余弦函数的对称性
一、选择题（共21小题）
1、函数图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A、 B、
C、 D、π
2、已知函数（x∈R），则下列叙述错误的是（ ）
A、f（x）的最大值与最小值之和等于π
B、f（x）是偶函数
C、f（x）在[4，7]上是增函数
D、f（x）的图象关于点成中心对称
3、函数的图象的一条对称轴方程为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、x=﹣π
4、函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是（ ）21世纪教育网版权所有
A、（） B、（）
C、（﹣） D、（0，0）
6、给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确的序号为（ ）
A、①③ B、②④
C、①④ D、④⑤21世纪教育网版权所有
7、已知函数f（x）=cos（2x+θ）图象的一个对称中心是（，0），则f（）=（ ）
A、0 B、1
C、 D、﹣
8、函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为（ ）
A、x= B、x=
C、x=﹣ D、x=
9、函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、x=1 D、x=2
10、函数的一条对称轴方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、若实数a使得方程cosx=a在[0，2π]有两个不相等到的实数根x1，x2，则sin（x1+x2）=（ ）
A、0 B、121世纪教育网版权所有
C、 D、﹣1
12、如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于原点中心对称，那么φ的值可以为（ ）
A、 B、
C、 D、
13、函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（ ）21世纪教育网版权所有
A、x=0 B、
C、 D、
14、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、2
C、3 D、4
15、设点P是函数f（x）=cos（ωx+φ），（ω＞0）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则ω为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、421世纪教育网版权所有
16、在下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）
A、y=cosx B、y=x3
C、y=lgx D、y=3x
17、设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一一个x2∈D，使得f（x1）+f（x2）=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上“与常数c关联”，现有函数 ①，②y=﹣x3，③，④y=ln（﹣x），⑤，则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是（ ）
A、①②⑤ B、①③
C、②④⑤ D、②④21世纪教育网版权所有
18、阅读下列命题
①的一个对称中心是
②已知，那么函数f（x）的值域是
③α，β均为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直线x=a（a∈R）与y=f（x），y=g（x）的交点分别为M、N，那么|MN|的最大值为2．以上命题正确的有（ ）
A、.①② B、.③④
C、.①③ D、②④21世纪教育网版权所有
19、已知函数f（x）=2cos（2x+），下面四个结论中正确的是（ ）
A、函数f（x）的最小正周期为2π
B、函数f（x）的图象关于直线x=对称
C、函数f（x）的最大值为1
D、函数f（x+）是奇函数
20、函数f（x）=cos（3x+φ）的图象关于原点中心对称，则（ ）
A、φ= B、φ=kπ+
C、φ=kπ D、φ=2kπ﹣（k∈Z）21世纪教育网版权所有
21、将y=cos（2x+）图象向左平移个单位所得图象的一条对称轴是（ ）
A、x=﹣ B、x=
C、x= D、x=
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
22、已知f（n）=cos（n∈N*），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）= _________ ．
23、下面四个函数：①；②；③；④中，同时具有“最小正周期是对称”两个性质的函数序号是 _________ ．
24、若函数y（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）与函数g（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象具有相同的对称中心，则φ= _________ ．
25、若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f（）=f（），则下列函数中，符合上述条件的有 _________ ．（填序号）
①f（x）=cos4x；②f（x）=sin（2x）；
③f（x）=sin（4x）；④f（x）=cos（4x）．21世纪教育网版权所有
26、函数y=3cos（2x﹣），x∈R的减区间为 _________ ，对称中心为 _________ ．
三、解答题（共3小题）
27、已知函数．
（I）当180°＜x＜360°时，化简函数f（x）的表达式；
（II）写出函数f（x）的一条对称轴．
28、已知函数，．
（I）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．
29、已知向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=?，（a为常数）．21世纪教育网版权所有
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当时，函数g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
答案与评分标准
一、选择题（共21小题）21世纪教育网版权所有
1、函数图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A、 B、
C、 D、π
考点：余弦函数的图象；余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．
