在世纪问题中建立三角函数模型
一、选择题（共4小题）
1、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）21cnjy21*cnjy*com
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C、akm D、2akm21世纪教育网
2、某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）21*cnjy*com
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3、若动直线x=a与函数与的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A、 B、121cnjy
C、2 D、3
4、在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A、仍保持平静 B、不断波动
C、周期性保持平静 D、周期性保持波动
二、填空题（共11小题）
5、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= _________ ，其中t∈[0，60]．
6、如图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置．风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为 _________ m；风车翼片的端点离地面距离h（米）与启动时间t（分钟）之间的函数关系式为 _________ ．
7、俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin（t+）来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源（假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达），请你写出这个新增振动源的函数解析式 _________ ．
8、在△ABC中，已知，c=10，P是△ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2+PC2的最大值为 _________ ．
9、如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π），若x=0时，P在最高点，则函数表达式为： _________ ．21世纪教育网
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10、如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平板面为矩形，宽为1m．问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过 _________ 米．21*cnjy*com
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11、在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 _________ ．21cnjy
12、国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= _________ ．
13、若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离 _________ ，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r2成反比）
14、在一个半径为2的半圆上截取一个矩形，则矩形的最大面积为 _________ ．
15、2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则sinθ+cosθ= _________ ．
三、解答题（共10小题）
16、如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S1和S2．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
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17、在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；21*cnjy*com 221世21cnjy纪教育网1世纪教育网版权所有
（2）求y的最大值．21世纪教育网
18、某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2009年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦曲线上下波动，且3月份的批发价格最高为14元/盒，7月份的批发价格最低为10元/盒．该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦曲线上下波动，且5月份的销售价格最高为16元/盒，9月份的销售价格最低为12元/盒．
（Ⅰ）求该药品每盒的批发价格f（x）和销售价格g（x）关于月份x的函数解析式；
（Ⅱ）假设某药店每月初都购进这种药品p盒，且当月售完，求该药店在2009年哪些月份是盈利的？说明你的理由．
19、如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
20、如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．
21、如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
22、如图，矩形纸片ABCD的边AB=24，AD=25，点E、F分别在边AB与BC上．现将纸片的右下角沿EF翻折，使得顶点B翻折后的新位置B1恰好落在边AD上．设，EF=l，l关于t的函数为l=f（t），试求：21世纪教育网
（1）函数f（t）的解析式；21世纪教育网版权所有
（2）函数f（t）的定义域．21世纪教育网版权所有
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23、在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．21世纪教育网
现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得．21*cnjy*com
（1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？
24、如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．
25、如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；21世纪教育网
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（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．21*cnjy*com
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答案与评分标准
一、选择题（共4小题）
1、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）21世纪教育网版权所有
A、akm B、akm21世纪教育网
C、akm D、2akm
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．21*cnjy*com
解答：解：
由图可知，∠ACB=120°，21世纪教育网版权所有
由余弦定理21cnjy
cos∠ACB=
==﹣，
则AB=a（km）．
故选B．
