已知三角函数模型的应用问题
一、选择题（共7小题）
1、如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
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A、ω=，A=5 B、ω=，A=521世纪教育网
C、ω=，A=3 D、ω=，A=321*cnjy*com
2、设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A、 B、21世21*cnjy*com纪教育网
C、2 D、321cnjy21*cnjy*com
3、M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A、π B、21*cnjy*com
C、 D、2π
4、为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（ ）米．
A、 B、
C、 D、30
5、稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+?）+9500 （?＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10000
9500
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是 （ ）
A、10000元 B、9500元
C、9000元 D、8500元
6、如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、221*cnjy*com 1世纪教育网
7、要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
21cnjy
A、10m B、20m
C、20m D、40m2121*cnjy*com世纪教育网
二、填空题（共16小题）
8、如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=
_________ °．
9、函数y=﹣2sin（4x+）的图象与x轴的交点中，离原点最近的一点的坐标是 _________ ．
10、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 _________ 米．
11、在公园中有一个作均速旋转运动的摩天轮，已知小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度h（米）与乘坐摩天轮的时间t（分钟）之间的关系为：，则小明重新回到摩天轮的最低点所花时间最少是 _________ 分钟．
12、动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（，），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 _________ ．
13、在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是 _________ ．
14、如图摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低处．在摩天轮转动一圈内，有 _________ min，点P距离地面超过70m．
15、某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 _________ ．21cnjy 21世纪教育网21世纪教育网版权所有
16、某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 _________ ℃．21*cnjy*com
17、要测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上选择距离为a的两点C、D，并使D、C、B三点在地面上共线，从D、C两点测得建筑物的顶点A的仰角分别是α，β（β＞α），则该建筑物AB的高为 _________ ．
18、现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发，向北60°西方向航行，问 _________ 分钟后两船相距最近．
19、如图，在半径为cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，按如图截出一个内接矩形，则矩形的面积为 _________ cm2．
20、一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 _________ ．
21、
如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 _________ 海里/小时．
22、如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为 _________ ；
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 _________ ．
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23、如图，有一壁画，最高点A 处离地面4 m，最低点B 处离地面2.2 m，若从离地高1.6 m的C 处观赏它，则当视角θ 最大时，C 处离开墙壁 _________ m．21cnjy
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三、解答题（共7小题）
24、已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；21*cnjy*com
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
25、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
26、已知函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求?和ω的值．
27、如图，半圆形公园上有P和Q两点，线段AB是该半圆的一条直径，C为圆心，半径是2km，现要在公园内建一块顶点都在半圆C上的多边形活动场地为等腰梯形ABPQ．
（1）若设PQ=2x（km），求场地面积S关于x的函数关系式；
（2）若设∠PCB=θ，求场地面积S关于θ的函数关系式；
（3）选择（1）、（2）中的一个函数的关系式，求场地面积S的最大值．
28、如图，树顶A距地面7.7米，树上另一点距地面4.7米，人眼C离地面1.7米．问人离此树多远时，看树冠AB这一段的视角最大？21*cnjy*com
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29、在辽阔的草原上，一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，如此进行下去，正当他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向．21cnjy
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？21世纪教育网
30、如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．
答案与评分标准
一、选择题（共7小题）
1、如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）21*cnjy*com
A、ω=，A=5 B、ω=，A=5221cnjy 1世纪教育网版权所有
C、ω=，A=3 D、ω=，A=321世纪教育网
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；已知三角函数模型的应用问题。
专题：应用题。
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
