正弦函数的单调性
一、选择题（共20小题）
1、函数的定义域是（ ）
A、. B、.
C、. D、.
2、下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）
A、y=﹣log2x B、y=sinx
C、 D、y=arccosx
3、定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α、β是锐角三角形中两个不相等的锐角，则（ ）
A、f（cosα）＞f（cosβ） B、f（sinα）＜f（cosβ）
C、f（sinα）＞f（sinβ） D、f（sinα）＞f（cosβ）
4、已知偶函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）
A、f（sinα）＞f（cosβ） B、f（sinα）＜f（cosβ）
C、f（sinα）＞f（sinβ） D、f（cosα）＞f（cosβ）
5、函数的一个单调递增区间为（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
6、数的一个单调递减区间是（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
7、若，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（ ）
A、α＞β B、α+β＞0
C、α＜β D、α2＞β2
8、下列函数中既是奇函数，又在区间[0，+∞]上单调递增的函数是（ ）
A、y=sinx B、y=﹣x2
C、y=lg2x D、y=3|x|21世纪教育网版权所有
9、下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A、y=sinx B、a＜b
C、 D、
10、函数y=log0.5（sin2x+cos2x）单调减区间为（ ）
A、（kπ﹣，kπ+），k∈z
B、（kπ﹣，kπ+），k∈z
C、（kπ+，kπ+），k∈z
D、（kπ+，kπ+），k∈z
11、函数的单调增区间是（ ）
A、
B、
C、
D、
12、锐角△ABC中，sinA和cosB的大小关系是（ ）
A、sinA=cosB B、sinA＜cosB
C、sinA＞cosB D、不能确定
13、若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
14、关于函数函数f（x）=，以下结论正确的是（ ）
A、f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
B、f（x）的最小正周期是2π，最大值是221世纪教育网版权所有
C、f（x）的最小正周期是π，最大值是
D、f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
15、下列函数中，在[0，]内是增函数且以π为最小正周期的函数是（ ）
A、y=|sinx| B、y=tan2x
C、y=sin2x D、y=cos4x
16、已知f（x）=sin2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ）
A、π，[0，π] B、2π，[﹣，]
C、π，[﹣，] D、2π，[﹣，]21世纪教育网版权所有
17、已知函数f（x）=sinx+cosx，下列选项中正确的是（ ）
A、f（x）在上是递增的
B、f（x）图象关于原点对称
C、f（x）的最大值是2
D、f（x）的最小正周期为2π
18、在函数y=|tanx|，y=|sin（x+）|，y=|sin2x|，y=sin（2x﹣）四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间（0，）上的增函数个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、2
C、3 D、4
19、函数y=cos2ωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）=2sin（ωx+）的一个单调递增区间是（ ）
A、[﹣，] B、[﹣，]
C、[﹣，] D、[，]21世纪教育网版权所有
20、使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣，0]上为减函数的θ值为（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、函数y=的定义域是 _________ ．
22、函数的定义域是 _________ ．21世纪教育网版权所有
23、函数y=1gsinx+的定义域是 _________ ．
24、函数f（x）=的值域为 _________ ．
25、函数f（x）=﹣2exsinx的单调递减区间_ _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数的最大值为2，求a的值．
27、写出函数的单调区间．
28、设α∈（0，），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y），求：21世纪教育网版权所有
（1）f（）及sinα的值；
（2）函数g（x）=sin（α﹣2x）的单调递增区间；
（3）（理）n∈N时，an=，求f（an），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式（不需证明）．
29、已知向量，函数f（x）=2a2．求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间．
30、设函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当﹣≤x≤时，f（x）的值域
（2）若函数f（x ）的图象的一条对称轴为x=，求ω的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、函数的定义域是（ ）21世纪教育网版权所有
A、. B、.
C、. D、.