点评：本题主要考查余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形和解决实际问题时用的比较多，这两个定理及其推论，一定要熟练掌握并要求能够灵活应用．
2、某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t
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15
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21
24
y
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A、17 B、16
C、5 D、4
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．
点评：求解具有周期变化现象的实际问题关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是：审题，建模，求解，还原．
3、若动直线x=a与函数与的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
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C、2 D、321世纪教育网
考点：在实际问题中建立三角函数模型。2121*cnjy*com世纪教育网21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：假设h（a）=，因为求|MN|的最大值即求函数h（a）的最大值的问题，然后根据两角和与差的正弦公式对函数h（a）进行化简，最后根据正弦函数的最值求得答案．21cnjy
点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的最值的问题．考查基础知识的综合问题，三角函数的内容比较多，比较散，平时一定要多积累多练习．
4、在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A、仍保持平静 B、不断波动
C、周期性保持平静 D、周期性保持波动
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
分析：由题目中如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，则在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，我们计算出+值，然后结合实际问题即可得到答案．
解答：解：∵+
=sint+sint?cos+cost?sin+sint?cos+cost?sin
=sint﹣sint+cost﹣sint﹣cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，其中根据已知得到三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，进而将实际问题转化为三角函数求和问题是解答的关键．21世纪教育网版权所有21世纪教育网
二、填空题（共11小题）21世纪教育网
5、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= ，其中t∈[0，60]．
点评：本题是一个实际应用问题，为了学生掌握这一部分的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法．
6、如图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置．风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为 m；风车翼片的端点离地面距离h（米）与启动时间t（分钟）之间的函数关系式为 h=8sin（t+）+10（t≥0） ．21*cnjy*com
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考点：在实际问题中建立三角函数模型。
分析：由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ
解答：解：由题意，T=12，∴ω=，设f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0），则，
∴A=8，B=10，∵t=0时，f（t）=2，∴φ=，
∴f（t）=8sin（t+）+10，当t=17时，，
故答案为；h=8sin（t+）+10（t≥0）
点评：本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用．
7、俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin（t+）来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源（假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达），请你写出这个新增振动源的函数解析式 ．21*cnjy*com
8、在△ABC中，已知，c=10，P是△ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2+PC2的最大值为 88 ．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。21世纪教21cnjy育网版权所有
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：由，结合正弦定理，我们易判断三角形的形状，进而给出三角形的三边长，及三角形内切圆半径，以C为原点建立坐标设后，构造内切圆方程，和PA2+PB2+PC2的表达式，结合P点位置范围，即可得到结论．
解答：解：∵=
∴sinA?cosA=sinB?cosB21世纪教育网
即sin2A=sin2B21世纪教育网
由a≠b，故A≠B
∴2A+2B=π
即A+B=
∴C=
又∵c=10，
∴a=6，b=8，
则内切圆半径r=2，
以C为原点，CA，CB分别为X，Y轴正方向建立坐标系，
则C（0，0），A（8，0），B（0，6）
设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=4
PA2+PB2+PC2=x2+y2+（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76
=88﹣4x
当x=0时，PA2+PB2+PC2取最大值为88
故答案：88
点评：本题考查的知识有正弦定理，三角形内切圆求法，函数的最值，其中根据三角形形状，构造坐标系，进而将PA2+PB2+PC2的最大值转化为函数最大值问题，是解答的关键．
9、如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π），若x=0时，P在最高点，则函数表达式为： +2 ．21世纪教育网
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专题：计算题。21*cnjy*com
分析：先根据y的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时函数有最大值，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．
10、如图，一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平板面为矩形，宽为1m．问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过 3﹣2 米．21cnjy
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：如图，先设平板手推车的长度不能超过 x米，则得出x为最大值时，此时平板手推车所形成的三角形：ADE'为等腰直角三角形．连接E与E'与AD交于点F，利用ADE'为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