解答：解：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
点评：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅．
2、设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A、 B、
C、2 D、3
界性．
3、M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A、π B、
C、 D、2π
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值．
解答：解：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可
∵πsinx=πcosx 解得x=或x=21*cnjy*com
得到两个点为（，）和（）
得到|MN|==21世纪教育网版权所有
故选C21世纪教育网
点评：本题考查等价转化的数学思想方法、两点的距离公式．
4、为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（ ）米．
A、 B、21cnjy
C、 D、30
点评：本题主要考查学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
5、稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+?）+9500 （?＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10000
9500
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是 （ ）
A、10000元 B、9500元
C、9000元 D、8500元
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
解答：解：由表格数据可知，10000=500sin（ω+?）+9500，9500=500sin（2ω+?）+9500
∴sin（ω+?）=1，sin（2ω+?）=0
∴ω=
∴x=3时，y=500sin（）+9500=9000元
故选C．
点评：本题以表格为载体考查三角函数模型的运用，解题的关键是合理运用表格数据，求出三角函数模型，从而解决实际问题．
6、如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（ ）21*cnjy*com 21cnjy 21世纪教育网
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A、 B、
C、 D、
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：综合题。
分析：利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．
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点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．221cnjy 1世纪教育网
7、要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
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A、10m B、20m
C、20m D、40m
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：应用题；综合题。
分析：设出AD=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
解答：解：由题可设AB=x，则，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠DCB
即：（）2=（40）2+x2﹣2×40?x?cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米．
故选D．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．
二、填空题（共16小题）
8、如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= 20 °．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：连接OP，根据切线的性质可求出△ADP≌△BPD及∠APD的度数，根据直角三角形的性质可求出∠DAP的度数，由切线的性质定理解答即可．
解答：解：连接OP，
根据切线的性质可知，AP=BP，∠DAP=∠DPB=∠P=×40°=20°，
在△ADP与△BPD中，AP=BP，DP=DP，∠DAP=∠DPB=20°，
∴△ADP≌△BPD，OP⊥AB，
∴∠DAP=90°﹣∠DAP=90°﹣20°=70°，21*cnjy*com
∵AP是⊙O的切线，AC是直径，21cnjy
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠DAP=90°﹣70°=20°．21世纪教育网
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点评：此题比较简单，解答此题的关键是连接OP，根据切线的性质定理解答．
9、函数y=﹣2sin（4x+）的图象与x轴的交点中，离原点最近的一点的坐标是 （﹣，0） ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：因为函数与x轴相交可知4x+=kπ解出x的值，因为要求离原点最近的一点的坐标，考虑到当k=1时，交
10、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 50 米．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
解答：解：设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD?OD?cos60°=OC2
即，21世纪教育网
解得r=50（米）．
答：该扇形的半径OA的长约为50米．
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点评：本题主要考查用余弦定理求三角形边长，解答的关键是构造三角形后利用余弦定理，属于基础题．
11、在公园中有一个作均速旋转运动的摩天轮，已知小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度h（米）与乘坐摩天轮的时间t（分钟）之间的关系为：，则小明重新回到摩天轮的最低点所花时间最少是 8 分钟．21cnjy
12、动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（，），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 [0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12） ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间．
解答：解：t=0时，点A的坐标是 （，），
∴点A的初始角为30°，
当点A转过的角度在[0°，60°]或[240°，360°]时，
动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，
∵12秒旋转一周，
∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，240°÷30=8，
则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，2]，[8，12]
故答案为：[0，2]，[8，12]或（0，2），（8，12）．
