正切函数的性质和图像
一、选择题（共12小题）
1、在（0，2π）内，使sinx≥|cosx|成立的x的取值范围为（ ）
A、[] B、[]
C、[] D、[]
2、在区间范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
3、函数y=sinx和y=tanx的图象在[﹣2π，2π]上交点的个数为（ ）
A、3 B、5
C、7 D、9
4、函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、在同一直角坐标系中，作出y=sinx，y=x，y=tanx在区间的图象，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、 “”是“”的（ ）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
7、已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（，0），则φ可以是（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、
8、满足tga≥ctga的角a的一个取值区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
10、函数y=tg（）在一个周期内的图象是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、函数的单调增区间为（ ）
A、
B、（kπ，（k+1）π），k∈Z
C、
D、
12、在区间范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A、1 B、21世纪教育网版权所有
C、3 D、4
二、填空题（共7小题）
13、设定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 _________ ．
14、定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 _________ ．
15、若tanx=﹣，则x= _________ ．
16、若函数f（x）在其定义域内某一区间[a，b]上连续，且对[a，b]中任意实数x1，x2，都有，则称函数f（x）在[a，b]上是下凸函数；有以下几个函数：
①f（x）=x2+ax+b，x∈R；
②；1世纪教育网版权所有
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④；
⑤．
其中是下凸函数的是 _________ ．
17、函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是 _________ ．
18、若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数的图象过点，则函数y=f﹣1（x）﹣（arcsinx+arccosx）的图象一定过点 _________ ．
19、如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为 _________ ．1世纪教育网版权所有
三、解答题（共1小题）
20、作出下列函数的图象
（1）；1世纪教育网版权所有
（2）y=|tan|x||．
答案与评分标准
一、选择题（共12小题）
1、在（0，2π）内，使sinx≥|cosx|成立的x的取值范围为（ ）
A、[] B、[]1世纪教育网版权所有
C、[] D、[]
考点：同角三角函数间的基本关系；正切函数的图象。
专题：数形结合。
分析：由x在（0，2π）范围内，在平面直角坐标系中画出y=sinx和y=|cosx|的图象，根据图象可知在图中阴影部分取x的值时，sinx大于等于|cosx|，且x属于0到π，故在（0，π）范围内，求出sinx=|cosx|的x的值，根据x的值写出满足题意x的范围即可．
解答：
解：在（0，2π）内，画出y=sinx及y=|cosx|的图象，
由函数的图象可知，阴影部分的sixn≥|cosx|，
所以在（0，π）内，令sinx=cosx或sinx=﹣cosx，
而sin2x+cos2x=1，则sinx=cosx=或sinx=﹣cosx=，1世纪教育网版权所有
解得：x=或x=，
则满足题意的x的取值范围为[，]．
故选A
点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握正弦、余弦函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题．
2、在区间范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：正弦函数的图象；正切函数的图象。
专题：数形结合。1世纪教育网版权所有
分析：在同一直角坐标系中，分别作出分别作出函数y=tanx与函数y=sinx的图象，观察图象，能够得两个函数的图象有3个交点．
解答：解：在同一直角坐标系中，分别作出分别作出函数y=tanx与函数y=sinx的图象，
观察图象，知在﹣π，0，π 处，两个函数的函数值都是0．即两个函数的图象有3个交点．
故选C．
点评：本题考查函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数，解题时要认真审题，作出两个函数的图象，注意数形结合的灵活运用．
3、函数y=sinx和y=tanx的图象在[﹣2π，2π]上交点的个数为（ ）
A、3 B、5
C、7 D、9
4、函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象。
专题：分类讨论。
分析：本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．
解答：解：函数，
分段画出函数图象如D图示，
故选D．
点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”
5、在同一直角坐标系中，作出y=sinx，y=x，y=tanx在区间的图象，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、 “”是“”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：根据当时成立判断是成立的充分条件，当tanθ=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件．
解答：可知充分，当θ=0°时可知不必要．
故选A
点评：本题主要考查了充分、必要条件的判定．属基础题．
7、已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（，0），则φ可以是（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：将（，0）代入原函数可得，tan（+φ）=0，再将四个选项代入检验即可．
解答：解：依题意可知tan（2+φ）=tan（+φ）=0，解得φ=kπ﹣
故选A
点评：本题主要考查了正切函数的性质．属基础题．
8、满足tga≥ctga的角a的一个取值区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：先根据同角三角函数的关系可知ctga=tan（﹣a），再利用正切函数的单调性及单调区间，求得a的范围，对四个选项逐个验证即可．
解答：解：tan（a）≥ctga=tan（﹣a），
∴kπ+＞a≥kπ+﹣a（k∈Z），即kπ+＞a≥+
∴是角a的一个取值区间
故选C
点评：本题主要考查了正切函数的图象和正切函数的单调性．属基础题．