解答：解：平板手推车的长度不能超过 x米，
则此时x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形：
ADE'为等腰直角三角形．
连接E与E'与AD交于点F，得：EE'=（3）/2
故：FE'=EE'﹣EF=（3）/2﹣1
又ADE'为等腰直角三角形
故得：AD=2AF=2FE'=3﹣2．
故答案为：3﹣2．
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点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形．21世纪教育网版权所有
11、在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 2个 ．21cnjy
考点：在实际问题中建立三角函数模型。21*cnjy*com
专题：数形结合。21世纪教育网
分析：由题意知，要求三角函数图象与直线的交点个数问题，只要使得三角函数等于直线对应的值，解出关于三角函数的结果，在规定的范围内看出解得个数，即得到交点个数．
点评：本题考查三角函数的图形与直线的交点个数，由图形可以得到一些性质包括周期、单调性、函数的值域，这种问题容易出成综合题目，也是高考必考的一种类型的题目，属于容易题，是一个送分的题．
12、国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题；应用题。
分析：通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
解答：解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+）+60，因为sin（ωπt+）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+）=﹣1，
此时150ωπ+=2kπ﹣，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+=2π﹣，
解得ω=．
故答案为：．
点评：本题是应用题，考查函数的好像是的求法，注意几何量之间的关系，正确理解题意是解题的关键．
13、若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离 a ，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r2成反比）
考点：在实际问题中建立三角函数模型。21*cnjy*com 1cnjy 21世纪21世纪教育网教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据题意列出照度函数关系式，建立三角函数模型，然后用均值不等式求最值即可．
解答：解：依题意可设照度y=k?，则有cosφ=，y=，
又sinφcos2φ=≤=
当且仅当sin2φ=即，时，y有最大值，此时BO=atanφ=a，
故正确答案为a．
点评：解答此题要注意审题，理解照度的含义，建立三角函数模型，考查均值不等式的应用．
14、在一个半径为2的半圆上截取一个矩形，则矩形的最大面积为 8 ．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：设矩形的对角形与一边的夹角为θ，利用直角三角形中三角函数的定义，可得矩形的两边长分别为2Rsinθ和2Rcosθ，因此矩形的面积为S=4R2sinθcosθ，代入题中数据再结合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面积的最大值．
解答：解：设此矩形为ABCD，可得对角线AC是外接圆的一条直径
设∠CAB=θ，则在Rt△ABC中，AC=4，，
∴AB=4cosθ，BC=4sinθ
∴矩形ABCD的面积为S=AB×BC=4cosθ?4sinθ=16sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=8sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°时等号成立
∴当θ=45°时，Smax=8，此时矩形恰好是正方形
故答案为：8．
点评：本题考查了三角函数的定义与二倍角公式，以及在实际问题中建立三角函数模型解决应用题的能力，属于中档题．
15、2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则sinθ+cosθ= ．
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专题：计算题。21cnjy
分析：根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．．21世纪教育网
点评：本题的考点是在实际问题中建立三角函数模型，主要考查求解三角函数，关键是理解题意，正确利用勾股定理
三、解答题（共10小题）21世纪教育网
16、如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S1和S2．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
考点：根据实际问题选择函数类型；在实际问题中建立三角函数模型。
专题：应用题。
分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．21*cnjy*com
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．
17、在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．21世纪教育网
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；21cnjy
（2）求y的最大值．
考点：数列与三角函数的综合；在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值。
专题：综合题。
分析：（1）根据三个角成等差数列得到角B的大小，根据正弦定理写出三角形的边长，表示出三角形的周长，得到关于x的函数式．
（2）根据上一问的结果，对三角函数进行恒等变形，得到y=Asin（x+φ）+b的形式，这样可以根据正弦曲线的性质做出函数的最大值．
解答：解（1）∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴由A＞0，C＞0，得，即
由正弦定理得：
∴
∴
（2）
=
=∵
∴
∴当，即时，ymax=1821世纪教育网版权所有
点评：本题考查数列与三角函数的综合问题，本题解题的关键是求出对函数式进行恒等变形，得到可以求解三角函数性质的形式，这是绝大部分三角函数题目要做到一个环节．
18、某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2009年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦曲线上下波动，且3月份的批发价格最高为14元/盒，7月份的批发价格最低为10元/盒．该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦曲线上下波动，且5月份的销售价格最高为16元/盒，9月份的销售价格最低为12元/盒．21世纪教育网
（Ⅰ）求该药品每盒的批发价格f（x）和销售价格g（x）关于月份x的函数解析式；21*cnjy*com 21世纪教育网
（Ⅱ）假设某药店每月初都购进这种药品p盒，且当月售完，求该药店在2009年哪些月份是盈利的？说明你的理由．
考点：三角函数的周期性及其求法；在实际问题中建立三角函数模型。21cnjy
专题：计算题。
分析：（1）设f（x）=A1sin（ω1x+φ1），根据价格最高和最低可求得振幅A1，根据月份求得周期，进而可求得ω，把x=3代入函数式求得φ，则函数f（x）的解析式可得，同样的道理可求得该药品每件的销售价格函数解析式．
（2）设该药店第x月购进这种药品p盒所获利润为y元，则根据y=p[g（x）﹣f（x）]把（1）中求得f（x）和g（x）代入整理，根据y＞0，求得x的范围，进而根据x∈N*，推断x的值．