解答：解：对于，T=21世纪教育网版权所有
∴两条相邻对称轴间的距离为=21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题主要考查对称轴间的距离和函数周期的关系．属基础题．
2、已知函数（x∈R），则下列叙述错误的是（ ）
A、f（x）的最大值与最小值之和等于π B、f（x）是偶函数
C、f（x）在[4，7]上是增函数 D、f（x）的图象关于点成中心对称
3、函数的图象的一条对称轴方程为（ ）
A、 B、
C、 D、x=﹣π
考点：余弦函数的对称性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：利用余弦函数的对称轴是过图象的最高点或最低点且且垂直于x轴的直线，由2x+=kπ，k∈z，解出x=﹣，k∈z，分析各个选项是否满足此式可得答案．
解答：解：∵函数的图象的对称轴是过图象的顶点且垂直于x轴的直线，
对称轴方程为2x+=kπ，即x=﹣，k∈z，
故选A．
点评：本题考查余弦函数的对称性，判断对称轴方程为 2x+=kπ，k∈z是解题的关键．
4、函数图象的一条对称轴方程是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：利用诱导公式化简函数解析式，令2x=k π，k∈z，解出x=，k∈z，判断选项中满足对称轴方程的选项．
解答：解：函数=3cos2x
令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，21世纪教育网
所以函数图象的对称轴方程是x=，k∈z，
故选B．
点评：本题考查诱导公式，余弦函数的对称性，过图象的最值点且垂直于x轴的直线都是余弦函数的对称轴．
5、函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是（ ）
A、（） B、（）
C、（﹣） D、（0，0）
考点：余弦函数的对称性。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：题意得，所求的对称中心就是函数 y=cos2x与x轴交点，令2x=kπ，k∈z，可得对称中心为（，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标．
解答：解：令2x=kπ，k∈z，可得对称中心为（，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（）21世纪教育网
故选B
点评：题考查正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，判断所求的对称中心就是函数 y=cos2x与x轴交点，是解题的关键．
6、给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确的序号为（ ）
A、①③ B、②④21世纪教育网
C、①④ D、④⑤
考点：余弦函数的对称性；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性。
分析：①根据诱导公式化简，即可得到y=cos是奇函数，从而正确；
②求出sinα+cosα的最大值，发现最大值＜，从而可得到不存在实数α，使得sinα+cosα=；
③找两个特殊角α、β，满足α＜β，比如45°＜30°+360°，但是tan45°＞tan（30°+360°）不满足要求，故不对；
④把x=代入得到y=sin（2x+）=sin=﹣1，x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；21世纪教育网
⑤把x=代入得到y=sin=sin=1，故点不是函数y=sin的对称中心．
解答：解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数；
②由sinα+cosα=sin（）的最大值为，21世纪教育网
因为＜，所以不存在实数α，使得sinα+cosα=；
③α，β是第一象限角且α＜β．例如：45°＜30°+360°，
但tan45°＞tan（30°+360°），即tanα＜tanβ不成立；
④把x=代入y=sin（2x+）=sin=﹣1，
所以x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；21世纪教育网
⑤把x=代入函数y=sin=sin=1，
所以点不是函数y=sin的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
故选C．
点评：本题主要考查诱导公式的应用、正弦函数的基本性质﹣﹣最值、对称性．三角函数的内容比较琐碎，要记忆的比较多，平时要注意公式的记忆和基础知识的积累．
7、已知函数f（x）=cos（2x+θ）图象的一个对称中心是（，0），则f（）=（ ）
A、0 B、1
C、 D、﹣
8、函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为（ ）
A、x= B、x=
C、x=﹣ D、x=
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题；转化思想。
分析：先利用y=cosx的对称轴方程为x=kπ以及整体代入思想求出y=cos（2x+）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可．
解答：解：∵y=cosx的对称轴方程为x=kπ，21世纪教育网
∴函数y=cos（2x+）中，
令2x+=kπ?x=﹣，k∈Z即为其对称轴方程．
上面四个选项中只有﹣符合．21世纪教育网
故选：C．
点评：本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用．解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用．
9、函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）
A、 B、
C、x=1 D、x=2
10、函数的一条对称轴方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：利用诱导公式化简函数解析式，令2x=k π，k∈z，解出x=，k∈z即为所求．
解答：解：函数=﹣cos2x，
令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，
故选D．
点评：本题考查诱导公式，余弦函数的对称性，过图象的顶点垂直于x轴的直线都是余弦函数的对称轴．
11、若实数a使得方程cosx=a在[0，2π]有两个不相等到的实数根x1，x2，则sin（x1+x2）=（ ）
A、0 B、121世纪教育网
C、 D、﹣1
考点：余弦函数的对称性。
专题：综合题；数形结合。
