向量的模
一、解答题（共10小题）21世纪教育网版权所有
1、某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．21世纪教育网版权所有
（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）21*cnjy*com
（2）求．21cnjy
2、如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
3、如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且||=．21世纪教育网
（1）画出所有的向量；21*cnjy*com
（2）求||的最大值与最小值．21世纪教育网
4、有2003个向量构成一序列，2，3，…，2003，其中任意3个向量的和的模都与其余的2000个向量的和的模相等，试求这2003个向量的和向量的模．
5、已知向量，求x．
6、求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
7、已知，求．
8、已知向量与的夹角为60°，，设M=．
（1）若k=1，求M （2）当k∈[﹣1，2]时，求M的取值范围．
9、已知向量．若△ABC为直角三角形，求k值，此时等于多少．
10、已知向量=（cosθ，sinθ）（θ∈R），=（﹣，﹣1），求|﹣2|的最值及取得最值时θ的取值集合．
二、填空题（共6小题）
11、 _________ 称为向量的长度（或称为模），记作 _________ ， _________ 称为零向量，记作 _________ ， _________ 称为单位向量．
12、如图，O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，，∠OAB=∠ABC=，则的坐标为 _________ ．
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13、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为 _________ ．21cnjy
14、已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|= _________ ．
15、已知向量和的夹角为120°，，则= _________ ．21*cnjy*com
16、已知向量，，则= _________ ．
三、选择题（共10小题）
17、已知向量a，b满足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（ ）21世纪教育网
A、0 B、
C、4 D、8
18、若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的（ ）21世纪教育网
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
19、已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（ ）
A、⊥ B、⊥（﹣）
C、⊥（﹣） D、（+）⊥（﹣）
20、已知向量a、b满足||=1，||=2，|﹣|=2，则|+|等于（ ）
A、1 B、
C、 D、
21、已知正方形ABCD的边长为1，=，=，=，则||等于（ ）
A、0 B、2
C、 D、3
22、已知向量，，则=（ ）
A、1 B、
C、2 D、4
23、已知正方形ABCD边长为1，则=（ ）
A、0 B、2
C、 D、21*cnjy*com
24、已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）21世纪教育网
A、2 B、421世纪教育网版权所有
C、6 D、821cnjy
25、设||=1，||=2，且、夹角120°，则|2+|等于（ ）
A、2 B、4
C、12 D、2
26、已知向量=（1，2），=（x，4），若||=2||，则x的值为（ ）
A、2 B、4
C、±2 D、±4
答案与评分标准
一、解答题（共10小题）
1、某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．
（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）21*cnjy*com
（2）求．21世纪教育网版权所有
考点：向量的几何表示；向量的模。21cnjy
专题：数形结合。
分析：本题应用具体方位用有向线段表示向量；并且借助相反向量模相等得到||=||=15（m）
解答：解：（1）如图，
（2）因为，故四边形ABCD为平行四边形，
所以21世纪教育网
21*cnjy*com
点评：本题考查向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．
2、如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
3、如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且||=．
（1）画出所有的向量；
（2）求||的最大值与最小值．
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考点：向量的模；两向量的和或差的模的最值。21cnjy 21世纪教育网
分析：（1）∵||=．∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点根据该条件不难找出满足条件的点C．21*cnjy*com
（2）由（1）所得的图象，观察分析，不难求出||的最大值与最小值．
点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．向量a，b同向时，|a+b|有最大值；向量a，b反向时，|a+b|有最小值．