点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想．
13、在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是 米 ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．
解答：解：由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=10米
再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=AD=10
∴塔高为DE+CD=10+10=21cnjy
故答案为：米21世纪教育网
点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．
14、如图摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低处．在摩天轮转动一圈内，有 2 min，点P距离地面超过70m．21世纪教育网版权所有
考点：已知三角函数模型的应用问题。21*cnjy*com
专题：应用题。
分析：求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P上升的高度，求出点P离地面的高度，列出不等式求出t的范围，求出点P距离地面超过70m的时间．
15、某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
解答：解：由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
点评：本题以实际问题为依托，考查导数的应用，关键是利用导数的物理意义，从而得解．
16、某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 16 ℃．
考点：已知三角函数模型的应用问题。21cnjy
专题：应用题。21cnjy
分析：根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．21世纪教育网
解答：解：据题意得28=a+A，=a﹣A
解得a=20，A=821*cnjy*com
所以21世纪教育网版权所有
令x=10得y==16
故答案为：16
点评：本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，知解析式求函数值．
17、要测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上选择距离为a的两点C、D，并使D、C、B三点在地面上共线，从D、C两点测得建筑物的顶点A的仰角分别是α，β（β＞α），则该建筑物AB的高为 ．
∴BD=a+，
∵在Rt△ABD中，BD=
∴a+=，求得x=，
该建筑物AB的高为：
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
18、现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发，向北60°西方向航行，问 30 分钟后两船相距最近．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．
解答：解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示
可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°
CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×
=28x2﹣28x+49，21世纪教育网
当x=小时即 30分钟时距离最小2121*cnjy*com cnjy
故答案为：30．
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点评：本题主要考查已知三角函数模型的应用问题、余弦定理的应用，关键在于画出图象．属基础题．
19、如图，在半径为cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，按如图截出一个内接矩形，则矩形的面积为 cm2．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：综合题。
分析：过B作BM⊥AO，交FC于点N，交AO于点M，由在半径为cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，知∠DOC=∠BOC=30°，FC=OF．由CD⊥AO，知．在△BMO中，∠BOM=60°，∠BMO=90°，OB=，所以∠OBM=30°，，BM=，．设FN=x，则BF=2x，则，
∴，21cnjy21*cnjy*com
∴BM==．
∴．21世纪教育网21*cnjy*com
设FN=x，则BF=2x，
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解得，
∴BF=2x=，
∴，
∴矩形的面积S=．
故答案为：．
点评：本题考查三角函数模型的应用问题，是中档题．解题时要认真审题，注意垂径定理、勾股定理、有一个角是30°角的直角三角形的性质的灵活运用，合理地进行等价转化．
20、一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 14 ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题。
分析：由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．
解答：解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，即，
又因为f（0）=2，故，得，
所以f（16）==14．
故答案为：14．
点评：本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用．
21、
如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 ． 海里/小时．
考点：已知三角函数模型的应用问题。21*cnjy*com 21cnjy
专题：综合题。21世纪教育网
分析：根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
22、如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为 ；21*cnjy*com
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 ，t≥0 ．
考点：已知三角函数模型的应用问题。2121cnjy世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，故可求点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．
点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，关键是搞清旋转角，理解三角函数的定义．
23、如图，有一壁画，最高点A 处离地面4 m，最低点B 处离地面2.2 m，若从离地高1.6 m的C 处观赏它，则当视角θ 最大时，C 处离开墙壁 1.2 m．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：综合题。
分析：作CD⊥AB，交AB于D，设当视角θ 最大时，C 处离墙xm远，tan∠ACD=，tan∠BCD=，视角θ=∠ACD﹣∠BCD，tanθ=tan（∠ACD﹣∠BCD）===≤=．由此能求出结果．
解答：解：作CD⊥AB，交AB于D，当视角θ 最大时，C处设离墙xm远
tan∠ACD==，
tan∠BCD=，
视角θ=∠ACD﹣∠BCD，
tanθ=tan（∠ACD﹣∠BCD）
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≤21cnjy
=
=．
当且仅当x2=1.44，x＞0，即x=1.2m时，取最大值．