分析：画出y1=cosx，y2=a在[0，2π]上的图象，求出两个交点的对称轴的横坐标，即可求出sin（x1+x2）的值
解答：解：画出y1=cosx，y2=a在[0，2π]上的图象，
得两交点必关于直线x=π对称，
∴，得x1+x2=2π，21世纪教育网
∴sin（x1+x2）=0．
故选A．
点评：本题是基础题，考查数形结合，方程的根就是函数图象交点的横坐标，考查转化思想，计算能力，常考题型．
12、如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于原点中心对称，那么φ的值可以为（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、
13、函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（ ）
A、x=0 B、
C、 D、
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：根据余弦函数的对称轴方程x=kπ确定选项．
解答：解：y=cosx的对称轴方程为x=kπ，当k=0时，x=0．21世纪教育网
故选A．
点评：本题考查了余弦函数的对称轴方程，属于基础题型．
14、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：余弦函数的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图像与性质。
专题：数形结合。
分析：根据函数图象的变化，分析可得函数y=log4（x+1）（x＞0）的图象过空点（0，0）和实点（3，1），结合题意，找到其关于原点对称的点，易得其对称的图象与有两个交点，即可得答案．21世纪教育网
解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，
又由x＞0，则图象过空点（0，0）和实点（3，1），
则与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象过（﹣3，﹣1），
所以对称的图象与有两个交点，
坐标分别为（0，0）（﹣3，﹣1），
故关于原点的中心对称点的组数为2，21世纪教育网
故选B．
点评：本题考查分段函数的图象，涉及余弦函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．
15、设点P是函数f（x）=cos（ωx+φ），（ω＞0）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则ω为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：根据三角函数的性质可得，从而可得周期T，再利用周期公式可求ω
解答：解：根据三角函数的性质可得
对称中心P到图象C的对称轴的距离的最小值为是函数的周期T的21世纪教育网
即
∴T=π根据周期公式
ω=
故选B
点评：本题主要考查了余弦函数的对称性：函数相邻的对称轴与对称中心的距离是该函数的，函数的周期公式，属于对基础知识的考查．
16、在下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）
A、y=cosx B、y=x3
C、y=lgx D、y=3x21世纪教育网
考点：余弦函数的对称性。
专题：证明题。
分析：关于y轴对称的函数为偶函数，而余弦函数为偶函数，y=x3为奇函数，对数函数和指数函数为非奇非偶函数，验证选项即可
解答：解：∵函数y=cosx为偶函数，故其图象关于y轴对称；y=x3关于原点对称；y=lgx与y=3x不具有对称性，
故选A
点评：本题考察了基本函数的对称性和奇偶性，熟记函数性质和图象是解决本题的关键
17、设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一一个x2∈D，使得f（x1）+f（x2）=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上“与常数c关联”，现有函数 ①，②y=﹣x3，③，④y=ln（﹣x），⑤，则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是（ ）
A、①②⑤ B、①③21世纪教育网
C、②④⑤ D、②④
考点：余弦函数的对称性；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的图像与性质。
专题：计算题；新定义。
分析：对各个选项分别加以判断：根据“与常数4关联”的定义，列出方程可以解出x2关于x1表达式且情况唯一的选项是②和④
，而①和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．
解答：解：①的定义域为{x|x≠1}，设x1≠1，由+=1，可得 x2=，
当x1=2时，x2不存在，故①在其定义域上不是与常数1关联的函数．
②y=﹣x3的定义域R，设x1∈R，由﹣x13﹣x23=1，可得一定存在唯一的一个x2==﹣，
故②y=﹣x3在其定义域上是与常数1关联的函数．
③的定义域为R，设x1=﹣1时，满足+=1的 x2不存在，
故③在其定义域上不是与常数1关联的函数．
④y=ln（﹣x）的定义域为{x|x＜0}，设x1＜0，由ln（﹣x1）+ln（﹣x2）=1，可得唯一的x2=＜0，21世纪教育网
故④y=ln（﹣x）在其定义域上是与常数1关联的函数．
⑤明显不成立，因为是R上的周期函数，故在其定义域上不是与常数1关联的函数．
故选 D．
点评：本题着重考查了抽象函数的应用，属于基础题．充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键．
18、阅读下列命题
①的一个对称中心是
②已知，那么函数f（x）的值域是
③α，β均为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直线x=a（a∈R）与y=f（x），y=g（x）的交点分别为M、N，那么|MN|的最大值为2．以上命题正确的有（ ）
A、.①② B、.③④
C、.①③ D、②④
考点：余弦函数的对称性；余弦函数的图象。21世纪教育网
专题：探究型。
分析：①通过余弦函数的对称中心求出的对称中心，然后判断是否为其中之一．
②f（x）=minsinx，cosx知f（x）为正弦余弦的最小值，通过函数图象判断．
③根据正弦函数在第一象限的单调性直接判断；
④令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值
解答：解：①函数的一个对称中心；
∵y=cosx的对称中心为：（kπ+，0）（k∈z）
∴=kπ+
得：x=（k∈z）21世纪教育网
当k=﹣1时，x=
∴函数的一个对称中心正确．
②已知函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为；