9、已知α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：通过判断α，β∈R、“α=β”，能否得到tanα=tanβ；以及tanα=tanβ能否推出α，β∈R，则“α=β”，即可判断充分必要条件．
解答：解：α，β∈R，则“α=β”如果α=β=90°，不存在tanα，tanβ所以不可能得到“tanα=tanβ”；
“tanα=tanβ”可得角α，β的终边可能相同，也可能不相同，推不出“α=β”，
所以α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件．
故选D
点评：本题考查充要条件知识，注意到前提与结论的关系，正切函数的定义域，是易错点，考查基本知识掌握的情况．
10、函数y=tg（）在一个周期内的图象是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、函数的单调增区间为（ ）
A、 B、（kπ，（k+1）π），k∈Z
C、 D、
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．
解答：解：函数的单调增区间满足，
∴单调增区间为，
故选C
点评：本题主要考查了正切函数的单调性．属基础题．
12、在区间范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：正切函数的图象；正弦函数的图象。
专题：综合题。
分析：通过sinx＜x＜tanx（），以及y=sinx与y=tanx的奇偶性，分求解即可．
解答：解：因为“sinx＜x＜tanx（）”，
故y=sinx与y=tanx，在内的图象无交点，又它们都是奇函数，
从而y=sinx与y=tanx，在内的图象也无交点，
所以在区间范围内，
函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为1个，即坐标原点（0，0）．
故选A
点评：本题是基础题，考查正切函数，正弦函数的图象及性质；可以在同一坐标系中，作出y=sinx与y=tanx，在内的图象，容易误认为3个交点．
二、填空题（共7小题）
13、设定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 ．
考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象；正切函数的图象。
专题：计算题；转化思想。
分析：求出点p的横坐标，然后代入y=cosx的方程，求出y的值，就是线段P1P2的长．
解答：解：定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P，所以4tanx=6sinx，即cosx=，求出x就是P1的横坐标，由题意可知横坐标代入y=cosx就是线段P1P2的长：
故答案为：
点评：本题是基础题，考查函数图象的交点的坐标的求法，函数解析式的理解，注意转化思想的应用．
14、定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 ．
15、若tanx=﹣，则x= {x|kπ﹣，k∈Z} ．
考点：正切函数的图象。
专题：数形结合。
分析：画出一个周期上的正切函数的图象，由图和题意求出方程的解集．
解答：解：在坐标系中画出一个周期上的正切函数的图象：
由图得，tanx=﹣，解得x=kπ﹣，k∈Z，
故答案为：{x|x=kπ﹣，k∈Z}．
点评：本题考查了由正切函数的图象求关于正切函数的方程的解集，注意利用函数的周期求出解集．
16、若函数f（x）在其定义域内某一区间[a，b]上连续，且对[a，b]中任意实数x1，x2，都有，则称函数f（x）在[a，b]上是下凸函数；有以下几个函数：
①f（x）=x2+ax+b，x∈R；
②；
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④；
⑤．
其中是下凸函数的是 ①②⑤ ．
考点：正切函数的图象；二次函数的图象；对数函数的图像与性质；正弦函数的图象。
专题：新定义。
分析：由已知中下凸函数的定义，我们可以判断出下凸函数的图象形状，根据二次函数，对勾函数，正弦函数，正切函数，对数函数的图象和性质，逐一比照后可得答案．
解答：解：由已知中下凸函数的定义，可得下凸函数的图象形状可能为：
或或
可得函数f（x）=x2+ax+b，x∈R为下凸函数
函数为下凸函数
函数f（x）=sinx，x∈[π，2π）为下凸函数，函数f（x）=sinx，x∈[0，2π）不为下凸函数；
函数为下凸函数，函数不为下凸函数
函数为下凸函数
故答案为：①②⑤
点评：本题考查的知识点是正切函数的图象，二次函数的图象，对数函数的图象，正弦函数的图象，其中根据下凸函数的定义判断出下凸函数的图象形状是解答本题的关键．
17、函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是 3 ．
18、若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数的图象过点，则函数y=f﹣1（x）﹣（arcsinx+arccosx）的图象一定过点 ．
考点：正切函数的图象。
专题：计算题。
分析：由函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且函数的图象过点，代入计算出函数y=f（x）的图象过哪一个点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）过什么点，进而得到函数y=f﹣1（x）﹣（arcsinx+arccosx）的图象过的定点．
解答：解：∵函数的图象过点，
∴=tan﹣f（2）
即f（2）=
即函数y=f（x）的图象过点（2，）
则函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）过（，2）点
∴函数y=f﹣1（x）﹣（arcsinx+arccosx）的图象一定过点，
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是函数的图象及图象的变化，处理本题的核心是：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，具体为：函数y=f（x）的图象过（a，b）点，则函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x）的图象过（b，a）点．
19、如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为 x﹣y﹣2=0 ．
考点：直线的点斜式方程；正切函数的图象。
分析：根据图象求得A、B两点的坐标，再用点斜式求得方程．
解答：解：如图A（2，0），B（3，1）
∴k=
∴直线方程y﹣1=x﹣3
即：x﹣y﹣2=0
点评：本题主要考查直线方程的求法．
三、解答题（共1小题）
20、作出下列函数的图象
（1）；
（2）y=|tan|x||．
考点：正弦函数的图象；正切函数的图象。
专题：作图题。
分析：（1）对函数分别去掉绝对值符号，在使得sinx为正、负、0的x的区间上进行讨论，然后画出图象即可．
（2）y=|tan|x||．考虑函数中的绝对值，结合正切函数的性质，考查y=tanx的符号，分区间解答，然后画图象．
解答：解：（1）；
当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，y=1，
当x∈（2kπ﹣π，2kπ），k∈Z，y=﹣1，
当x=kπ时 函数无意义，其图象为
（2）y=|tan|x||．
当x∈[kπ，kπ+）时，y=tanx，
当x∈（kπ﹣，kπ）时，y=﹣tanx，
图象为：
点评：本题考查三角函数的图象，注意函数的定义域，分段函数的图象，是基础题．