4、有2003个向量构成一序列，2，3，…，2003，其中任意3个向量的和的模都与其余的2000个向量的和的模相等，试求这2003个向量的和向量的模．
考点：向量的模。
专题：计算题。
分析：设i=i+i+1+i+2，（i=1，2，3，…，2003且2003﹣i=i），则|xi|=|﹣i|，然后平方可得2=2，则20032=2?=62，可求出向量的模．
解答：解：设i=i+i+1+i+2，（i=1，2，3，…，2003且2003﹣i=i），
则|xi|=|﹣i|，∴2=2﹣2i+2，∴2=2，（i=1，2，…，2003）．
即2=2?，2=2，…，2=22003．
∴20032=2?=62，∴19972=0，
∴||=0．
点评：本题主要考查了向量的模，解题的关键常常计算模的平方，属于基础题．
5、已知向量，求x．
考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律。21cn21*cnjy*com jy
专题：计算题。2121*cnjy*com世纪教育网
分析：因为，所以结合题意可得：，即cos（）=cos2x=﹣，再结合x的范围求出答案即可．21世纪教育网版权所有
6、求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
考点：向量的模。
专题：计算题；证明题。
分析：先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．
解答：证明：，
，
，
∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．
∴△ABC为等腰直角三角形．
点评：本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7、已知，求．
考点：向量的模。
专题：向量法。
分析：利用向量的模的平方等于向量的平方，列出方程求出，再利用向量模的平方等于向量的平方求出
解答：解：∵，
∴=2
∵，
∴21cnjy
∴=2
∴21世纪教育网版权所有
点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，常利用它解决与向量模有关的问题．
8、已知向量与的夹角为60°，，设M=．21世纪教育网
（1）若k=1，求M （2）当k∈[﹣1，2]时，求M的取值范围．
考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：（1）当k=1时，==代入可求
（2）====由﹣1≤k≤2结合二次函数的性质可求
点评：本题主要考查了平面向量的数量积的性质及向量的数量积的定义的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，注意转化思想的应用．
9、已知向量．若△ABC为直角三角形，求k值，此时等于多少．
考点：向量的模。
专题：计算题；分类讨论；方程思想；转化思想。
分析：由题意，△ABC为直角三角形，本题可分三种情形，即A是直角，B是直角或C是直角，由向量垂直的坐标表示分别求出k的值及对应的的值即可21*cnjy*com
点评：本题考点向量在几何中的运用，考查了利用向量求线段的长度，及向量垂直的坐标表示，解题的关键是理解题意，分三类研究，本题考察了分类讨论的思想及转化的思想，考察了推理判断的能力及符号计算能力
10、已知向量=（cosθ，sinθ）（θ∈R），=（﹣，﹣1），求|﹣2|的最值及取得最值时θ的取值集合．
考点：向量的模。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据向量的数量积运算即，由题意和向量数量积以及模的坐标运算求出|﹣2|的平方，利用两角和的正弦公式进行化简，再由正弦函数的最值求出所求向量模的最值，注意利用整体思想求出对应的角θ的集合．
解答：解：∵=（cosθ，sinθ），=（﹣，﹣1），21世纪教育网
∴|﹣2||﹣2|=（﹣2）2=2﹣4?+42（4分）21cnjy
==
=（7分）
当，即时，|﹣2|有最大值为（11分）
当，即时，|﹣2|有最小值为（15分）
点评：本题考查了利用向量的数量积来求向量的模，即的应用，根据向量数量积的坐标运算把已知条件代入，利用两角和的正弦公式进行化简，利用整体思想求出最值，考查了整体思想．
二、填空题（共6小题）21*cnjy*com
11、 向量所在线段AB的长度，即向量的大小 称为向量的长度（或称为模），记作 || ， 长度为零的向量 称为零向量，记作 ， 长度等于1个单位的向量 称为单位向量．
点评：本题考查了向量模的定义以及特殊的规定，纯粹考查了定义内容．
12、如图，O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，，∠OAB=∠ABC=，则的坐标为 ．21世纪教育网版权所有
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考点：向量的几何表示；向量的模。21世纪教育网
专题：数形结合。
分析：由题意知，BC的倾斜角120°，设=（x，y），由题意知：y＞0，=tan120°且=2a，解方程组求的（x，y）．21cnjy
解答：解：如图，∵点A在x轴上，，
∠OAB=∠ABC=，
∴BC的倾斜角120°，
设=（x，y），
由题意知：y＞0，=tan120°且=2a，
∴x=﹣a，y=a，
∴=（﹣a，a ），
故答案为 （﹣a，a ）．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，向量的坐标与向量的模，体现了数形结合的数学思想．21世纪教育网
13、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为 5 ．21cnjy
考点：向量的模。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，1），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