根据正弦函数余弦函数图象易知，两者最小值为﹣1，最小值中最大为
故正确
③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＜sinβ．显然不正确如α=390度，β=30度，显然α＞β，但是sinα=sinβ
对于④，令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值，故④错，
故选A．
点评：本题考查余弦函数的对称性，以及余弦函数的图象．通过对四个选项的分析分别判断，本题为中档题．
19、已知函数f（x）=2cos（2x+），下面四个结论中正确的是（ ）
A、函数f（x）的最小正周期为2π B、函数f（x）的图象关于直线x=对称
C、函数f（x）的最大值为1 D、函数f（x+）是奇函数
20、函数f（x）=cos（3x+φ）的图象关于原点中心对称，则（ ）
A、φ= B、φ=kπ+
C、φ=kπ D、φ=2kπ﹣（k∈Z）
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：根据函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，再根据奇函数的定义求出φ的数值，进而得到答案．
解答：解：因为函数y=cos（3x+φ）的图象关于原点中心对称，所以函数是奇函数，
所以f（﹣x）=﹣f（x），且函数的定义域为R，所以f（0）=0，即 cosφ=0，
∴φ=+kπ，（k∈z），
故选：B．
点评：本题主要考查余弦函数的对称性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数的奇偶性与函数图象之间的关系．21cnjy
21、将y=cos（2x+）图象向左平移个单位所得图象的一条对称轴是（ ）
A、x=﹣ B、x=
C、x= D、x=21cnjy
考点：余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：把y=cos（2x+）图象平移后所得函数为y=﹣sin2x，利用正弦函数求出对称轴，从而得到答案．
解答：解：将y=cos（2x+）图象向左平移个单位所得函数为 y=cos[2（x+）+]=﹣sin2x，
故所得图象的对称轴是 2x=kπ+，即 x=+，k∈z．
故选C．21cnjy
点评：本题考查三角函数的图象变换及简单性质，判断得图象的对称轴是 2x=kπ+，是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
22、已知f（n）=cos（n∈N*），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）= ﹣1 ．
考点：函数的值；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：由已知f（n）=cos（n∈N*）的解析式可以知道该函数是周21cnjy期函数，所以可以先取一些函数值找起规律即可．
解答：解：当n﹣1时，f（1）=cos=，当n=2时，f（2）=cos，当n=3时，，当n=4时，，
当n=5时，f（5）=，当n=6时，f（6）=，当n=7时，f（7）=，
当n=8时，f（8）=，当n=9时，f（9）=，…由以上数值出现的规律可以知道，此函数的一个周期为T=8，
利用函数的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+…f（8）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=f（1）+F（2）+f（3）+f（4）==﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：此题考查了求函数解析式求函数值，并利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性进行对于很多项函数值的求解．
23、下面四个函数：①；②；③；④中，同时具有“最小正周期是对称”两个性质的函数序号是 ① ．21cnjy
24、若函数y（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）与函数g（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象具有相同的对称中心，则φ= ．
考点：正弦函数的对称性；正弦函数的图象；余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：由题意可知函数的周期相同，求出函数g（x）=cos（2x﹣）的一个对称中心，就是函数y（x）=2sin（2x+φ）的对称中心，结合（|φ|＜）求出φ的值．
解答：解：若函数y（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）与函数g（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象具有相同的对称中心，所以ω=2，当2x﹣=时函数值为0，即x=时函数值为0，
所以x=时函数y（x）=2sin（2x+φ）的值也为0，即φ=kπ，|φ|＜，所以φ=；
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查三角函数的周期，函数的对称性，考查逻辑推理能力，计算能力．
25、若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f（）=f（），则下列函数中，符合上述条件的有 ①③ ．（填序号）
①f（x）=cos4x；②f（x）=sin（2x）；
③f（x）=sin（4x）；④f（x）=cos（4x）．21cnjy
考点：正弦函数的对称性；正弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性。
专题：综合题。
分析：根据条件先判断函数的一条对称轴是，再利用诱导公式对选项中解析式进行化简，根据正弦（余弦）函数的奇偶性和对称轴方程进行逐一判断．
解答：解：由题意知，函数的一条对称轴是x=，
①、f（x）=cos4x是偶函数，把x=代入得，4x=π，则是函数的对称轴，故①符合条件；
②、f（x）=sin（2x）=cos2x是偶函数，把代入得，2x=，则不是函数的对称轴，故②不符合题意；
③、f（x）=sin（4x）=cos4x，同①分析，故③符合题意；
④、f（x）=cos（4x）=﹣sin4x是奇函数，故④不符合题意．
故答案为：①③．
点评：本题考查了正弦（余弦）函数的奇偶性和对称性的应用，需要先通过诱导公式进行化简，考查了分析问题和解决问题的能力．
26、函数y=3cos（2x﹣），x∈R的减区间为 ，对称中心为 ．
考点：余弦函数的单调性；余弦函数的对称性。
专题：数形结合。21*cnjy*com