考点：函数的定义域及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：依题意可得sinx﹣≥0即sinx≥，解不等式可得．
解答：解：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥21世纪教育网版权所有
又x∈（0，2π）
∴函数的定义域是．
故选B．
点评：本题考查了函数定义域的求解，三角不等式的解法，解三角不等式的常用方法是借助于单位圆中的三角函数线进行求解，试题较易．
2、下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）
A、y=﹣log2x B、y=sinx21世纪教育网版权所有
C、 D、y=arccosx
考点：函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的单调性；反三角函数的运用。
专题：探究型。
分析：由正弦函数，对数函数，指数函数，反余弦函数的单调性很容易得到答案．
解答：解：∵y=sinx在上是增函数，（0，1）?[﹣π2，π2]
∴y=sinx在（0，1）上是增函数．21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题．
3、定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α、β是锐角三角形中两个不相等的锐角，则（ ）
A、f（cosα）＞f（cosβ） B、f（sinα）＜f（cosβ）
C、f（sinα）＞f（sinβ） D、f（sinα）＞f（cosβ）
4、已知偶函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）
A、f（sinα）＞f（cosβ） B、f（sinα）＜f（cosβ）
C、f（sinα）＞f（sinβ） D、f（cosα）＞f（cosβ）
考点：函数单调性的性质；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：由“偶函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递增函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β＞，转化为＞α＞﹣β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin（）=cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．
解答：解：∵偶函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数21世纪教育网版权所有
∴f（x）在[0，1]上为单调递增函数
又α、β为锐角三角形的两内角
∴α+β＞
∴＞α＞﹣β＞021世纪教育网版权所有
∴1＞sinα＞sin（）=cosβ＞0
∴f（sinα）＞f（cosβ）
故选A．
点评：本题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．
5、函数的一个单调递增区间为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：复合函数的单调性；正弦函数的单调性。
专题：综合题。
分析：本题求函数的单调区间，由于函数的定义域不是R，故首先要解出函数的定义域，再求出函数的单调增区间，可令求出函数的定义域，再令，k∈z，解出函数的增区间，取增区间与定义域的交集即可得到函数的单调增区间的表达式，再对比四个选项，选出正确选项
解答：解：由题意，先求函数的定义域，令得，即，k∈z，即函数的定义域是，k∈z，
令，得，k∈z，即函数的单调递增区间是k∈z，21世纪教育网版权所有
综上，函数的递增区间为∈z，
观察四个选项，B正确
故选B
点评：本题考查复合函数的单调性，此类题的求解一般是根据内外层函数的特征确定出函数的单调区间，本题考查了转化的思想
6、数的一个单调递减区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：复合函数的单调性；对数函数的单调区间；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用复合函数的单调性的规律：同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性，利用三角函数的单调性的处理方法：整体思想求出单调区间，从而得到函数的一个单调递减区间．
解答：解：∵y=log0.5t为减函数，21世纪教育网版权所有
y=log0.5sin（﹣2x）单调减区间即为t=sin（﹣2x）的单调增区间
令k∈Z
解得
而?21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法，属于基础题．
7、若，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（ ）
A、α＞β B、α+β＞0
C、α＜β D、α2＞β2
考点：函数奇偶性的性质；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．
解答：解：∵，
∴αsinα，βsinβ皆为非负数
∵αsinα﹣βsinβ＞0，
∴αsinα＞βsinβ
∴|α|＞|β|，
∴α2＞β2
故应选D
点评：本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．
8、下列函数中既是奇函数，又在区间[0，+∞]上单调递增的函数是（ ）
A、y=sinx B、y=﹣x2
C、y=lg2x D、y=3|x|
9、下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A、y=sinx B、a＜b
C、 D、21世纪教育网
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的单调性。
分析：本题考查的知识点是函数的奇偶性、函数的单调性．我们根据基本函数的性质，分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，易得到答案．
解答：解：y=sinx是奇函数，但在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错误；
a＜b不是函数的解析式，故B错误；
既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，故C正确；
