosx∈[﹣1，1]，
所以cosx﹣2∈[﹣3，1]，m∈[0，8]．
方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是：[0，8]．
故答案为：[0，8]．
点评：本题是中档题，考查二次函数的最值的应用，三角函数的有界性，考查计算能力．
11、如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
12、若，则下列不等式中成立的是（ ）
A、sinθ＞cosθ＞tanθ B、cosθ＞tanθ＞sinθ
C、tanθ＞sinθ＞cosθ D、tanθ＞cosθ＞sinθ
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：可根据y=sinx，y=cosx，y=tanx在x的单调性及最值予以判断．
解答：解：∵，∴tanθ＞1，1＞sinθ＞cosθ＞0，
故选C．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查三角函数的定义域和值域，着重考查y=sinx，y=cosx，y=tanx在x的单调性及最值，属于基础题．
13、如果x∈[0，2π]，则函数的定义域为（ ）
A、[0，π] B、
C、 D、
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：依题意可得，解三角不等式可得21世纪教育网版权所有
解答：解：依题意可得又x∈[0，2π]
∴，
∴，
故选C
点评：本题主要考查了函数的定义域的求解，求解三角不等式，解决的关键是要熟练掌握三角函数的图象及性质．
14、函数y=sin（cosx）的值域为（ ）21世纪教育网版权所有
A、[﹣1，1] B、[sin1，1]
C、[0，sin1] D、[﹣sin1，sin1]
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：常规题型。
分析：首先确定函数y=sin（cosx）为复合函数，内函数cosx的值域为外函数y=sinx的定义域．然后求出cosx的值域，代入y=sinx即可求出函数y=sin（cosx）的值域．
解答：解：∵函数y=sin（cosx），
而cosx∈[﹣1，1]
∴函数y=sinX在定义域[]里单调递增，
∴函数y=sin（cosx）的值域为：[﹣sin1，sin1] 21世纪教育网版权所有
故选：D
点评：本题考查复合函数的值域问题，涉及正弦函数的定义域以及值域，余弦函数的定义域以及值域问题，通过对复合函数的理解，分别求出余弦函数的值域以及正弦函数的值域即可解题，属于基础题．
15、若，则点P（1，sinθ﹣cosθ）在平面直角坐标系内位于（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：根据角的范围，利用正弦函数与余弦函数的值的比较，得到已知点纵坐标为负数，即可得到此点位于第四象限．
解答：解：∵若，则sinθ﹣cosθ＜0，21世纪教育网版权所有
∴点P（1，sinθ﹣cosθ）在坐标平面上位于第四象限．
故选D．
点评：此题考查了正、余弦函数的定义域和值域，以及点位置的确定，熟练掌握三角函数的定义域和值域是解本题的关键．
16、函数的值域是（ ）21世纪教育网版权所有
A、[0，1] B、[﹣1，1]
C、[0，] D、[，1]
17、设x∈z，则f（x）=cos的值域是（ ）
A、{﹣1，} B、{﹣1，﹣，，1}
C、{﹣1，﹣，0，，1} D、{，1}
考点：余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：由于x∈z，先求出f（x）=cos的周期为 6，求出f（0）、f（1）、f（2）、f（2）、f（3）、f（4）、21世纪教育网版权所有
f（5）的值，即可得到f（x）=cos的值域．
解答：解：∵x∈z，f（x）=cos的周期为=6，
f（0）=cos0=1，f（1）=cos=，f（2）=cos=﹣，
f（3）=cosπ=﹣1，f（4）=cos=﹣，f（5）=cos=cos（﹣）=，
则f（x）=cos的值域是 {﹣1，﹣，，1}．
故选B．
点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的周期性的应用，属于基础题．
18、函数的值域是（ ）
A、[﹣1，1] B、
C、 D、
考点：余弦函数的定义域和值域；正弦函数的定义域和值域。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；数形结合。
分析：根据绝对值内式子的符号分sinx≥cosx和cosx＞sinx两种情况，化简解析式并用分段函数表示，在根据函数图象求出每一部分的值域，最后在和在一起．
解答：解：=，
在坐标系中画出一个周期内y=sinx和y=cosx的图象：
由图得，当sinx≥cosx时，sinx∈[，1]；
当cosx＞sinx时，cosx（，1]，
∴原函数的值域是．21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题考查了由正弦（余弦）函数的图象求其它函数的值域，此题需要化简函数解析式，根据分段函数求值域的方法，即求出每个范围内的值域，最后再并在一起．
19、不等式，x∈[0，2π]的解集为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