分析：首先根据余弦函数的减区间以及对称中心，推出函数函数y=3cos（2x﹣），x∈R中2x﹣的范围，解出x的范围即可．
解答：解：∵余弦函数的减区间为：21cnjy
[2kπ，2kπ+π]（k∈z）
∴函数y=3cos（2x﹣），x∈R减区间满足
2x﹣∈[2kπ，2kπ+π]（k∈z）
解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈z）
∵余弦函数的对称中心为：
（kπ+，0）
∴函数y=3cos（2x﹣），x∈R减区间满足
2x﹣=kπ+
∴对称中心为：（，0）
故答案为：[kπ+，kπ+]（k∈z）
（，0） （k∈z）
点评：本题考查余弦函数的单调性，以及余弦函数的对称性，通过对函数单调区间的理解，转化为正弦型函数的单调区间，属于中档题．
三、解答题（共3小题）
27、已知函数．
（I）当180°＜x＜360°时，化简函数f（x）的表达式；
（II）写出函数f（x）的一条对称轴．21*cnjy*com
考点：三角函数的化简求值；余弦函数的对称性。
专题：计算题。
分析：（I）把函数解析式的分子第一个因式中的一三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，化简后第一个因式提取2cos，剩下的式子利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简；分母被开方数提取2后，利用二倍角的余弦函数公式化简，再根据=|a|进行变形，由x的范围求出的范围，根据绝对值的代数意义进行化简，最后分子分母约分后即可最简的函数f（x）的解析式；21*cnjy*com
（II）由第一问得到化简后的函数解析式发现为一个余弦函数，其对称轴为x=2kπ，k∈Z，故取一个整数Z可得一条对称轴，比如Z=0，可得对称轴为x=0，答案不唯一．
解答：（本小题满分8分）
解：（I）=，（4分）
因为180°＜x＜360°，，（5分）21*cnjy*com
所以；（6分）
（II）函数f（x）=cosx的一条对称轴是x=0．（答案不唯一，满足x=2kπ，k∈Z）（8分）
点评：此题考查了三角函数的化简求值，以及余弦函数的对称性，涉及的知识有二倍角的正弦、余弦函数公式，二倍根式的化简公式，以及余弦函数的对称轴，学生化简函数解析式时注意运用x的范围确定的范围，进而化简绝对值，熟练掌握公式是第一问化简函数解析式的关键．
28、已知函数，．
（I）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．
考点：余弦函数的对称性；正弦函数的单调性。21*cnjy*com
专题：综合题。
分析：（1）先对函数f（x）根据二倍角公式进行化简，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴求出x0的值后代入到函数g（x）中，对k分奇偶数进行讨论求值．
（2）将函数f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化简整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=，然后令求出x的范围即可．
解答：解：（I）由题设知．
因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以=kπ，
即（k∈Z）．
所以．21*cnjy*com
当k为偶数时，，
当k为奇数时，．
（II）
=
=．
当，即（k∈Z）时，
函数是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是（k∈Z）．
点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣单调性、对称性．考查二倍角公式的运用．
29、已知向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=?，（a为常数）．21*cnjy*com
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当时，函数g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
考点：余弦函数的对称性；函数单调性的性质；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法。
专题：综合题。
分析：（1）由已知中向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=?，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而根据余弦型函数的对称性得到函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式及可得函数g（x）的解析式，根据函数g（x）的图象关于y轴对称，可得a值，进而根据函数的周期，利用分组求和法可得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3））∵已知对任意实数x1，x2，都有成立，可证得当时，当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2）．进而根据函数单调性的定义可得，当时，函数g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
解答：解：（1）∵向量=（2cosx，2sinx），=，
又∵f（x）=?，
∴
=． …（4分）
由，得，
即函数f（x）的对称轴方程为．…（6分）
（2）由（1）知
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）是偶函数，即a=0．
故…（8分）21*cnjy*com
又函数g（x）的周期为6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010． …（11分）
（3）∵已知对任意实数x1，x2，都有成立
∴对于任意x1，x2且x1＜x2，由已知得．
∴=21*cnjy*com
∵，
∴
即当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2）．
所以当时，函数g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．…（16分）21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是余弦函数的对称性，函数的单调性的性质，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，其中求出函数f（x）的解析式及函数g（x）的解析式是解答本题的关键．
21*cnjy*com