为偶函数，故D错误；
故选C
点评：（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义 （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．
10、函数y=log0.5（sin2x+cos2x）单调减区间为（ ）
A、（kπ﹣，kπ+），k∈z B、（kπ﹣，kπ+），k∈z
C、（kπ+，kπ+），k∈z D、（kπ+，kπ+），k∈z
考点：对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用复合函数的单调性的规律：同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性，利用三角函数的单调性的处理方法：整体数学求出单调区间．
解答：解：∵y=log0.5t为减函数，
y=log0.5（sin2x+cos2x）单调减区间即为单调增区间
令21世纪教育网
解得
故选A．
点评：本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法．
11、函数的单调增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：对数函数的单调区间；正弦函数的单调性。
专题：计算题；综合题。
分析：根据对数函数的真数大于0和正弦函数的性质，求出原函数的定义域，再根据复合函数的单调性、对数函数、正弦函数的单调性，求出原函数的单调增区间．
解答：解：设u=sinx﹣cosx=sin（x﹣），由u＞0，
即sin（x﹣）＞0，解得，2kπ＜x﹣＜π+2kπ（k∈z），21世纪教育网
∴+2kπ＜x＜+2kπ，即函数的定义域是（+2kπ，+2kπ）（k∈z），
∵函数在定义域内是减函数，∴原函数的单调增区间是u的减区间，
由x﹣得，，
∵函数的定义域是（+2kπ，+2kπ）（k∈z），
∴所求的函数单调增区间是，
故选C．
点评：本题是有关函数单调性的综合题，涉及了复合函数的单调性、对数函数以及正弦函数的单调性，对于对数型复合函数需要先求出原函数的定义域，这是易错的地方．
12、锐角△ABC中，sinA和cosB的大小关系是（ ）
A、sinA=cosB B、sinA＜cosB21世纪教育网
C、sinA＞cosB D、不能确定
考点：任意角的三角函数的定义；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：由题意A+B，利用正弦函数的单调性，推出选项．
解答：解：锐角△ABC中，A+B，A＞0
sinA＞sin（）=cosB
故选C．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，正弦函数的单调性，考查计算能力．
13、（2001?北京）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
14、关于函数函数f（x）=，以下结论正确的是（ ）
A、f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数 B、f（x）的最小正周期是2π，最大值是2
C、f（x）的最小正周期是π，最大值是 D、f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：有关求复和角三角函数性质问题，可以先将函数化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后利用公式T=即可求出最小正周期，利用正弦函数y=sinx的增区间来求出f（x）=Asin（ωx+φ）的增区间即可确定选项．
解答：解：，最小正周期是π，在是增函数．f（x）==2cos2x+2cosxsinx﹣1=cos2x+1+sin2x﹣1=2（cos2x+sin2x）
=2（sincos2x+cossin2x）=2sin（2x+），21世纪教育网
所以函数最小正周期为T==π，最大值为2；
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
令k=0可知函数的一个增区间为[﹣，]，
由于D选项的增区间是所求区间的一个子区间，且周期为π．
故选择D
点评：本题主要考查复合角函数的周期，最值，单调区间的求法，并附带考查了降幂公式与两角和正弦公式，属于中等体型，难度系数0.6
15、下列函数中，在[0，]内是增函数且以π为最小正周期的函数是（ ）
A、y=|sinx| B、y=tan2x
C、y=sin2x D、y=cos4x
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：根据最小正周期等于π，排除B、D两个选项，根据在[0，]内，y=sin2x不是增函数，排除C选项，故选A．
解答：解：由于最小正周期等于π，而y=tan2x的周期为，y=cos4x的周期为，故排除B、D两个选项．
在[0，]内，y=|sinx|=sinx，是增函数，满足条件．
由于 0≤2x≤π，y=sin2x不是增函数，如x=时，sin2x=1，x=时，sin2x=＜1，故C选项不满足条件．
故选 A．
点评：本题考查三角函数的周期性，正弦函数的单调性，判断在[0，]内，y=sin2x不是增函数，是解题的难点．
16、已知f（x）=sin2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ）
A、π，[0，π] B、2π，[﹣，]21世纪教育网
C、π，[﹣，] D、2π，[﹣，]
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：利用二倍角、两角和的正弦函数公式化简函数f（x）=sin2x+sinxcosx为
解答：解：f（x）=sin2x+sinxcosx==
所以函数的周期是：π；
由于，所以 x∈[﹣，]是函数的单调增区间．
故选C
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．
17、已知函数f（x）=sinx+cosx，下列选项中正确的是（ ）
A、f（x）在上是递增的 B、f（x）图象关于原点对称
C、f（x）的最大值是2 D、f（x）的最小正周期为2π
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，求出最值，周期，判断A、B的正误，即可得到答案．
解答：解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），所以函数的最大值为：；最小正周期为：2π；f（x）在上是递增的，不正确；f（x）图象关于原点对称，不正确；