20、设A是△ABC的最小角，且，则实数m的取值范围是（ ）
A、m≥3 B、m＞﹣1
C、﹣1＜m≤3 D、m＞0
考点：余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据三角形的内角和公式可得 0°＜A≤60°，故≤cosA＜1，即≤＜1，解不等式组
求得实数m的取值范围．
解答：解：设A是△ABC的最小角，根据三角形的内角和公式可得 0°＜A≤60°，
∴≤cosA＜1，∴≤＜1，即，
∴，∴m≥3．
故选A．
点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，得到≤＜1，是解题的关键．
21、已知函数f（x）=﹣3cosx+1，则f（x）的取值范围是（ ）
A、[﹣1，2] B、[1，2]
C、[﹣2，4] D、[2，4]
考点：余弦函数的定义域和值域。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：令cosx=t，（t∈[﹣1，1]）则f（x）=﹣3t+1，根据单调性判断最大最小值，进而确定f（x）的取值范围．
解答：解：令cosx=t，（t∈[﹣1，1]）
则f（x）=﹣3t+1，21世纪教育网版权所有
当t=﹣1时，fmax=4；
当t=1时，fmin=﹣2．
所以f（x）的取值范围为：[﹣2，4]
故选C．
点评：本题考查了余弦函数的值域以及一次函数的单调性，属于基础题型．
22、函数f（x）=|sinx﹣cosx|+（sinx+cosx）的值域为（ ）
A、 B、
C、 D、[﹣2，2]
考点：余弦函数的定义域和值域；正弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．
解答：解：由题f（x）==
当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣2，]
当 x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣2，]
故可求得其值域为
故选择C．
点评：本题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域．
23、函数的值域为（ ）21世纪教育网
A、[﹣2，] B、（﹣2，]
C、[﹣2，0] D、（﹣2，0]
24、已知函数，则函数f（x）的值域为（ ）
A、[1，2] B、
C、 D、
考点：余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：由==，由可得，根据二次函数的性质可求函数的最值
解答：解：∵==
∵∴
根据二次函数的性质可得
当cosx=时，函数有最大值2
当cosx=﹣1时，函数有最小值21世纪教育网
故选D
点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，解题中要注意由x的范围求解cosx的范围，还要灵活利用二次函数的性质．
25、在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余弦函数的定义域和值域；几何概型。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出的值介于0到之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解．
解答：解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，
即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，
需使或
∴或，区间长度为，
由几何概型知的值介于0到之间的概率为．
故选A．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时f（x）＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）当时，f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0对所有的θ均成立，求实数m的取值范围．
考点：抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题；综合题。
分析：（1）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=﹣x，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（2）根据f（x）为R上的增函数也是奇函数，f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0对所有的θ均成立可转化成cos2θ﹣3＞2mcosθ﹣4m对所有的均成立，然后利用分离法即可求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．21世纪教育网
设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，当x＞0时f（x）＞0．∴f（x2﹣x1）＞0
由f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为R上的增函数．