故答案为：1.2．
点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．解题时要注意正切加法定理和数形结合思想的灵活运用．
三、解答题（共7小题）
24、已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题。
专题：证明题；新定义。
所以方程组：有解，消去y得ax=x，21*cnjy*com
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aT?ax=T?ax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，21cnjy
即sin（kx+kT）=Tsinkx．21世纪教育网
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，
则k=2mπ，m∈Z．
当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，
即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，21世纪教育网版权所有
则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣2（m﹣1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．
点评：考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．
25、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：综合题。
分析：（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
解答：解：（1）因为图象的最高点为
所以A=，
由图知y=Asin?x的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
（2）在△MNP中，由正弦定理得
所以NP=，MN=
设使折线段赛道MNP为L则
L=21*cnjy*com
=21cnjy
所以L的最大值是21世纪教育网
点评：本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．21世纪教育网版权所有
26、已知函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求?和ω的值．
考点：已知三角函数模型的应用问题。
专题：计算题；数形结合。
分析：由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点对称可得函数关系，
得=+kπ，k=1，2，3，21*cnjy*com
∴w=（2k+1），k=0，1，2，
当k=0是，w=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，不合题意舍；
当k=1是，w=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
当k≥0是，w=，f（x）=（wx+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得w=2．
点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．
27、如图，半圆形公园上有P和Q两点，线段AB是该半圆的一条直径，C为圆心，半径是2km，现要在公园内建一块顶点都在半圆C上的多边形活动场地为等腰梯形ABPQ．
（1）若设PQ=2x（km），求场地面积S关于x的函数关系式；
（2）若设∠PCB=θ，求场地面积S关于θ的函数关系式；
（3）选择（1）、（2）中的一个函数的关系式，求场地面积S的最大值．
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考点：已知三角函数模型的应用问题。2121cnjy世纪教育网
分析：（1）根据已知中半圆的半径是2km，PQ=2x，我们可以计算出梯形的高，即PQ到AB的距离，然后将上底长，下底长和高代入梯形面积公式，即可得到场地面积S关于x的函数关系式；
（2）根据∠PCB=θ半圆的半径是2km，我们可以计算出梯形的高，及上底的长度，然后将上底长，下底长和高代入梯形面积公式，即可得到场地面积S关于θ的函数关系式
（3）分别求出（1）、（2）结论中两个函数的导数，分析出函数取最大值时自变量的值，代入即可得到面积的最大值．
（3）若选用（1），则，通过列表，观察得：当x=1时，；21*cnjy*com
若选用（2），则S'=4cosθ+4cos2θ=4（2cos2θ+cosθ﹣1）=4（cosθ+1）（2cosθ﹣1），通过列表，观察得：当时，．
点评：本题考查的知识点是已知三角形模型的应用问题．由于场地为一个梯形，故求出梯形的上下底边的长及梯形的高，是求出场地面积的关键．
28、如图，树顶A距地面7.7米，树上另一点距地面4.7米，人眼C离地面1.7米．问人离此树多远时，看树冠AB这一段的视角最大？
考点：已知三角函数模型的应用问题。
分析：过点C作CD⊥AB，设CD=x，根据已知中树顶A距地面7.7米，树上另一点B距地面4.7米，人眼C离地面1.7米．我们易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD﹣∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．2121cnjy世21世纪教育网纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．
29、在辽阔的草原上，一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，如此进行下去，正当他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向．21cnjy21*cnjy*com
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？
考点：已知三角函数模型的应用问题。
分析：（1）由已知中一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，我们可以画出满足条件的草图，并求出、，向量的坐标（含参数m，θ），由他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向，我们可以构造出满足条件的方程组，解方程组即可求出θ的值；
（2）根据（1）的结论，可得若它要回到原点，则他的先进轨迹组成一个正八边形，进而得到答案．
解答：解（1）如图所示①（1分）
（4分）
当点C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ﹣θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴（7分）21cnjy 21世纪教育网版权所有
（2）能（9分）
∵∴以O，A，B，C
为顶点可作一个正八边形
∴至少需要8m千米回到原出发点（13分）
点评：本题考查的知识点是已知三角函数模型的应用问题，其中根据正当他前进的路程为3m千米时，及向量加法的坐标运算，构造关于数m，θ的方程是解答本题的关键．
30、如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；21世纪教育网
（2）求S的最大值及相应的θ值．
考点：已知三角函数模型的应用问题。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：（1）根据题设条件合理建立方程，从而导出S关于θ的函数关系式．
（2）利用三角函数的性质求出单调递增区间好可．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生知识的掌握和迁移的能力．挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键．