故选D．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的基本性质，考查计算能力．
18、在函数y=|tanx|，y=|sin（x+）|，y=|sin2x|，y=sin（2x﹣）四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间（0，）上的增函数个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性。
专题：作图题。
分析：分别画出函数y=|tanx|，y=|sin（x+）|，y=|sin2x|的图象，即可判断出是否满足条件；再由诱导公式对y=sin（2x﹣）进行化简，根据余弦函数的性质可得到答案．
解答：解：y=|tanx|，的图象如下
满足条件；21世纪教育网
y=|sin（x+）|=|cosx|的图象为
不满足条件；
y=|sin2x|的图象如图
不满足条件；
y=sin（2x﹣）=﹣cos2x，T==π，以π为周期的偶函数，
再由余弦函数的单调性知在（0，）上是增函数；
故选B．
点评：本题主要考查带绝对值的三角函数的图象和性质的应用．考查三角函数的对称性和单调性，三角函数的图象是高考的重点，一定要会画图．
19、函数y=cos2ωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）=2sin（ωx+）的一个单调递增区间是（ ）
A、[﹣，] B、[﹣，]
C、[﹣，] D、[，]
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题；整体思想。
分析：先根据函数y=cos2ωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期是π，求出ω=1，再结合正弦函数的单调性即可解题．
解答：解：因为：y=cos2ωx﹣sin2ωx=soc2ωx，
最小正周期是T==π．
∴ω=1．
所以f（x）=2sin（ωx+）=2sin（x+）．1*cnjy*com
2kπ﹣≤x+≤2kπ+?2kπ﹣≤x≤2kπ+k∈Z．
上面四个选项中只有答案B符合要求．
故选：B．
点评：本题主要考查正弦函数的单调性以及函数周期的求法．掌握正弦函数的单调性是解好本题的关键．
20、使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣，0]上为减函数的θ值为（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
考点：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．
解答：解：由已知得：f（x）=2sin（2x+θ+），
由于函数为奇函数，1*cnjy*com
故有θ+=kπ
即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项
然后分别将A和D选项代入检验，
易知当θ=时，
f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选D、
故答案为：D1*cnjy*com
点评：本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．
二、填空题（共5小题）
21、函数y=的定义域是 {x|6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）} ．
考点：函数的定义域及其求法；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：先根据根式里要大于等于零建立三角不等式，再利用三角函数的单调性和周期性解出自变量x的值．
解答：解：∵﹣sin≥0，
∴sin≤0
则2kπ﹣π≤≤2kπ?6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）．
故答案{x|6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）}
点评：本题主要考查了三角不等式，三角函数具有单调性和周期性，借此，我们可以研究单调性，但反过来我们也可以求解三角不等式，这是三角函数的单调性的逆向运用．
22、函数的定义域是 [2kπ，2kπ+π]k∈Z ．
考点：函数的值域；正弦函数的单调性。
分析：由题意可得 sinx≥0故2kπ+0≤x≤2kπ+π，k∈z，解出x的范围，即得所求．
解答：解：由题意可得 sinx≥0，1*cnjy*com
∴2kπ+0≤x≤2kπ+π，k∈z，
故函数的定义域为[2kπ，2kπ+π]，k∈z，
故答案为：[2kπ，2kπ+π]，k∈z．
点评：本题考查函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+π，k∈z，是解题的关键．
23、函数y=1gsinx+的定义域是 {x|﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π} ．
考点：函数的值域；对数函数的定义域；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：先分别求出y=lgsinx和y=的定义域，再求函数函数y=1gsinx+的定义域．
解答：解：函数y=1gsinx+的定义域满足，
解得，
∴{x|﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π}．1*cnjy*com
故答案：{x|﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π}．
点评：本题考查函数的定义域，解题时要认真审题，仔细解答．
24、函数f（x）=的值域为 ．
考点：函数的值域；正弦函数的单调性。1*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由f（x）==，令t=2sinx+1，则由sinx∈[﹣1，1]可得t∈[﹣1，3]，设m==，分类讨论①当t=0时，m=0②当0＜t≤3时，利用基本不等式可得m=③当﹣1≤t＜0时，t++4≤﹣1可求m，综合①②③可求m的范围，而f（x）=可求
解答：解：f（x）===
==
令t=2sinx+1则由sinx∈[﹣1，1]可得t∈[﹣1，3]，sinx=（t﹣1）
设m==1*cnjy*com
当t=0时，m=0
当0＜t≤3时，m=，即
当﹣1≤t＜0时，t++4≤﹣1 即﹣1≤m＜0．
综上可知：﹣1≤m≤