（2）∵f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ﹣3）＞﹣f（4m﹣2mcosθ）
∵f（x）为R上的奇函数，，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（cos2θ﹣3）＞f（2mcosθ﹣4m）
又∵f（x）为R上的增函数，cos2θ﹣3＞2mcosθ﹣4m对所有的均成立，2cos2θ﹣4＞2m（cosθ﹣2）恒成立，又∵cosθ﹣2＜0，∴恒成立，
又∵
又，∴0≤cosθ≤1，∴cosθ﹣2＜0，21世纪教育网
∴
当且仅当即时取等号．
∴
∴
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
27、设关于x的函数y=2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
28、阅读流程图，若记y=f（x）．
（Ⅰ） 写出y=f（x）的解析式，并求函数的值域；
（Ⅱ）若x0满足f（x0）＜0 且f（f（x0））=1，求x0．
考点：选择结构；分段函数的解析式求法及其图象的作法；余弦函数的定义域和值域。
专题：图表型。
分析：（I）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值；再求此分段函数的值域；
（Ⅱ）因为f（x0）＜0，求得＜x0＜，从而f（x0）=2cos2x0＜0，f（f（x0））=f（2cos2x0）=（2cos2x0）2，解方程f（f（x0））=1，求出x0．
解答：解：（I）由图可知：
该程序的作用是计算分段函数的函数值．
当x≤0时，输出值y≥0时，21世纪教育网
当0＜x＜π时，输出值y：﹣2≤y＜2；
当x＞π时，输出值y：y≥π3；
综上所述，函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x0）＜0，所以＜x0＜，
所以，f（x0）=2cos2x0＜0
所以f（f（x0））=f（2cos2x0）=（2cos2x0）2，
所以cos22x0=，
所以cos2x0=﹣，
所以x0=，或x0=．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、选择结构、分段函数的解析式求法及其图象的作法、余弦函数的定义域和值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
29、求下列函数的值域
（1）y=（2cos2x+1）（2sin2x+1）；
（2）．
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：（1）利用同角平方关系整理可得，y=（2cos2x+1）（2sin2x+1）=4cos2xsin2x+3=sin22x+3，结合﹣1≤sin2x≤1可得0≤sin22x≤1，代入可求
（2）利用cos2x=1﹣sin2x=（1﹣sinx）（1+sinx），代入化简可得 y=﹣2sin2x+2sinx=
结合﹣1＜sinx≤1，利用二次函数的知识可求．
解答：解：（1）∵y=（2cos2x+1）（2sin2x+1）=4cos2xsin2x+3=sin22x+3
∵0≤sin22x≤1
函数的值域 {y|3≤y≤4}
（2）=（sinx≠﹣1）
=﹣2sin2x+2sinx=
∵﹣1＜sinx≤1
故函数的值域{y|﹣4＜y}
点评：本题主要考查了利用同角的平方关系对三角函数式进行化简，，二次函数函数的值域的求解，但要注意（2）中定义域sin≠﹣1的隐含限制．
30、求下列函数的值域
（1）y=1+sinx+cosx+sin2x x∈[﹣π，π]；
（2）y=﹣cos3xcosx．
考点：正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域。
专题：计算题；换元法。
分析：（1）根据解析式t=sinx+cosx，利用两角和的正弦公式进行化简后，由x的范围求出t的范围，由对t的式子两边平方后，由平方关系求出sinxcosx，代入解析式转化为关于t的二次函数，对式子配方后利用二次函数的性质求出最值，就求出值域；
（2）把解析式化简后，根据cosx的范围，求出cos2x的范围，进而求出函数的值域．
解答：解：（1）由题意得，y=1+sinx+cosx+sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx21世纪教育网
令t=sinx+cosx=sin（x+），∵x∈[﹣π，π]，∴t∈[﹣，]；
且sinxcosx=（t2﹣1），
代入解析式得，y=t2+t+=（t+1）2，t∈[﹣，]，
当t=﹣1时，函数有最小值是0；当t=时，函数有最大值是+，
∴函数的值域是[0，+]，21世纪教育网
（2）由题意得，y=﹣cos3xcosx=y=﹣cos4x，
∵﹣1≤cosx≤1，∴0≤cos2x≤1，∴﹣1≤﹣cos4x≤0，
即函数的值域是[﹣1，0]．
点评：本题的考点是复合三角函数的值域的求法，主要利用换元法和“sinx+cosx”与“sinxcosx”的关系，注意由函数的定义域和正弦（余弦）函数的值域，求出换元后的自变量的范围，根据二次函数的性质求出函数的值域．
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