14、已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|= ．
考点：向量的模。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出||的长度．
解答：解：如图，
由余弦定理得：||=
==
故答案为：．
点评：本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答．221*cnjy*com 1世纪教育网
15、已知向量和的夹角为120°，，则= 7 ．
考点：向量的模。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．
16、已知向量，，则= 2 ．
考点：向量的模。
分析：先求向量的和，再求其模．
解答：解：由∵．
故答案为：2
点评：向量的基本运算，基础题．
三、选择题（共10小题）
17、已知向量a，b满足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（ ）
A、0 B、
C、4 D、8
考点：向量的模。
专题：计算题。
分析：利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可
解答：解：∵=0，||=1，||=2，
∴|2|====2
故选B．
点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．
18、若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件21*cnjy*com
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
考点：向量的模。
分析：当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件．
解答：解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立21世纪教21*cnjy*com育网版权所有
反之，由||=5可得x=±4 所以x=4不一定成立．21世纪教育网21*cnjy*com
故选A．21cnjy
点评：本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识．
19、已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（ ）
A、⊥ B、⊥（﹣）
C、⊥（﹣） D、（+）⊥（﹣）
考点：向量的模。
分析：对|﹣t|≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．
点评：本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题．
20、已知向量a、b满足||=1，||=2，|﹣|=2，则|+|等于（ ）
A、1 B、
C、 D、
考点：向量的模。
专题：计算题。
分析：欲求|+|，一是设出、b的坐标求，二是直接根据向量模计算．对于解法一，我们可以设出两个向量的坐标，然后根据已知条件中||=1，||=2，|﹣|=2，对|+|的平方进行化简求值，进而给出|+|的值．本题中没有给出向量的坐标，故也可根据向量的平方等于向量模的平方进行求解．
解法二：∵|+b|2+|﹣|2=2（||2+||2），21世纪教育网
∴|+|2=2（||2+||2）﹣|﹣|221*cnjy*com
=2（1+4）﹣22=6．21世纪教育网版权所有
∴|+|=．21cnjy
故选D
点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．
21、已知正方形ABCD的边长为1，=，=，=，则||等于（ ）
A、0 B、2
C、 D、3
考点：向量的模。
专题：计算题。
分析：由题意得，||=，故有||=|2|，由此求出结果．
解答：解：由题意得，，且||=，
∴||=|2|=2，
故选 B．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
22、已知向量，，则=（ ）
A、1 B、
C、2 D、4
考点：向量的模。
分析：根据向量的加法算出再求模．
解答：解：∵，，∴=（﹣1，）
∴||==2
故选C．
点评：本题主要考查向量的加法和模的运算．
23、已知正方形ABCD边长为1，则=（ ）
A、0 B、2
C、 D、
考点：向量的模。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：利用+=，以及||的意义，求得的值．
解答：解：=2，21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义．
24、已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）21*cnjy*com
A、2 B、4
C、6 D、8
25、设||=1，||=2，且、夹角120°，则|2+|等于（ ）
A、2 B、4
C、12 D、2
考点：向量的模。
专题：计算题。
分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方，再开方求出向量的模．
解答：解：据题意=
∴=4﹣4+4=4
∴
故选A
点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量模的平方等于向量的平方常利用此性质解决向量模的问题．
26、已知向量=（1，2），=（x，4），若||=2||，则x的值为（ ）
A、2 B、4
C、±2 D、±421*cnjy*com
考点：向量的模。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由||=2||得到=2，平方后可求得x的值．21世纪教育网版权所有