而f（x）=1*cnjy*com
∴函数f（x）的值域为[﹣，5]
点评：本题主要考查了利用判别式法函数值域，利用了正弦函数的值域，体现了函数与方程的相互转化及分类讨论的思想．
25、函数f（x）=﹣2exsinx的单调递减区间_ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数的最大值为2，求a的值．
考点：函数的最值及其几何意义；正弦函数的单调性；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：令t=sinx，问题就转二次函数在闭区间[﹣1，1]区间最值，由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，
解答：解：令t=sinx，t∈[﹣1，1]，
∴，对称轴为，
（1）当，即﹣2≤a≤2时，
，得a=﹣2或a=3（舍去）．
（2）当，即a＞2时，
函数在[﹣1，1]单调递增，
由，得．
（3）当，即a＜﹣2时，
函数在[﹣1，1]单调递减，
由，得a=﹣2（舍去）．1*cnjy*com
综上可得：a的值为a=﹣2或．
点评：本题考查了二次函数最值问题，换元配方求得函数的对称轴是解题的关键．当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．
27、写出函数的单调区间．1*cnjy*com
考点：对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的单调性。
专题：计算题；转化思想。
分析：本题即求函数t=sin（2x﹣）小于零时的减区间，故2kπ+π＜2x﹣＜2kπ+π，k∈z，解不等式求得x 的范围．
解答：解：函数=的增区间就是函数t=sin（2x﹣）小于零时的减区间．
∴2kπ+π＜2x﹣＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+π＜x＜kπ+π，k∈z．1*cnjy*com
故增区间为 （kπ+，kπ+） k∈z．
点评：本题考查对数函数的单调性及特殊点，正弦函数小于零时的减区间．
28、设α∈（0，），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y），求：
（1）f（）及sinα的值；
（2）函数g（x）=sin（α﹣2x）的单调递增区间；
（3）（理）n∈N时，an=，求f（an），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式（不需证明）．
考点：数列与函数的综合；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：（1）分别取x=1，y=0与x=0，y=1，求出sinα的值，从而求出f（）的值；
（2）先求出α，然后根据正弦函数的单调区间求出该函数的单调区间，将看成整体进行求解即可；
（3）根据条件可得f（an）是首项为f（a1）=，公比为的等比数列，即可猜测：f（x）=x．
解答：解：（1）f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sinα，
又：f（）=f（0）sinα+（1﹣sinα）f（1）=1﹣sinα，
∴sinα=1﹣sinα?sinα=
∴f（）=1﹣=
（2）由（1）知：sinα=，又α∈（0，）
∴α=
∴g（x）=sin（），
∴g（x）的增区间为[kπ﹣]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，an=，f（an）=f（）（n∈N，n≥2）
∴f（an）是首项为f（a1）=，公比为的等比数列，故f（an）=f（a1）?qn﹣1′=，猜测：f（x）=x．
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，以及数列与函数的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．
29、已知向量，函数f（x）=2a2．求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间．
考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值；正弦函数的单调性；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）先利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性求得单调递增时6x+的范围，进而求得x的范围，即函数的单调地增区间．
解答：解：
=．
（Ⅰ）当，即时，f（x）取最小值．
（Ⅱ）令，解得（k∈Z）．
故函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
点评：本题主要考查向量、三角函数的基础知识，同时考查根据相关公式合理变形、正确运算的能力．
30、设函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当﹣≤x≤时，f（x）的值域
（2）若函数f（x ）的图象的一条对称轴为x=，求ω的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：（1）钭条件中的f（x）化成y=asin（ωx+φ）的形式，再利用f（x）的周期为π，求ω；利用三角函数的单调性求当﹣≤x≤时，f（x）的值域；
（2）三角函数图象与性质可得，正弦函数y=sinx的对称轴方程是：x=+kπ，由此求得ω的值．
解答：解：f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．
（1）因为T=π，所以ω=1．∴f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2x+）+
当﹣≤x≤时，2x+∈[﹣，]，
所以f （x）的值域为[0，]．
（2）因为f（x）的图象的一条对称轴为x=，
所以2ω（）+=kπ+（k∈Z），
ω=k+（k∈Z），
又0＜ω＜2，所以﹣＜k＜1，又k∈Z，
所以k=0，ω=．
点评：本题考查主要有二个方面：一是考查三角函数本身的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题；二是通过三角函数（或三角函数与其它知识的综合）考查函数的性质，由于三角函数具有对称性与有界性等性质，因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证．