点评：本题主要考查了三角函数在实际中的应用．涉及了函数的周期性问题．综合性很强．
19、如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。21世纪21*cnjy*com教育21cnjy网版权所有
分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．21世纪教育网
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
（Ⅱ）选择函数模型①，
令y′=0得sin，因为，所以θ=，
当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．
点评：本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
20、如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．21世纪教育网
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．
21、如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？21世纪教育网版权所有
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考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．
解答：解：过A作AB⊥OP
设x为点P的横坐标，则
x=OP=OB+BP=
因为∠P随连杆位置的变化而改变，
但连杆上下摆动的幅度是一样的，
所以∠P的最大值是一样的．
故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，
由正弦定理得
在0≤α≤π内，
当时，sinα的值最大，
因而sin∠P的值也最大
∵OA＜AP，21世纪教育网
∴∠P＜α，即∠P总是锐角．21cnjy
在内，21世纪教育网
sin∠P是单调上升的，21*cnjy*com
所以时，∠P最大．
点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．
22、如图，矩形纸片ABCD的边AB=24，AD=25，点E、F分别在边AB与BC上．现将纸片的右下角沿EF翻折，使得顶点B翻折后的新位置B1恰好落在边AD上．设，EF=l，l关于t的函数为l=f（t），试求：
（1）函数f（t）的解析式；21世纪教育网版权所有
（2）函数f（t）的定义域．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：（1）先设∠BFE=θ，则t=sinθ．根据边、角之间的关系得到：lsinθ+lsinθcos2θ=24，由此解得=．即可；
（2）从两个方面考虑：一方面，当点E与点A重合时，θ取最大值为，t=sinθ取最大值为；另一方面，当点E向右运动时，BE长度变小，为保持点B1在边AD上，则点F要向上运动，当点F与点C重合时，sinθ取得最小值．从
解得=．
故．21世纪教育网版权所有
（2）一方面，当点E与点A重合时，θ取最大值为，t=sinθ取最大值为．．（10分）2121cnjy21*cnjy*com世纪教育网
另一方面，当点E向右运动时，BE长度变小，为保持点B1在边AD上，则点F要向上运动，
当点F与点C重合时，sinθ取得最小值．21世纪教育网21cnjy
又当点F与点C重合时，有25tanθ+25tanθcos2θ=24，
化简得，，结合sin2θ+cos2θ=1，，解之得．
所以，从而，函数f（t）的定义域为．
点评：在求实际问题对应的函数的解析式，我们一定要进一步分析自变量的取值范围，这不仅是为了让函数的解析式更准确，而且为利用函数的解析式求函数的值域，最值、单调性、奇偶性等打好基础．
23、在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．
现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得．
（1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？
式，得．21世21世纪教育网纪教21*cnjy*com育网版权所有
②﹣①得，③﹣①得，∴∴．∴，∴∵0＜φ＜π∴，代入②得b=19，再由①得a=6．∴a=6，b=19，．21世纪教育网
于是，ABC段的解析式为，由对称性得，DEF段的解析式为．∴，解得xF=92．∴当x=92时，股价见顶．
（2）由（1）可知，yF=6+19=25，故这次操作老王能赚5000×（25﹣16）=45000元．21cnjy
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点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，体现了数学在实际生活中的应用，解答关键是数形结合法的应用．
24、如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，（3分）21世纪教育网版权所21*cnjy*com有
设正方形的边长为x则，21世纪教育网版权所有21世纪教育21*cnjy*com网版权所有
由BP+AP=AB，得，故21世纪教育网版权所有
所以（6分）21世纪教育21cnjy网
（2），（8分）
令t=sin2θ，因为，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以，，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值，
此时
所以当时，“规划合理度”最小，最小值为．（12分）
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．
25、如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．
考点：在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：（1）先过S作SH⊥RT于H，则有：S△RST=，由题意知：△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离，RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．从而得出场地面积的最大值即可；
（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，写出等腰梯形ABCD面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可．
解答：解：（1）如下右图，
过S作SH⊥RT于H，21世纪教育网版权所有
S△RST=．（2分）
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离；（4分）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，21世纪21cnjy教育网
则有RT≤4，SH≤2，21*cnjy*com
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）．（6分）
甲图乙图
（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，则有．
（8分）
令y=sinθ+sinθcosθ，则y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ+cosθ﹣1．（11分）
若y'=0，，
又时，y'＞0，时，y'＜0，（14分）
函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）．（16分）
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．解题的关键是利用三角函数这个数学模型，建立函数关系式，最后利用导数知识求最值．
